数学思维方法.docx
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数学思维方法
数学思维方法
第一节数学思维和思维过程
一、数学思维及其类型
1.思维概述
思维是人脑对客观现实概括的、间接的反映，是客观事物的本质和规律的反映。
思维是人类所特有的一种高级的心理活动。
2.思维的特征
数学思维的特征主要是概括性、间接性、目的性、问题性和复合性。
（1）概括性。
思维能认识事物的本质及其内在规律性，主要来自抽象和概括，即思维是概括的反映，所以思维最显著的特点是概括性。
概括是思维活动的速度、灵活迁移程度、广度和深度等智力品质的基础。
（2）间接性。
思维是凭借知识经验对客观事物进行的间接的反映。
间接性表现在能对没有直接作用于感知的事物的属性或联系加以反映，能对根本不能直接感知的事物及其属性或联系进行反映；能在对现实事物认识的基础上假设、想象等。
（3）目的性。
思维具有目的性，是指思维具有解决问题或获得结果的能动性。
人只有在客观实践活动中面临新的问题，新的活动要求和新的情况下，才可能进行思维。
思维的特性还包括广阔性、层次性、逻辑性、产生性等。
3.思维的分类
根据思维活动的目的性差异，思维有不同形式的分类。
（1）根据思维的抽象程度。
思维可分为直观行动思维、直观形象思维和抽象逻辑思维。
（2）根据思维的目的性。
思维分为上升性思维、求解性思维和决策性思维。
上升性思维是依靠比较、分析、抽象等方法，从对事物的个性向共性的认识过程；求解性思维指解决具体问题的思维；决策性思维是以规范未来的实验过程和预测其效果为中心内容的思维活动。
三种思维相互联系、彼此渗透，同时又是一个不断深化和发展的过程。
（3）根据思维的智力品质。
思维可分为再现性思维和创造性思维。
再现性思维是一般的思维活动，它是指对已有知识的再现，或将已有知识按照通常的思维形式去解决问题的过程；创造性思维指独立思考出有社会价值的、具有一定新颖成分的思维，它是人类思维的高级阶段。
（4）根据思维的形式。
思维可分为辐合思维和发散思维。
4.数学思维
数学思维既具有一般思维的共性，又具有自身的特性。
数学思维是以认识数学对象为任务，以数和形为思维对象，以数学语言和符号为思维载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维。
数学思维主要具有概括性、整体性和问题性等特点。
（1）概括性。
数学思维的概括性是指将某种事物已分出来的一般、共同的属性或特征结合起来，再把研究对象的本质特征推广为范围更广的包含这个对象的同类事物的本质特征。
数学思维的概括性比一般思维的概括性更强，这是由于数学思维揭示的是事物之间内在的形式结构和数量关系及其规律，能够把握一类事物共有的数学属性。
（2）整体性。
数学思维的整体性主要表现在它的统一性和对数学对象基本属性的准确把握。
（3）相似性。
数学思维的相似性是思维相似规律在数学思维活动中的反映。
（4）问题性。
数学思维的问题性是与数学科学的问题性相关联的。
问题是数学的心脏，数学科学的起源与发展都是由问题引起的。
由于数学思维是解决数学问题的心智活动，它总是指向问题的变换，表现为不断地提出问题、分析问题和解决问题，使数学思维的结果形成问题的系统和定理的序列，达到掌握问题对象的数学特征和关系结构的目的。
因此，问题性是数学思维目的性的体现，解决问题的活动是数学思维活动的中心。
（5）复合性。
数学思维的复合性是指数学思维活动中表现出的逻辑性和非逻辑性相结合的特征。
二、数学思维的类型
确定数学思维类型应该考虑的问题：
首先，数学思维既要体现一般思维的规律，又要结合数学学科的特点，反映出数学思维特有的规律。
其次，数学思维应是指数学活动过程中的思维，这种活动包括研究数学和学习数学的活动。
由上面分析可知，数学思维的成分主要包括形象思维、抽象逻辑思维和直觉思维。
