中考射影定理及其运用正规版.docx
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中考射影定理及其运用正规版
相似三角形------射影定理的推广及应用
射影定理是平面几何中一个很重要的性质定理，尽管义务教材中没有列入，但在几何证明及计算中应用很广泛，若能很好地掌握并灵活地运用它，常可取到事半功倍的效果。
一般地，若将定理中的直角三角形条件非直角化，亦可得到类似的结论，而此结论又可作为证明其它命题的预备定理及联想思路，熟练地掌握并巧妙地运用，定会在几何证明及计算“山穷水尽疑无路”时，“柳暗花明又一村”地迎刃而解。
一、射影定理
射影定理 直角三角形斜边上的高是它分斜边所得两条线段的比例中项；且每条直角边都是它在斜边上的射影和斜边的比例中项。
如图（１）：
Ｒt△ＡＢＣ中，若ＣＤ为高，
则有ＣD２＝ＢＤ•AD、
ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ或
ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ。
二、变式推广
１．逆用 如图（１）：
若△ＡＢＣ中，ＣＤ为高，且有ＤＣ２＝ＢＤ•ＡＤ或ＡＣ２＝ＡＤ•ＡＢ或ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有∠ＤＣＢ＝∠Ａ或∠ＡＣＤ＝∠Ｂ，均可等到△ＡＢＣ为直角三角形。
２．一般化，若△ＡＢＣ不为直角三角形，当点Ｄ满足一定条件时，类似地仍有部分结论成立。
（后文简称：
射影定理变式
（2））
如图（２）：
△ＡＢＣ中，D为ＡＢ上一点，若∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得ＢＣ２＝ＢＤ•AB；反之，若△ＡＢＣ中，Ｄ为ＡＢ上一点，且有ＢＣ２＝ＢＤ•ＡＢ，则有△ＣＤＢ∽△ＡＣＢ，可得到∠ＣＤＢ＝∠ＡＣＢ，或∠ＤＣＢ＝∠Ａ。
三、应用
例１ 如图（３），已知：
等腰三角形ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，高ＡＤ、ＢＥ交于点Ｈ，求证：
４ＤＨ•ＤＡ＝ＢＣ２
分析：
易证∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ=900-∠C＝∠HBD，联想到射影定理变式
（2），可得ＢＤ２＝ＤＨ•ＤＡ，又ＢＣ＝２ＢＤ，故有结论成立。
（证明略）
例２ 如图（４）：
已知⊙Ｏ中，Ｄ为弧ＡＣ中点，过点Ｄ的弦ＢＤ被弦ＡＣ分为４和１２两部分，
求ＤＣ。
分析：
易得到∠ＤＢＣ＝∠ＡＢＤ＝∠ＤＣＥ，满足射影定理变式
（2）的条件，故有ＣＤ２＝ＤＥ•ＤＢ，易求得ＤＣ＝８
（解略）
例3 已知：
如图（5），△ＡＢＣ中，ＡＤ平分∠ＢＡＣ，ＡＤ的垂直平分线交ＡＢ于点Ｅ，交ＡＤ于点Ｈ，交ＡＣ于点Ｇ，交ＢＣ的延长线于点Ｆ，
求证：
ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
证明：
连ＡＦ， ∵ＦＨ垂直平分ＡＤ，
∴ＦＡ＝ＦＤ， ∠ＦＡＤ＝∠ＦＤＡ，
∵ＡＤ平分∠ＢＡＣ，∴∠ＣＡＤ＝∠ＢＡＤ，
∴∠ＦＡＤ－∠ＣＡＤ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，
∵∠Ｂ＝∠ＦＤＡ－∠ＢＡＤ，
∴∠ＦＡＣ＝∠Ｂ，又∠ＡＦC公共，
∴△ＡＦＣ∽△ＢＦＡ，∴
＝
，
∴ＡＦ２＝ＣＦ•ＢＦ，∴ＤＦ２＝ＣＦ•ＢＦ。
射影定理练习
【选择题】
1、已知直角三角形
中，斜边AB=5cm,BC=2cm，D为AC上的一点，
交AB于E，且AD=3.2cm，则DE=（）
A、1.24cmB、1.26cmC、1.28cmD、1.3cm
2、如图1-1，在Rt
中，CD是斜别AB上的高，在图中六条线段中，你认为只要知道（）线段的长，就可以求其他线段的长
A、1 B、2 C、3 D、4
3、在Rt
中，
，
于点D，若
，则
（ ）
A、
B、
C、
D、
【填空题】
5、
中，
，
于点D，AD=6，BD=12，则CD= ，AC=
，
=。
6、如图2-1，在Rt
中，
，
，AC=6，AD=3.6，则BC= ．
【解答题】
7、已知CD是
的高，
，如图3-1，求证：
8、已知
，
，
，
是正三角形，求证：
10、如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，点M在CD上，DH⊥BM且与AC的延长线交于点E．求证：
（1）△AED∽△CBM；
（2）AE•CM=AC•CD．
11、已知：
如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D，过点B做射线BG，交AD、AC于E、F两点，与过点C平行于AB的直线交于点G。
求证：
（1）BE2=EF•EG
