水力学理论经验公式在泥沙运动理论中的应用水力学论文水利工程论文水利论文.docx
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摘要：
水力学理论的学科发展是由数学推导为主导和以实验及经验公式工程应用为主导共同推动的结果,经验公式是水力学学科的重要组成部分。
不应因为泥沙运动学科存在较多的经验公式、半经验半理论公式,而认为泥沙运动学科缺少理论或理论不完美。
认为唯有严格的数学推导才能体现泥沙运动学科理论完美的观点恐怕过于理想。
在学科发展的某些节点问题上,需要实验和经验公式发挥主导作用。
与水力学相比,泥沙运动理论中的经验公式的适用范围还有待拓展,期待不久的将来能出现物理概念清晰、适用范围广、精度高的泥沙运动计算公式。
关键词：
泥沙运动理论;水力学;经验公式;
Abstract：
Experimentisoneofthetwopredominantdriversthatpushthetheoriesofhydraulicstomoveforwardinalternationwithmathematicalderivation,empiricalformulabasedonexperimentalsomakeanimportantcomponentinhydraulics.Scienceofsedimenttransportcannotberegardedaslesstheoreticalorimperfectlytheorizedjustbecausetherearenumbersofempiricalorsemi-empiricalformula.Onthecontrary,theviewpointthatonlystrictmathematicalderivationmakesperfecttheoreticalsysteminthescienceofsedimenttransportisoveridealistic.Infact,bothexperimentandempiricalformulaplayanleadingroleatsomeimportantstepsofthesubject.However,comparedwithhydraulics,theapplicablescopeofempiricalformulainthetheoryofsedimenttransportneedstobefurtherexpandedbydevelopingequationswithsoundphysicalbackgroundandhighprecisioninthefuture.
Keyword：
sedimenttransporttheory;hydraulics;empiricalformula;
1、引言
河流是人类文明的摇篮,其两岸广阔的冲积平原和丰富的淡水资源是人类得以生存和发展的重要条件。
但是河流不定期的洪水泛滥、崩岸改道等问题又对人类生存构成威胁。
人类为趋利避害,谋求社会经济的可持续发展,需要认识河流。
河流是在自然因素及人类活动影响下水流与河床相互作用的产物,而水流与河床的相互作用又是以泥沙为媒介的。
研究泥沙运动的基本规律是认识河流的必要前提。
古代通过河流治理实践过程中的经验,总结出对泥沙运动和河床演变的一些认识,并用于指导工程实践。
如都江堰引水工程就巧妙地利用自然河势,辅以简单的临时设施来分流分沙、引水排沙。
针对黄河河患频发的状况,提出过多种治理黄河的对策,如宽河固堤、束水攻沙等,对后世产生重要的影响。
运用数学工具和力学概念与理论研究泥沙运动则始于近代。
杜博埃（Duboys）于1879年提出用拖曳力的概念研究推移质运动。
20世纪30年代到50年代是泥沙运动理论的重要发展期,代表性的成果有:
希尔兹（Shields）通过系列实验得到计算泥沙起动的希尔兹曲线（1936）,罗斯（Rouse）研究提出了悬移质含沙量沿垂线分布的紊动扩散理论（1937）,梅叶-彼得（Meyer-Peter）历经20年的研究得到了推移质输沙率公式（1948）,爱因斯坦（Einstein）运用力学和概率理论相结合的途径研究得到推移质输沙率公式（1950）,张瑞瑾等通过大量实测资料的系统分析得到了悬移质泥沙水流挟沙力公式（1959）。
