初一数学追及问题和相遇问题列方程的技巧Word文档下载推荐.docx
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相遇（相离）时间＝相遇（相离）路程
在相遇（相离）问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。
追及问题
两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。
慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。
有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。
解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。
解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。
追及（或领先）的路程÷
速度差=追及时间
速度差×
追及时间=追及（或领先）的路程
追及时间=速度差
要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。
如：
运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）。
常用公式：
行程问题基本恒等关系式：
速度×
时间=路程，即S=vt.
行程问题基本比例关系式：
路程一定的情况下，速度和时间成反比；
时间一定的情况下，路程和速度成正比；
速度一定的情况下，路程和时间成正比。
相遇追及问题中符号法则：
相向运动，速度取和；
同向运动，速度取差。
流水行船问题中符号法则：
促进运动，速度取和；
阻碍运动，速度取差。
行程问题常用比例关系式：
路程比=速度比×
时间比，即S1/S2=v1/v2×
t1/t2
电梯运行规律：
能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）×
顺电梯运动所需时间
能看到的电梯级数=（人速—电梯速度）×
逆电梯运动所需时间
2v1v2
往返运动问题核心公式：
往返平均速度=-------（其中v1和v2分别表示往返的速度）
v1+v2
3S1+S2
两次相遇问题核心公式：
单岸型S=-------；
两岸型S=3S1-S2（S表示两岸的距离）
2
相向而行：
相遇时间=距离÷
速度之和
相背而行：
相背距离=速度之和×
时间
注意：
同向而行追及时速度慢的在前，快的在后。
在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。
环形运动的追击问题和相遇问题：
若同向同起点运动，第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑一圈；
若相向同起点运动，第一次相遇时，两者路程和为一圈的长度。
解决行程问题，常以速度为中心，路程和时间为两个基本点，善于抓住不变量列方程。
对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。
分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。
理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。
（3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同时间内，甲、乙一共行的
At+bt=st=s/a+bS甲=a*t=a*s/a+bS乙=b*t=b*s/a+b
封闭路线中的行程问题
解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度×
时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。
封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。
在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。
直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。
每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。
流水行船问题
顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。
解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。
已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。
解答这类问题，一般要掌握下面几个数量关系：
船速：
在静水中的速度
水速：
河流中水流动的速度
顺水船速：
船在顺水航行时的速度
逆水速度：
船在逆水航行时的速度
船速+水速=顺水船速
船速－水速=逆水船速
（顺水船速+逆水船速）÷
2=船速
（顺水船速－逆水船速）÷
