高阶等差等比数列的通项及求法.docx

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高阶等差等比数列的通项及求法

一、高阶等差数列的心及心的求法

求高阶等差数列的通项知及前“和S”的时候，通常采用逐差法或待定系数法。

下而先介绍逐差法求通项。

方法一逐差法。

我们先看一个例题。

例1求数列｛"”｝的通项：

｛〜｝：

1,7,25,61,121,211,・・・

解：

先作各阶差数列：

数列：

1,7,25,61,121,211,・・・

一阶差数列心｝：

6,18,36,60,90,…

二阶差数列CJ：

12,18,24,30,…

三阶差数列：

6,6,6,…

由此可见，数列｛。

”｝是3阶等差数列，数列©｝是首项为12、公差为

6的等差数列，故

cn=12+（h一1）6=6”+6

•・•$—仇J（心2）,

/.bx—仇“=6（//-1）+6=6/2>

于是得到>2）

叽-仇-I=6〃

仇J-b“=6（/?

-1）,

仇・2一4・3=6（舁一2）,

b2—/?

=6・2.

•••••••••••••••••••••••••••••彳/•••••••••••••••••••••.•.•.•

将以上各式两边分别相加，得

bn-bx=6（2+3+・・・+〃）

=6（1+2+3+…+n）-6=6•叩;一&）-&

=3n2+3n—6

/.bn=3n2+3n一6+纠=+3n（n>2）.

因为此公式当“=1时的值/7.=6,故数列｛b„｝的通项公式为

bn=3n2+3n（n=1,2,3,…）

又"”+i一舛="（"=1,2,3,…）

=3/22+3n（n=1,2,3,■■■）

由此可得，当“22时，

£=3,?

an-\一Cln-2=3（〃一1广一3（〃-1）,

①_=3•2-_3•2,

将以上各式相加，得

an一绚=3[/?

2+（h-1）2+…+2']—3[几+（“一1）+・・+2]

=3[用+（〃一1）2+・・・+2‘+卩]一3[〃+（料一1）+・・+2+1]—3•卩+3・1

n（n+1）（2/?

+1）n（n+l）3

=337?

-n.

/.an=n、一x、一n+ax=h3一n+1（/?

>2）,

又此式当八=1时的值®=1,故数列｛"”｝的通项公式为an=n3—m+1（/2=1,2,3,…）.

一般地，设数列｛©｝的K阶差数列记为｛/｝,如果数列｛〜｝是P阶等差数列，那么（P-1）阶差数列｛“「｝是等差数列，于是可以求出数列｛“丁｝的通项公式，利用席―血严=船匕=123,…），仿照上述例题的作法，可以求出数列«-2））的通项公式，依次类推，可求出数列仏”｝的通项公式.

利用逐差法求高阶差数数列的通项还是比较麻烦的，下而介绍待定系数法求通项.

方法二待定系数法

下而先证明两个定理.

定理1设P为正整数，前n个自然数的P次幕的和记为S；J,即S'：

'=lp+2P+3P+-np.

则ST是关于n的（p+1）次多项式.

证明用数学归纳法.

当p二1时，因

Sf=1+2+3+…=巴凹=匕,+4,它是关于n的2次多项式,

222

故结论是正确的.

设结论当“Sk伙XI）是正确的，既

=广+2女+3*+…卅

是关于n的（k+1）次多项式.

严=£严一土（;-1）*+2

j-ij-i

=tJk+2-t［严-昭产+^•訂-C乙产+…+（-1严］

j-i;-1

=c朮严-邙2乞产+C吐严+…+（-1严川，

/■IJ-1;-1

于是

t严=斗"严+c金i;r-c吐严+…+（-i）F].

/-I5+2J-1；-1

根据假设fj\±产…分别是关于n的（k+1）次、k次、（k-1）/-IJ-1

次，…，1次多项式，而C乙（丿=1,2,3,…*+2）与n无关，因此文严是

/-I

关于n的（k+2）次多项式.就是说，当p二k+1时，Sf是关于n的（k+2）次多项式，即结论当p二k+1时也是正确.

因此，Sf是关于n的（p+1）次多项式.

定理2数列｛心｝为p阶等差数列的充要条件是：

数列｛“”｝的通项为n的p次多项式.

证明先证必要性.用数学归纳法.

当p二1时，数列｛"”｝是等差数列，其通项a„=at+（n-1）J,这是关于n的一次多项式.