这些成果成为组成一门新的学科河流泥沙运动力学（河流动力学）的核心内容[1]。
之后,泥沙运动理论蓬勃发展。
如在推移质输沙率方面,先后出现拜格诺（Bagnold）、亚林（Yalin）、恩格隆（Englund）、埃克斯-怀特（Ackers-White）、窦国仁、韩其为等有影响的计算公式。
这些公式的特点之一是各自的出发点都有所不同,有学者将其归纳分类为:
以流速为主要参变数、以拖曳力为主要参变数、根据能量平衡观点、根据统计法则等4类[2]。
悬移质含沙量沿垂线分布方面,则出现了重力理论。
其它方面,如泥沙起动、泥沙沉降速度等都存在多种理论和公式推导方法。
对某个公式的改进,也有不少成果。
针对罗斯悬移质含沙量沿垂线分布公式中存在的水面含沙量为零,河底为无穷大的缺陷,有的学者提出了各种改进的方法[3,4,5]。
对爱因斯坦推移质输沙率公式进行改进的研究成果也不少[6,7,8]。
除了上述经典问题,泥沙研究的领域不断拓广,如非均匀沙、非恒定输沙、不平衡输沙、异重流、高含沙、浑水流速分布和紊动结构、动床阻力,以及水库泥沙、河道及航道整治、取水防沙等多种理论和工程问题。
虽然泥沙运动理论研究已取得巨大成就,但有几个比较基本的问题有待厘清,其中之一是如何看待泥沙运动理论中经验公式、半经验半理论公式的问题。
有一部分学者认为经验公式的存在说明学科缺少理论或理论不完美。
泥沙运动理论研究中应重视各公式数学推导过程的完美,并试图去替代已有的一些经验公式、半经验半理论公式,认为唯有严格的数学推导才能体现学科理论的完美。
本文将对如何辩证地看待这个问题进行讨论。
首先分析经验公式在水力学理论中的作用和地位,然后讨论河流动力学学科的相关问题。
2、水力学学科理论中的经验公式
2.1、水力学理论发展简史
河流中促使泥沙运动的主要驱动力来自水流,水力学是河流动力学的前导学科,梳理它的发展过程对河流动力学的研究具有指导意义。
在水力学中的水静力学方面,最早的科学理论可追溯到公元前250年阿基米德（Archimedes）提出的浮力定律:
水中的物体受到的浮力等于其排开水体的重量。
传说中浮力定律的发现比较神奇,阿基米德的思路来自澡堂,之后通过系统实验后提出的。
现在,这个定律是可以通过水静力学理论从数学上推导出来的。
对水静力学理论作出主要贡献的是托利策利（Torricelli,13）和帕斯卡（Pascal,1653）等人,他们建立的大气和水体中压强传递与计算理论为水静力学奠定了基础。
国际单位制中压强的单位就是以Pascal的名字命名的。
在水动力学方面,牛顿（Newton）1687年通过简单的平行板剪切运动实验发现着名的牛顿内摩擦定律。
自然界以水为代表的大部分液体的内摩擦力遵循这一定律。
伯努利（Bernoulli）1738年根据能量守恒律推导出定常运动情况下理想流体沿流线的能量方程。
达朗贝尔（dapos;Alembert）1741年导出恒定不可压缩流体微分形式的连续性方程,欧拉（Euler）于1752年根据质量守恒律,导出非恒定可压缩流体微分形式的连续性方程。
欧拉在1755年提出描述流体运动的欧拉方法,推导得到了理想流体的运动方程组。
拉格朗日（Lagrange）1781年提出描述流体运动的质点法,建立了流体质点运动的速度与速度势函数和流函数的关系,得到理想正压流体在质量力有势条件下无旋流动的守恒性定理。
纳维埃（Navier）1821和斯托克斯（Stokes）1845年分别建立了粘性不可压缩流体运动方程组。
亥姆霍兹（Helmholtz）1858年提出流体质团的速度分解定理,研究了有势力作用下理想不可压缩流体的有旋运动,建立了理想流体旋涡运动理论。
同年,达西（Darcy）和魏斯巴赫（Weisbach）提出水流运动阻力损失计算公式。
谢才（Chzy）1769年提出计算明渠和管道均匀流平均流速或沿程水头损失的公式。
圣维南（St.Venant）1871年提出圣维南方程。
雷诺（Reynolds）1880年进行了着名的管道流态实验,1883年提出层流与湍流的概念以及判别条件,1895年提出描述时均运动的雷诺方程组。
普朗特（Prandtl）1904年提出边界层理论,1925提出混掺长度理论。