2=水速
顺水船速=船速+水速=逆水船速+水速×
2
过桥问题
一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道的时间等关系的一类应用题。
解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长，即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。
桥长+车长=路程
平均速度×
过桥时间=路程
过桥时间=路程÷
平均速度
解行程问题的方法
已知速度、时间、距离三个数量中的任何两个，求第三个数量的应用题，叫做行程问题。
解答行程问题的关键是，首先要确定运动的方向，然后根据速度、时间和路程的关系进行计算。
行程问题的基本数量关系是：
时间=路程
路程÷
速度=时间
时间=速度
行程问题常见的类型是：
相遇问题，追及问题（即同向运动问题），相离问题（即相背运动问题）。
（一）相遇问题
两个运动物体作相向运动或在环形跑道上作背向运动，随着时间的发展，必然面对面地相遇，这类问题叫做相遇问题。
它的特点是两个运动物体共同走完整个路程。
小学数学教材中的行程问题，一般是指相遇问题。
相遇问题根据数量关系可分成三种类型：
求路程，求相遇时间，求速度。
它们的基本关系式如下：
总路程=（甲速+乙速）×
相遇时间=总路程÷
（甲速+乙速）
另一个速度=甲乙速度和-已知的一个速度
（二）追及问题
追及问题的地点可以相同（如环形跑道上的追及问题），也可以不同，但方向一般是相同的。
由于速度不同，就发生快的追及慢的问题。
根据速度差、距离差和追及时间三者之间的关系，常用下面的公式：
距离差=速度差×
追及时间
追及时间=距离差÷
速度差
速度差=距离差÷
速度差=快速-慢速
*例1甲、乙二人在同一条路上前后相距9千米。
他们同时向同一个方向前进。
甲在前，以每小时5千米的速度步行；
乙在后，以每小时10千米的速度骑自行车追赶甲。
几小时后乙能追上甲？
解：
求乙几小时追上甲，先求乙每小时能追上甲的路程，是：
10-5=5（千米）
再看，相差的路程9千米中含有多少个5千米，即得到乙几小时追上甲。
9÷
5=1.8（小时）
*例2甲、乙二人在相距6千米的两地，同时同向出发。
乙在前，每小时行5千米；
甲在后，每小时的速度是乙的1.2倍。
甲几小时才能追上乙？
甲每小时行：
5×
1.2=6（千米）
甲每小时能追上乙：
6-5=1（千米）
相差的路程6千米中，含有多少个1千米，甲就用几小时追上乙。
6÷
1=6（小时）
*例3甲、乙二人围绕一条长400米的环形跑道练习长跑。
甲每分钟跑350米，乙每分钟跑250米。
二人从起跑线出发，经过多长时间甲能追上乙？
此题的运动路线是环形的。
求追上的时间是指快者跑一圈后追上慢者，也就是平时所说的“落一圈”，这一圈相当于在直线上的400米，也就是追及的路程。
因此，甲追上乙的时间是：
400÷
（350-250）=4（分钟）
*例4在解放战争的一次战役中，我军侦察到敌军在我军南面6千米的某地，正以每小时5.5千米的速度向南逃窜，我军立即以每小时8.5千米的速度追击敌人。
在追上敌人后，只用半小时就全歼敌军。
从开始追击到全歼敌军，共用了多长时间？
敌我两军行进的速度差是：
8.5-5.5=3（千米/小时）
我军追上敌军用的时间是：
3=2（小时）
从开始追击到全歼敌军，共用的时间是：
2+0.5=2.5（小时）
*例5一排解放军从驻地出发去执行任务，每小时行5千米。
离开驻地3千米时，排长命令通讯员骑自行车回驻地取地图。
通讯员以每小时10千米的速度回到驻地，取了地图立即返回。
通讯员从驻地出发，几小时可以追上队伍？
通讯员离开队伍时，队伍已离开驻地3千米。
通讯员的速度等于队伍的2倍（10÷
5=2），通讯员返回到驻地时，队伍又前进了（3÷
2）千米。
这样，通讯员需追及的距离是（3+3÷
2）千米，而速度差是（10-5）千米/小时。
根据“距离差÷
速度差=时间”可以求出追及的时间。
（3+3÷
2）÷
（10-5）
=4.5÷
5
=0.9（小时）
（三）相离问题
相离问题就是两个人或物体向相反方向运动的应用题，也叫做相背运动问题。
解相离问题一般遵循“两个人或物体出发地之间的距离+速度和×
时间=两个人或物体之间的距离”。
*例3东、西两镇相距69千米。
张、王二人同时自两镇之间的某地相背而行，6小时后二人分别到达东、西两镇。
已知张每小时比王多行1.5千米。
二人每小时各行多少千米？
出发地距东镇有多少千米？
（适于高年级程度）
由二人6小时共行69千米，可求出他们的速度和是（69÷
6）千米/小时。
张每小时比王多行1.5千米，这是他们的速度差。
从而可以分别求出二人的速度。
张每小时行：
（69÷
6+1.5）÷
=（11.5+1.5）÷
=6.5（千米）
王每小时行：
6.5-1.5=5（千米）
出发地距东镇的距离是：
6.5×
6=39（千米）
解流水问题的方法
流水问题是研究船在流水中的行程问题，因此，又叫行船问题。
在小学数学中涉及到的题目，一般是匀速运动的问题。
这类问题的主要特点是，水速在船逆行和顺行中的作用不同。
流水问题有如下两个基本公式：
顺水速度=船速+水速
（1）
逆水速度=船速-水速
（2）
这里，顺水速度是指船顺水航行时单位时间里所行的路程；