设p二k,即当｛©｝为k阶差数列时,数列｛（“”-％）｝（心2）就是k阶差数列时，根据假设可令

an~an-\=ank+加z+…依次令n二2,3,4,…得

a2—ax=a-2k+b-2i_1+■••

a5-a2=“•3*+b-3A_I+■••

an_an^=a-nK+b・n1l'x+・•・

将以上各式两边分别相加，化简后得

an=a（2k+3k+-+nk）+b（2k^+3*'1+…+/"）+…+q

根据定理1,右边第一个括号的和是关于n的（k+1）次多项式，第二个括号是关于n的k次多项式，…，因此，心是关于n的（k+1）次多项式.

所以，当｛“”｝为（k+1）阶等差数列时，心是关于n的（k+1）次多项式，即p二k+1时结论也是成立的.

由上述证明可知，当｛心｝为p阶等差数列时，心是关于门的卩次多项式.

充分性.设数列｛“”｝的通项是关于n的p次多项式，设

an=an"+bnp^1+…（aH0）

作它的一阶差数列：

an一①一]=+bn/，-1+…]一[a（n—l）"+/?

（/?

—+…]

=apnp+…

如果连续作P次,则得到P阶差数列是常数列｛©川，因此数列｛"”｝是P阶等差数列.

定理3若数列｛“”｝为p阶等差数列，则它的前n项和S”是关于n的（p+1）次多项式.

证明因为｛“”｝是p阶等差数列，根据定理2,它的通项公式是关于n是p次多项式.设a”=anv+bn!

，~'+…（aH0）,

（akp+bkp~}+…）

根据定理1,t忆亡…分别是关于n的（p+1）次、p次、

21k^\

（p-l）次，…多项式，因此，S”是关于n的（p+1）次多项式.根据定理2和定理3,我们可以求出任意的高阶等差数列的通项公式和前n项和公式.

例1求下面数列的通项公式及前n项和5,17,35,59,89,…解先判断是几阶等差数数列.

数列｛©｝：

5,17,35,59,89,…

一阶差数列：

12,18,24,30-

二阶差数列：

6,6,6,・・・

因此，数列｛“”｝是二阶等差数列，根据定理2,%是关于n的2次多项式；根据定理3,前项n和S”是关于n的3次多项式.于是设an=air+bn+c,①

S„=劝"+yn2+zjt+f.②

其中“、b、c、x、y、z、/都是待定系数.

因为®=5,“2=17,“3=35,于是由①式得方程组

a+h+c=5.

<4"+2Z?

+c=17,

9a+3Z?

+c=35.

解之得a=3,b=3,c=-l,因此数列的通项公式为aH=3n2+3/i-1（«=123,…）

因此S]=q=5,S2=q+a2=22,S3=S2+a3=57,S4=S3+a4=116,于是由

②式得方程组：

k+y+z+/=5；

8x+4y+2z+f=22;

27x+9y+3z+f=57;

64x+16y+4?

+/=116.

解之得x=l,y=3,z=lJ'=0.因此，数列的前n项和

Sn=n3+3n2+n（n=1,2,3,…）.

例2求数列1・2,2・3,"5+1）的和

解数列的通项色“心+1）=“2+”,是关于n的2次多项式，因此，

数列｛“”｝的前n项和》是关于n的3次多项式，于是可设

S“=an'+bn2+cn+d.

因

S]=q=1・2=2,S?

=S]+他=2+2・3=&S3=S?

+為=8+3・4=20,S4=S3+a4=20+4・5=40,于是得方程组

a+b+c+d=2\

Sa+4b+2e+〃=&

27a+9b+3c+〃=20;

64"+16b+4c+〃=40.

解这个方程组得

=u=2,J=o.

因此，数列的和.严加+用+人

这个例题，如果是自然数的方幕和公式来计算，则会简单一些：

1•2+2・3+…+〃（〃+1）

=工《伙+1）=工伙‘+1）=》*'+工k

&k^\&■】衣■】

（/?

+l）（2/i+1）n（n+1）13乍2

=—+—=-n+ir+-n・

6233

二、高阶等比数列的通项％及》的求法

下而我们介绍用逐差法求高阶等比数列的通项及前n顶和的问

题.

例1求下列数列的通项：

（1）｛%｝：

5,11,23,47,…，

（2）｛bn｝:

5,15,49,155,477,••・.

解

（1）先作各阶差数列：

数列｛©｝：

5,11,23,47,…，

一阶差数列｛心｝6,12,24,…，

由此可知，数列｛%｝是一阶等比数列,数列｛“”｝的首项为6,公

比为2,于是

an=6-2,!

~1.

a2-an_x=«n_,=6-2h_2,

/.a2-q=6•2°,©—a2=6-21,a4—a3=6*22,•••,«„—an-\=6*2n~2,

将以上各式两边分别相加，得

=6（1+2+22+---+2,,_2）

2-1

/.an=6•2""_6+坷

=6・2心-6+5=6・2"7-1=3・2"-1.