尼古拉兹（Nikuradse）1933年在沙粒管道阻力实验结果的基础上,得到尼古拉兹曲线。
1935年泰勒（Taylor）提出均匀各向同性紊流理论。
1941年柯尔莫哥洛夫（Kolmogorov）提出局部均匀各向同性理论,并导出紊流结构函数的-5/3定律。
1944年莫迪（Moody）绘制莫迪图。
2.2、水力学理论发展中经验公式的作用和地位
以上是按年代顺序列出的。
所列的是主要的代表性成果,对这些成果主要起铺垫作用或者比较细节方面的研究成果没有列出。
分析这些按时间顺序排列的成果之间的关系,可以看到在水力学理论的发展过程中,数学推导和经验公式两种方法均发挥着重要作用。
2.2.1、基本控制方程组
水力学（不可压缩流体）理论发展最重要的内容是基本控制方程组,即连续性方程和Navier-Stoke（N-S）方程的建立。
连续性方程的物理学基础是质量守恒律。
根据质量守恒律我们可以运用数学工具推演出连续性方程。
N-S方程的推演则稍有不同。
它的物理学基础是牛顿第二定律,但根据牛顿第二定律,能推演出的直角坐标系下微分形式的方程组为[9]
式中u、v、w分别为水流速度在x、y、z方向上的分量;为水的密度;Fx、Fy、Fz分别为质量力在x、y、z方向上的分量;p为压强;ij为剪切应力。
由于方程中所含的未知量数目多于方程个数,方程组不封闭。
Stokes将牛顿内摩擦定律扩展为广义牛顿内摩擦定律后代入上述方程,消去其中所有的ij,得到最终的结果形式为
式中为水体的运动粘性系数,其他的物理意义同前。
对不可压缩液体,上式与连续性方程一起组成封闭的方程组。
牛顿内摩擦定律可表述为:
作层流运动的液体,相邻液层间单位面积上所作用的内摩擦力（粘性力）与流速梯度成正比。
它是通过实验资料总结归纳得到的,而不是从某个物理学原理出发通过数学推导演绎得到的。
虽然从牛顿内摩擦定律扩展为广义牛顿内摩擦定律是纯数学演绎的结果,但并不能否认牛顿内摩擦定律是从实验资料总结归纳得到的这个基本事实。
实际上,牛顿力学的基础,即牛顿三大定律、质量守恒律和能量守恒律也是通过实验资料总结归纳得到的,而不是从某个假设或公理出发通过数学推导演绎得到的。
N-S方程的推导表明,从牛顿三大定律和两大守恒律出发,仅靠数学推导是不够的,推导中还需借助不被这些规律概括的其他的自然法则（作者认为这种不被牛顿力学和原理概括的、在自然界中客观存在的现象和规律可以被称为自然法则）。
牛顿内摩擦定律就是这样一个自然法则。
连续介质力学或流体力学中一般用本构关系这个科学名词来描述应力与应变（率）之间的关系。
本构关系的本质就是一个于牛顿三大定律和两大守恒律的一个自然法则。
根据这个讨论可以引出这样的认识:
牛顿流体力学是建立在牛顿力学三大定律、质量守恒律、能量守恒律和外加的牛顿内摩擦定律之上的,其中这个外加的牛顿内摩擦定律是牛顿流体力学区别于其它力学分支学科（比如固体的弹性力学）的根本标志。
2.2.2、一维实际流体运动
1755年欧拉方程提出理想流体方程后,学者们围绕方程的各种转化和求解进行了研究,形成无旋流理论,各种水波理论也得到发展并逐渐演变成海岸动力学中的主要内容。
N-S方程提出后,由于该方程组除个别的若干情况外,没法得到解析解,没有马上迎来像欧拉方程提出后那样的研究热潮,学者们又回到欧拉方程的研究上,最有代表性的是亥姆霍兹在有旋流方面的成果。
这两部分成果构成理想流体力学的重要内容。
在理想流体力学中,主要是通过数学演绎得到各种流体流动的规律和认识,没有经验公式。
为何没有经验公式?
原因很简单:
壁面可以按滑移条件处理。
水力学发展很重要的一个方面是一维实际水流运动。
一维情况又进一步分为恒定流和非恒定流两类。
恒定一维不可压缩实际流体的基本方程有三个,分别为连续性方程、能量方程和动量方程。
其中能量方程的数学表达形式为
式中z为位置水头;为压强水头;为动能水头;hf为沿程水头损失。
对实际水流运动,必须考虑壁面对流场的作用。
这个作用就通过式（3）中沿程水头损失项来体现。
能量方程中的沿程水头损失项可用达西-魏斯巴赫公式代替,但其中水头损失系数是未知的,是不封闭的。
在三维的N-S方程（不可压缩流体）中,所有项中的未知物理量与方程数相等,理论上不需要追加另外的方程或计算式。
但对其取断面平均后,却多出一个附加项（水头损失项）。