船速是指船本身的速度，也就是船在静水中单位时间里所行的路程；
水速是指水在单位时间里流过的路程。
公式
（1）表明，船顺水航行时的速度等于它在静水中的速度与水流速度之和。
这是因为顺水时，船一方面按自己在静水中的速度在水面上行进，同时这艘船又在按着水的流动速度前进，因此船相对地面的实际速度等于船速与水速之和。
公式
（2）表明，船逆水航行时的速度等于船在静水中的速度与水流速度之差。
根据加减互为逆运算的原理，由公式
（1）可得：
水速=顺水速度-船速
（3）
船速=顺水速度-水速
（4）
由公式
（2）可得：
水速=船速-逆水速度
（5）
船速=逆水速度+水速
（6）
这就是说，只要知道了船在静水中的速度、船的实际速度和水速这三者中的任意两个，就可以求出第三个。
另外，已知某船的逆水速度和顺水速度，还可以求出船速和水速。
因为顺水速度就是船速与水速之和，逆水速度就是船速与水速之差，根据和差问题的算法，可知：
船速=（顺水速度+逆水速度）÷
2
（7）
水速=（顺水速度-逆水速度）÷
（8）
*例1一只渔船顺水行25千米，用了5小时，水流的速度是每小时1千米。
此船在静水中的速度是多少？
此船的顺水速度是：
25÷
5=5（千米/小时）
因为“顺水速度=船速+水速”，所以，此船在静水中的速度是“顺水速度-水速”。
5-1=4（千米/小时）
*例2一只渔船在静水中每小时航行4千米，逆水4小时航行12千米。
水流的速度是每小时多少千米？
此船在逆水中的速度是：
12÷
4=3（千米/小时）
因为逆水速度=船速-水速，所以水速=船速-逆水速度，即：
4-3=1（千米/小时）
*例3一只船，顺水每小时行20千米，逆水每小时行12千米。
这只船在静水中的速度和水流的速度各是多少？
因为船在静水中的速度=（顺水速度+逆水速度）÷
2，所以，这只船在静水中的速度是：
（20+12）÷
2=16（千米/小时）
因为水流的速度=（顺水速度-逆水速度）÷
2，所以水流的速度是：
（20-12）÷
2=4（千米/小时）
*例4某船在静水中每小时行18千米，水流速度是每小时2千米。
此船从甲地逆水航行到乙地需要15小时。
求甲、乙两地的路程是多少千米？
此船从乙地回到甲地需要多少小时？
此船逆水航行的速度是：
18-2=16（千米/小时）
甲乙两地的路程是：
16×
15=240（千米）
此船顺水航行的速度是：
18+2=20（千米/小时）
此船从乙地回到甲地需要的时间是：
240÷
20=12（小时）
*例5某船在静水中的速度是每小时15千米，它从上游甲港开往乙港共用8小时。
已知水速为每小时3千米。
此船从乙港返回甲港需要多少小时？
此船顺水的速度是：
15+3=18（千米/小时）
甲乙两港之间的路程是：
18×
8=144（千米）
15-3=12（千米/小时）
此船从乙港返回甲港需要的时间是：
144÷
12=12（小时）
综合算式：
（15+3）×
8÷
（15-3）=12（时）
*例6甲、乙两个码头相距144千米，一艘汽艇在静水中每小时行20千米，水流速度是每小时4千米。
求由甲码头到乙码头顺水而行需要几小时，由乙码头到甲码头逆水而行需要多少小时？
顺水而行的时间是：
（20+4）=6（小时）
逆水而行的时间是：
（20-4）=9（小时）
*例7一条大河，河中间（主航道）的水流速度是每小时8千米，沿岸边的水流速度是每小时6千米。
一只船在河中间顺流而下，6.5小时行驶260千米。
求这只船沿岸边返回原地需要多少小时？
此船顺流而下的速度是：
260÷
6.5=40（千米/小时）
此船在静水中的速度是：
40-8=32（千米/小时）
此船沿岸边逆水而行的速度是：
32-6=26（千米/小时）
此船沿岸边返回原地需要的时间是：
26=10（小时）
*例8一只船在水流速度是2500米/小时的水中航行，逆水行120千米用24小时。
顺水行150千米需要多少小时？
120000÷
24=5000（米/小时）
此船在静水中航行的速度是：
5000+2500=7500（米/小时）
7500+2500=10000（米/小时）
顺水航行150千米需要的时间是：
150000÷
10000=15（小时）
*例9一只轮船在208千米长的水路中航行。
顺水用8小时，逆水用13小时。
求船在静水中的速度及水流的速度。
208÷
8=26（千米/小时）
13=16（千米/小时）
由公式船速=（顺水速度+逆水速度）÷
2，可求出此船在静水中的速度是：
（26+16）÷
2=21（千米/小时）
由公式水速=（顺水速度-逆水速度）÷
2，可求出水流的速度是：
（26-16）÷
2=5（千米/小时）
*例10A、B两个码头相距180千米。
甲船逆水行全程用18小时，乙船逆水行全程用15小时。
甲船顺水行全程用10小时。
乙船顺水行全程用几小时？
甲船逆水航行的速度是：
180÷
18=10（千米/小时）
甲船顺水航行的速度是：
10=18（千米/小时）
根据水速=（顺水速度-逆水速度）÷
2，求出水流速度：
（18-10）÷
乙船逆水航行的速度是：
80÷
15=12（千米/小时）
乙船顺水航行的速度是：
12+4×
2=20（千米/小时）
乙船顺水行全程要用的时间是：
20=9（小时）
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