（2）若过点B的射线交AD\AC的射线ＡＤ、ＡＣ的延长线分别于Ｅ、Ｆ两点，与过C平行于ＡＢ的直线交于点Ｇ，则（）的结论是否成立，若成立，请说明理由。
初中数学勾股定理说课稿（论文资料）
19.9
（1）勾股定理说课稿
课题:
19.9
（1）勾股定理
一、教材分析
（一）教材简析
这节课是人教版数学八年级第一学期第19.9
（1）节。
勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它可以解决直角三角形中的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。
学生通过对勾股定理的学习，可以在原有的基础上对直角三角形有进一步的认识和理解。
（二）教学目标
1、理解并掌握勾股定理及其证明
2、灵活运用勾股定理进行简单的计算和实际运用。
3、在探索勾股定理的过程中，让学生经历“观察—猜想—归纳—验证”的数学思想，并体
会数形结合和特殊到一般的思想方法。
4、通过介绍中国古代勾股方面的成就，激发学生热爱祖国与热爱祖国悠久文化的思想感情，
培养他们的民族自豪感和钻研精神。
（三）教学的难点和重点
重点:
勾股定理的证明和应用。
难点:
用面积法（拼图法）证明勾股定理。
二、教法与学法分析:
1、教法分析:
针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课选择引导探索法，由浅入深，
由特殊到一般地提出问题。
引导学生自主探索，合作交流，这种教学理念反映了时代精
神，有利于提高学生的思维能力，能有效地激发学生的思维积极性。
基本教学流程是:
提出问题—实验操作—归纳验证—问题解决—课堂小结—布置作业六部分。
2、学法分析:
通过演示实物，引导学生观察、操作、分析、证明，让学生思考问题，获取
知识，掌握方法，借此培养学生动手、动脑、动口的能力以及分析问题和解决问题的能
力，使学生真正成为学习的主体。
三、教学程序
（一）创设情境，提出问题
由故事引入，“3000多年前有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成三段，两端连接得到一个直角三角形，如果两条直角边分别是3和4，那么斜边等于多少,”学生会感到困难，从而教师指出学习了今天这一课后就有办法解决了。
这样引起学生学习兴趣，激发学生求知欲。
数学是从人的需要中产生这一认识的基本观点，同时也体现了知识的发生过程，而且解决问题的过程也是一个“数学化”的过程。
板书课题，出示学习目标。
（二）初步感知，理解教材
教师指导学生对直角三角形三边数量关系进行猜测，并提出我想要看看“在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。
”这个命题是否是真命题,通过自学感悟理解新知，体现了学生的自主学习意识，锻炼学生主动探究知识，养成良好的自我习惯。
b
（三）质疑解难，讨论归纳
目前世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种，连美国第20届总统加菲尔德于1881年也提供了面积证法，而我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法，下面咱们采纳其中一种（教师制作教具分发给同学）来进行证明（（分析引导让学生写出证明步骤）
ab教师引导学生按照要求进行拼图，小组观察并分析:
（1）拼到的图形有什么特点,abcc
（2）你能用几种方式用a,b,c表示空白部分面积,
用四个全等的直角三角形、其直角边为a、b斜边为c
拼成一个大正方形（边长为a+b）则:
caba122ab，c,（a，b）a24×aaaa222a2ab，c,a，2ab，baaca222ac,a，b整理，得:
aaa由此发现我们前面的假设成立。
aa（3）如何运用勾股定理,是否还有其他形式,aa这时教师组织学生分组讨论，调动全体学生的积极性，达到人人参与的效果，接着全班aa交流。
先有某一组代表发言，说明本组对问题的理解程度，其他各组作评价和补充。
教师及aa时进行富有启发性的点拨，最后，师生共同归纳，形成一致意见，最终解决疑难。
aa教师介绍勾股定理的来源:
中国古人对于勾股定理的研究在公园前一千多年就开始了，ab她还有一个名字叫商高定理，《周髀算经》中记载了商高与周公的一段对话谈到了勾股定理，a因此称为商高定理;在西方勾股定理还被称作“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”因为古希a腊有一个叫毕达哥拉斯的数学家在公园前五百多年发现了这一定理，当时他的学派宰牛百a头，广设盛宴，以示庆贺，但她们却并不知道在这之前五百年中国人就已经发现了。
以此可a以激发学生的爱国主义思想。
a
a（四）巩固练习，强化提高a
1、出示练习，学生分组解答，并由学生总结解题规律。
课堂教学中动静结合，以免引a起学生的疲劳。
1、在Rt?