三维情况下需给出的边界条件包括进口、出口以及进出口断面之间的河床周界和水面这三个方面的边界条件。
对三维方程积分转化为一维方程后,只需给定进口和出口两个边界条件,第三个边界条件不再需要。
但是原来三维方程中第三个边界的信息并不是完全不需要了,而是通过定积分的上限和下限转化成为一维方程中的一个项（对明渠流,水面的风应力一般情况下小于床面的切应力,可忽略）,这就是沿程水头损失项（不封闭项）产生的原因。
这个项的计算成为恒定一维水力学研究的主题。
对此做出主要贡献的首先是雷诺,他发现了层流和紊流两种流态以及判别方法外,还将层流和紊流与沿程水头损失联系起来研究。
雷诺根据实验资料建立了它们之间的关系,得到如下结论[9]:
（1）层流时,水头损失与断面平均流速的1次方成正比;
（2）紊流时,水头损失与断面平均流速的1.75~2次方成正比。
雷诺的这项成果开启了这方面研究的序幕。
许多学者进行了大量精细化研究。
但很长一段时间,不同研究者得到的数据之间存在无法解释的矛盾或误差,得不到统一认识。
直到约50年后尼古拉兹的研究成果发表,才得到共识。
尼古拉兹与众不同的思路是先在管壁内粘贴不同粒径的泥沙颗粒,然后通过试验分析达西-魏斯巴赫公式中水流阻力系数与雷诺数和所粘贴的泥沙颗粒粒径的关系,在此基础上还提出了光滑紊流区、粗糙紊流区、粘性底层等新的物理概念[9]。
为了解决尼古拉兹试验所用的管道与工业和工程上实际应用不同的问题,莫迪提出了着名的莫迪图和当量粗糙度这一概念,将工业用管道和尼古拉兹试验所用管道之间建立了联系,完美解决了水流阻力系数计算的实际应用问题。
有了尼古拉兹试验曲线,恒定一维不可压缩实际流体计算理论才形成完整的理论体系。
数学推导和试验曲线均在其中发挥作用,经验公式也是水力学学科体系的重要组成部分。
非恒定一维情况下水流运动基本方程称为圣维南方程,它是在静水压强等假设基础上推导得到的,与恒定流情况相似,在对三维运动方程积分后得到的圣维南运动方程中也会多出一个代表床面阻力的项,运动方程为[9]
式中U为断面平均流速;z为水位;0为周界上的平均切应力;0为湿周;A为过水面积;g为重力加速度。
由一维连续性和运动方程（4）组成的方程组中未知量数多于方程数,是不封闭的。
为解决这个问题,圣维南引入了明渠均匀流中的谢才公式,将其适当变形后,代入上式消去床面切应力这个未知量后,得到方程的最后结果。
谢才公式同样是经验公式,它除了在恒定明渠均匀和非均匀流计算中发挥着不可替代的作用外,在非恒定一维水流计算理论知识体系中也是不可或缺的组成部分。
总结恒定和非恒定一维水流运动方程的推导,可以看到两者的共同特点就是均出现一个新的含有未知物理量的项,前人为解决这些问题采用了相应的经验公式。
为此可以提出这样的问题:
能否从数学上严格推导出（不需任何实验参数）这些反映床面对水流产生作用的沿程水头损失项和床面切应力项?
至少到目前还没有找到这样的结果。
这个结果应该是很难找到的。
理由是即使比水流运动简单得多的固体间的摩擦力计算,目前通用的摩擦力定律是不能够从数学上严格推导出的,它是一个的定律,并且其中的摩擦系数必须通过实验给出。
同样地,水流运动这部分的工作也应通过实验形成规律性的认识,以定律或经验公式的途径来完成。
由此可以得到方法论方面的一个认识:
数学推导是有边界（不要理解为一般的物理边界）的,在两边界之间数学推导可发挥主导作用,但在边界上应是实验和经验公式发挥主导作用的地方。
水力学理论发展过程可以看作是数学推导的主导作用与实验和经验公式的主导作用共同推动的典型。
该学科的基础为牛顿力学三大定律和质量、能量守恒律,之后数学推导在学科发展中（理想流体力学）发挥主导作用,到实际流体阶段牛顿内摩擦定律、雷诺实验、尼古拉兹试验曲线、谢才公式等发挥主导作用,建立了圣维南方程后数值计算又开始发挥主导作用。
不同的壁面相应的糙率值是不同的。
一般的水力学计算手册和教材列出了一定数量壁面类型的糙率参考值表。
但对天然河道,由于河床条件复杂,需采用实测资料来率定糙率。
这是一种处理复杂问题的变通办法。
3、从水力学看泥沙运动理论
上面的讨论表明,经验公式是水力学理论的组成部分,是其学科体系的重要一环。
不应因为存在经验公式而认为水力学学科中缺少理论或理论不完美。