因此，数列的通项公式为

a=32”一1（〃=1,2,3,…）

（2）数列及其各阶差数列为：

数列｛仇｝5,15,49,155,477,…，

一阶差数列｛“”｝：

10,34,106,322,…，

般新资料推移

二阶差数列心｝：

24,72,216,

由此可见，数列｛“｝是首项为24、公比为3的等比数列，于是数列｛q｝的通项公式为

un=24-3,,_,=83"=1,2,3,…）

u2一％=8・3]“3~ui=8・3[…町一Hn-1=8・3""・

将以上各式两边分别相加，得

冷一吗=8⑶+3?

+…+3心）

3（3心-1）

3-1

=4・3〃一12・

.IUn=43"-12+%=4・3〃一12+10=4・3"-2・

又•"”一几―也=4・3”“—2,

.b2一妬=4』_2,爲一优=4与2一2,…,乞=4・3心_2.

将以上各式两边相加，得

仇一勺=4（31+32+・・+3心）一2（允一1）

=2・3“一2〃一4,

・・・化=2・3"—2舁一4+勺=2•丁一2川一4+5=2•丁一2川+1・

因此，数列心｝的通项公式为

饥=2・3"—2m+1（〃=123,…）.

下而介绍用待定系数法求一阶和二阶等比数列的通项的方法.

Cin=Aq"~l+B（n=1,2,3,…）

其中A、B为非0的常数，q为一阶差数列的公比.

证明因为数列｛"”｝是一阶等比数列，故数列

（a2-ax）,（a3-a2\-（an+1-an）,…是等比数歹lj.设公比为心Hl）,则""+1-=（“2-"1）“1，因为5工“2，a2~a\•由此得

“2-q=（①-5）q°,①~ai=（①_绚）d,①_a3=（他_q）/,…

%=（“2-®）/7（nn2）

将以上各式两边分别相加，得

£一绚=（。

2—"］）（1+§+/+…+§心）

[一严

.•・an=q+—6/|）・（爬>2）

\_q

此公式当,『1,时的值为因此数列通项公式为

]_广

①=+（a.一a】）{n=1,23,…）

1一9

令a一（gi）,B=q+（G“）丄，则数列他｝的通项公式可以写\_ql_g

an=Aqn~l+B｛n=1,2,3,…）

定理证毕.

当数列｛"”｝为二阶等比数列时，因为一阶差数列

4-绚）,a-①）,…（如—讥…是一阶等比数列，由定理可得此数列

的通项公式为

勺+1一a”=+Bl（n=1,2,3,…）

其中q是二阶差数列的公比，4、目是常数.将此公式两边求和，得

为g—畋-i）=£（人广~+BJ,即an-a｝=_-__-+目（"一1）.

jt-2a-2\_q

由此可以得到，二阶等比数列｛"”｝的通项公式为

®=W+B〃+C'.

其中A，,BtC都是常数

一般地说，P阶等比数列的通项形式为

5=+B｛np+B#+■B/t.

利用上述结论，可以用待定系数法求高阶等比数列的通项公式.例2求数列｛勺｝:

1,31,221,1211,6201,31191,…的通项公式.

解不难验证，数列是2阶等比数列，且二阶差数列的公比为5,于是可设数列通项为

an=A-5”“+Bn+C.

W5=1卫2=31"=⑵,F是得方程组

A+B+C=l,

<5A+2B+C=31,

25A+3B+C=221.

解这个方程组,得A=10,B=-10,C=l.

因此，数列的通项公式为«„=2-1OH+l（n=1,2,3,•■）

因为p阶等比数列的通项公式为

an=Aqn~x+B.np~x+B2np~2+…Bp,

般新资料推移

于是数列的前n项和为

k^\Jt-1攵2«■】

由此可见，只要求出了高阶等比数列的通项公式，它的前n项和也是可以求出来的.

例3求数列｛“”｝

53,172,332,…的前n项和.

解先求数列傀｝：

3,5,9,17,33,…的通项，这个数列的一阶差数列为2,4,8,16,・・・

是一个等比数列，其公比为2,因而可设数列血｝的通项公式为

h„=A2”“+B.因为勺=3、g=5,于是方程组

"+3=3,

2A+B=5.

解之A=2,B=l.

因此,数列｛%｝的通项公式为仇=2•2n-*+1=2"+1（/1=1,2,3…）,

所以数列仏”｝的通项公式为

数列⑷｝的前n项和为

Sn=td（2"+2^+1）

=E（

1-1

4'+2-2'+1）

广+2工2*+工1

X-1H

=2.（4”一l）+4（2”—l）+7i.

化简后，得数列仏”｝的前n项和公式

S”=-4M+1+2H+2+n-—（n=1,2,3…）.

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