ABC中，?
C=90?
（1）已知a=3，b=4，求c
（2）已知a=8，c=10，求b（3）已知a=3/2，b=2求c（4）已知a=5，b=12，求c（5）已知c=25，b=24，求a（6）已知a=1，c=2，求b
2（7）已知a=b=1，求c（8）已知a=b=，求c2、在Rt?
BCA中，?
A=90?
（1）已知b=4，c=5，求a=____
（2）已知a=13，b=5，求c=____
③tanA不表示“tan”乘以“A”；3、在等腰Rt?
ABC中，?
C=90?
，c=4，求a，b
11.弧长及扇形的面积2、出示例1学生试解，师生共同评价，以加深对例题的理解与运用。
针对例题再次出现巩固练习，进一步提高学生运用知识的能力，对练习中出现的情况可采取互评、互议的形
式，在互评互议中出现的具有代表性的问题，教师可以采取全班讨论的形式予以解决，以此
突出教学重点。
例题:
求边长为1的等边三角形的面积。
④初中阶段，我们只学习直角三角形中，∠A是锐角的正切；（五）归纳总结，练习反馈
7.三角形的外接圆、三角形的外心。
教师提问:
“今天我们学习了什么,”由学生回答。
引导学生对知识要点进行总结，梳
理学习思路。
主要通过学生回忆本节课所学内容，从内容、应用、数学思想方法、获取新知
的途径方面先进行小结，后由教师总结。
（六）作业
（三）实践活动1、练习册
2、勾股定理的其他证明方法
7、每学完一个单元的内容，做到及时复习，及时考核，这样可以及时了解学生对知识的掌握情况，以便及时补差补漏。
（七）板书设计
勾股定理
2、在教师的组织和指导下，通过自己的主动探索获得数学知识，初步发展创新意识和实践能力。
勾股定理的内容
直角三角形两直角边的平方
五、教学目标：
和等于斜边的平方。
176.18—6.24期末总复习几何语言分析过程练习板演?
Rt?
ABC中，?
C,90?
2、加强家校联系，共同教育。
222c,a，b?