用这样的视角来看泥沙运动理论中经验公式、半经验半理论公式的问题,对理解学科的特点、评价以往的泥沙运动理论体系、以及今后应开展的研究工作会多一点辩证的思维。
3.1、基本控制方程
水力学理论的发展是从基本控制方程的建立开始的,之后先沿着理想流体力学理论方向发展,再进入真实流体运动理论的发展阶段和边界层、紊流理论等发展阶段。
将泥沙运动理论研究与水力学的理论发展进行比较可以发现,泥沙运动理论发展的轨迹稍有不同,它在初创阶段没有发展基本控制方程（三维情况的连续性方程和运动方程）,而是从恒定均匀流条件下泥沙起动以及恒定均匀不冲不淤条件下推移质输沙率和含沙量沿垂线分布以及水流挟沙力等问题开始的。
目前还没有公认和统一的三维泥沙运动基本控制方程组。
围绕这个问题已有一些学者开展了研究[11,12,13,14,15],方法主要可以归纳为:
用固液二相流双流体模型分别建立固（泥沙）相和液相的连续性方程和运动方程组,建立浑水的连续性方程和运动方程组,以及用动理学理论建立基本方程等类型。
这些方法在处理相应的本构关系和相间作用力等方面,目前还没有得到类似牛顿内摩擦定律那样令大家普遍接受的结果。
这个问题的基础性工作应以实验为主要途径。
一维不平衡输沙基本方程包括运动着的泥沙运动控制方程（泥沙连续性方程）和处在静止状态的泥沙连续性方程（河床变形方程）两个方面。
像一维圣维南水流方程推导中出现的附加项一样,一维泥沙连续性方程也会出现反映水流中的泥沙与河床交换的源项[16,17],目前多采用张瑞瑾水流挟沙力公式使方程封闭。
河床变形方程中若需考虑推移质运动时,则需采用推移质输沙率公式使方程封闭。
目前采用的推移质输沙率和悬移质水流挟沙力公式多为半经验半理论公式,它们的作用相当于水力学圣维南方程中的谢才公式和能量方程中计算沿程水头损失的达西-魏斯巴赫公式。
3.2、悬移质临底含沙量
悬移质运动应用最广泛的是简化的处理方法,即假设直角坐标系上泥沙在纵向、横向和垂向三个方向的速度与水流在三个方向的分速度之间的关系为
式中u、v、w分别为水流在纵向、侧向和垂向的分速度;us、vs、ws分别为泥沙颗粒在纵向、侧向和垂向的速度;为泥沙沉速。
这样泥沙运动速度不再需要单独求解,问题得到简化,泥沙运动方面只剩连续性方程,待求解的物理量为含沙量。
根据式（5）,瞬时三维的悬移质泥沙连续性方程形式为
式中S为含沙量;其他物理量同前。
将式（6）简化,假设可忽略横向变化,则可得到立面二维情况下的泥沙连续性方程。
对方程进行雷诺平均并进一步简化到恒定均匀立面二维的情况,得到
式（7）常被称为扩散理论的基本方程,与扩散理论并存的还有一种重力理论。
张瑞瑾曾对重力理论作过评述[18],指出其悬浮功来源存在缺陷等问题。
从不可压缩流体理论可知,能量方程不是的方程。
同样地,对挟沙水流中的固相,由于不存在状态变化,能量方程也不是方程。
瞬时三维的悬移质泥沙连续性方程是在式（5）的假设基础上得到的,有了这个假设就可从连续性方程（6）求解含沙量,方程是封闭的。
由此说明,描述悬移质含沙量沿垂线分布的理论方程严格来讲只有一个,就是泥沙连续性方程,重力理论是多余的。
由方程（7）求解得到的是相对含沙量沿垂线的分布,求解中存在临底含沙量这个未知量,它是通过方程的边界条件出现在解的结果中的。
我们是否能够根据已有力学定律用数学工具推导出这个条件的数学表达式?
依水力学中阻力问题的处理方法（尼古拉兹曲线和曼宁公式）来进行类比可知:
确定临底含沙量的恰当方法应是通过实验资料的归纳总结这条途径。
3.3、悬移质水流挟沙力
一维平衡输沙情况下的悬移质运动,目前应用最广泛的是张瑞瑾水流挟沙力公式。
虽然,张瑞瑾曾试图从制紊假说的观点来推导该公式的结构形式,但是大多数学者还是倾向于认为它是一个经验公式。
通过与水力学理论类比,同样可以比较自然地认为从现有的力学定律出发仅用数学工具是很难推导出水流挟沙力公式的。
现阶段,能做的是从某个力学观点出发通过数学推导得到公式的结构形式,其中的参系数需依据实验和野外资料确定,也就是半经验半理论的途径。
张瑞瑾水流挟沙力公式能得到广泛应用的原因之一是他认为公式中的k和m为变量,需根据实际河流率定确定,对
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