任课教师
年级
初二
科目
数学
授课时间
课题
利用勾股定理解决折叠问题
课型
习题课
课时
1
教
学
目
标
知识与
技能
1、理解折叠问题的实质，掌握解题步骤，明确解决问题的突破口；
2、能正确利用勾股定理解决折叠问题，进行直角三角形有关的计算。
过程与
方法
经历观察、比较，发现折叠的过程，在讨论类比中探索勾股定理解决折叠问题的方法。
情感态度与价值观
1、在与同学交流讨论中，学会倾听、思考，大胆发表自己的观点，并体验学习的快乐，养成严谨认真的解题习惯；
2、通过图形的折叠，渗透全等、对称图形的意识。
教学
重点
难点
教学重点
1、探究折叠前后图形的变化特点和规律；·
2、利用勾股定理解决折叠问题；
3、教师怎样引导学生进行对问题的探讨，启发学生归纳、综合应用
教学难点
1、折叠前后元素对应关系
2、利用勾股定理解决折叠问题；
3、教师怎样引导学生进行对问题的探讨，启发学生归纳、综合应用。
教学方法
启发式、探究式
教学用具
多媒体、纸片、三角尺、笔
教学过程
教师活动、教学内容
学生
活动
一、引入课题
前面我们学习了勾股定理，它是用来求直角三角形中边长的基本工具，今天我们就来研究《利用勾股定理解决折叠问题》。
二、自主尝试与合作探究
1、三角形中的折叠
例1、一张直角三角形的纸片，如图1所示折叠，使两个锐角的顶点A、B重合，若∠B=30°，AC=
，求DC的长。
分析：
1、标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？
），明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；
2、利用折叠，找全等。
（1）你能从中找到全等三角形吗？
（2）折叠后出现的相等的线段有哪些？
（3）折叠后出现的相等的角有哪些？
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列方程，解方程，得解。
解：
由折叠可知，
△DEA≌△DEB，∠B=∠DAB=30°
在Rt△ABC中，∠C=90°
∴∠DAC=180°-∠B-∠C-∠DAB=30°
在Rt△DCA中，∠DAC=30°
∴设DC=x，则DA=2x
在Rt△DAC中，根据勾股定理得
DC2＋CA2=DA2，即x2＋（
）2=（2x）2，
3x2=3，x2=1，
∵x是正数∴x=1∴DC=1。
学生小结：
通过这个题可以发现，解决图形中的折叠问题时，解决问题的关键是什么？
用这样的解题思路，我们再来折叠长方形，看看又有什么样的问题等着大家呢？
2、长方形中的折叠
例2、如图2所示，将长方形纸片ABCD的一边AD向下折叠，点D落在BC边的F处。
已知AB=CD=8cm，BC=AD=10cm，求EC的长。
分析：
明确EC在Rt△EFC中，把重点放到Rt△EFC的三条边上，
根据折叠可以知道△AFE≌△ADE，其中AF=AD=10cm，EF=ED，
∠AFE=90°，并且EF＋EC=DC=8cm。
在Rt△ABF中，根据勾股定理可以得出BF=6，则FC=4，在Rt△FEC中，可以设EC=x，则EF=8－x，根据勾股定理可以得EC2＋FC2=EF2，即x2＋42=（8－x）2。
解：
由折叠可得，△AFE≌△ADE，
∴AF=AD=10cm，EF=ED，AB=8cm，EF＋EC=DC=8cm，
在Rt△ABF中，根据勾股定理得
，
∴FC=BC-BF=4cm，
设EC=xcm，则EF=DC－EC=（8－x）cm，
在Rt△EFC中，根据勾股定理得
EC2＋FC2=EF2，
即x2＋42=（8－x）2，
x=3cm，
∴EC的长为3cm。
解题步骤归纳：
1、标已知，标问题（边长的问题一般有什么方法解决？
），明确目标在哪个直角三角形中，设适当的未知数x；
2、利用折叠，找全等。
3、将已知边和未知边（用含x的代数式表示）转化到同一直角三角形中表示出来。
4、利用勾股定理，列出方程，解方程，得解。
3、拓展训练
长方形还可以怎样折叠，要求折叠一次，给出两个已知条件，提出问题，并解答问题。
（提前让学生在课下研究，参考资料，体验折叠的多样性，并灵活运用折叠前后的特点以及勾股定理解决问题）
常见折叠方法：
让设计成功的学生上台展示他们的成果，并给同学思考时间，在让展示的学生讲解。
老师补充。
设计意图：
举一反三，让学生运用学会的方法和思路来解决问题，形成触类旁通的数学能力。
要充分相信学生，多数题目学生可以当“老师”，完全可以讲明白，在不断学习中使数学能力得到提高。
三、课堂小结
这节课你学到了什么？
四、板书设计
利用勾股定理解决折叠问题
解题步骤例1例2
1、标、设
2、找
3、转
4、列、解方程，得解.：
五、课后反思
学生通过观察折叠，图形中相等的量，很清晰的展现在面前。
解决折叠问题中具有代表性的问题。
教师适时加以点拨，整理思路，总结规律和方法。
及时归纳总结
虽然是例2，但解题方法相同，让学生体会折叠的多样性。
激发学生的兴趣。
学生上台完成。
其余同学，下面完成。
并由板书的同学讲解。
展示环节是学生展示自我，体验成功的重要手段。
师生评价与生生评价相结合。
成果展示，提炼方法
对学生进行知识、方法、能力梳理，引导学生自己去发现问题，解决问题，从而形成能力。
进一步提高学生综合解决数学问题的能力，掌握数学方法和技能。
但总体的解题方法不变。
二次根式及勾股定理习题
满分：
时间：
一、选择题（每题3分，共30分）
1.若二次根式
有意义，则（ ）
A．
B.x＜0C.x≠0D.x≤0
2.计算
的结果是（ ）
A．-3B.3C.-9D.9
3下列运算正确的是（ ）
A.
B.3a-a=3C.
D.
4.计算
的结果是（ ）
A．
B.
C.
D.
5．下列根式中，最简二次根式是（ ）
A．
B.
C.
D.
6.下列二次根式中，能与
合并的是（ ）
A．
B.
C.
D.
7．下列计算正确的是（ ）
①
；②
；
③
；④
；
A．1个B．2个C．3个D．4个
8.一直角三角形的两直角边长分别为3和4．则第三边的长为（ ）
A．
B.
C.
D.
9.如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为5和11，则b的面积为（ ）
A．4B.6C.16D.55
10.一棵大树在一次强台风中于离地面5米处折断倒下，倒下部分与地面成30°夹角，这棵大树在折断前的高度为（ ）
A．10米B.15米C.25米D.30米
二、填空题（每题4分，共24分）
11.二次根式
在实数范围内有意义，则x的取值范围是。
12.已知
，则
=。
13.把下列二次根式化成最简二次根式
=
=
14.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（-6，0）、（0，8）．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x正半轴于点C，则点C的坐标为。
15.能够成为直角三角形三条边长的正整数，称为勾股数．请你写出一组勾股数：
。
16.若三角形三条边长a、b、c满足
，则△ABC是三角形。
三、解答题（17-19题每题6分，20-22题每题7分，23-25题每题9分）
17.计算
18.化简：
。
19.如图所示，在平行四边形ABCD中，BE、CF平分∠B、∠C，交AD于E、F两点，求证：
AF=DE．
20.已知
，
（1）化简这四个数；
（2）选其中两个数，通过适当运算后使得结果为2．请列式并写出运算过程．
21.如图，面积为48cm2的正方形四个角是面积为3cm2的小正方形，现将四个角剪掉，制作一个无盖的长方体盒子，求这个长方体的底面边长和高分别是多少？
（精确到0.1cm，
≈1.732）
22.如图所示，一架长为2.5米的梯子AB，斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端距离底AO为0.7米，求梯子顶端离地OB多少米？
如果梯子顶端B沿墙下滑0.4m，那么梯子底端将向左滑动多少m？
23.如图，△ABC是边长为2的等边三角形，将△ABC沿直线BC向右平移，使点B与点C重合，得到△DCE，连接BD，交AC于点F．
（1）猜想AC与BD的位置关系，并证明你的结论；
（2）求线段BD的长．
24.阅读下列解题过程：
在进行含根号的式子的运算时，我们有时会碰上如
一类的式子，其实我们可以将其进一步化简，如：
，以上这种化简的步骤叫做分母有理化．请回答下列问题：
（1）观察上面的解题过程，请化简
（2）利用上面提供的信息求
的值。
25.如图，有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm，宽为4cm，将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD上适当移动P．
（1）能否使两边分别通过点B与点C？
若能，请求出这时AP；若不能，请说明理由；
（2）再次移动位置，使P在AD上移动，边PH始终通过点B，另一直角边PF与DC延线交于点Q，与BC交于点E，能否使CE=2 ？
若能，请求出这时AP；若不能，请说明理由．
二次根式及勾股定理答案
一、选择题（每题3分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
C
C
D
B
A
D
C
B
二、填空题（每题4分，共24分）
11.X≥112.213.
0.1
14.（4,0）15.3,4,516.直角三角形。
三、解答题（17-19题每题6分，20-22题每题7分，23-25题每题9分）
17.计算
18.
19.证明：
20.
（2）
21.解：
22.
23.
24.
25.
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