1.形象思维
数学形象思维是指借助数学形象或表象，反映数学对象的本质和规律的一种思维。
在数学形象思维中，表象与想象是两种主要形式，其中数学表象又是数学形象思维的基本元素。
（1）数学表象。
数学表象是以往感知过的观念形象的重现。
数学表象常常以反映事物本质联系的特定模式——结构来表现。
如，数学中“球”的形象，已是脱离了具体的足球、篮球、排球、乒乓球等形象，而且与定点距离相等的空间内点的集合，显示了集合内的点（球面上的点）与定点（球心）之间的本质联系：
距离相等。
（2）数学想象。
数学想象是数学形象思维的一种重要形式，通常可分为再造性想象和创造性想象两种类型。
再造性想象是根据数学语言、符号、数学表达式或图形、图表、图解等提示，经过加工改造而形成新的数学形象的思维过程。
创造性想象是一种不依靠现成的数学语言和数学符号的描述，也不依据现成的数学表达式和数学图形的提示，只依据思维的目的和任务在头脑中独立地创造出新的形象的思维过程。
2.逻辑思维
逻辑思维包括形式逻辑思维和辩证逻辑思维。
形式逻辑思维是依据形式逻辑的规则来反映数学对象、结构及其关系，达到对其本质特性和内在联系的认识过程。
辩证逻辑思维是逻辑思维发展的高级阶段，它是从运动过程及矛盾相互转化中去认识客体，遵循质量互变、对立统一及否定之否定等规律去认识事物本质的过程。
3.直觉思维
数学直觉思维是以一定的知识经验为基础，通过对数学对象作总体观察，在瞬间顿悟到对象的某方面的本质，从而迅速做出估计判断的一种思维。
数学直觉思维是一种非逻辑思维活动，是一种由下意识活动参与，不受固定逻辑规则约束，由思维主体自觉领悟事物本质的思维活动。
因此，非逻辑性是数学直觉思维的基本特征，同时数学直觉思维还具有直接性、整体性、或然性、不可解释性等重要特征。
（1）直接性。
数学直觉思维是直接反映数学对象、结构及关系的思维活动，这种思维活动表现为对认识对象的直接感悟或洞察，是数学直觉思维的本质特征。
（2）整体性。
整体性是指数学直觉思维的结果是关于对象的整体性认识，尽管这并非是一副毫无遗漏的“图画”，它的某些细节甚至可能是模糊的，但是却清楚地表明了事物的本质或问题的关键。
（3）或然性。
数学直觉思维是一种跳跃式的思维，是在逻辑依据不充分的前提下做出的结论，具有猜测性。
正因为如此，如何通过直觉思维“俘获来的战利品”就需要经过严格的逻辑验证。
采用直觉思维的目的在于迅速找到事物的本质或内在联系，提出猜想，而不在于论证这个猜想。
（4）不可解释性。
数学直觉思维在客观上往往给人以不可解释之感。
由于直觉思维是在一刹那间完成的，略去了许多中间环节，思维者对其过程没有清晰的意识，所以要想对它的过程进行分析、研究和追忆，往往是十分困难的，这又使直觉思维给人一种“神秘感”。
数学直觉和数学灵感是数学直觉思维的两种形式，它们之间具有深刻的本质联系，即灵感是直觉的更高发展，是一种突发性的直觉。
通常灵感的形成是从多次的直觉受阻或产生错误的情况下得到教益，而使一部分信息不自觉地转入潜意识加工，最终又在某种意境或偶发信息的启发下，由潜意识跃入显意识而爆发顿悟的，因此数学思维灵感是从多个数学直觉中升华而形成的结晶。
形象思维、逻辑思维、直觉思维是数学思维的三种基本类型，形象思维是数学思维的先导，逻辑思维是数学思维的核心。
在进行具体的数学思维活动时，往往是这两种思维交错应用的一个综合过程。
直觉思维则是以上两种思维的结合，达到一定数量后所引起的一种质的飞跃。
因此，如果形象思维和逻辑思维发展得好，就为发展直觉思维创造了条件。
第二节数学思维的一般方法
数学思维的一般方法指数学思维过程中常运用的基本方法。
从数学活动过程来看，数学思维方法大体上可分为两个层次：
经验性思维方法，包括观察、实验、类比、不完全归纳和抽象等，这一层次的思维方法在数学的发现过程中表现得尤为突出；逻辑思维方法，常用在数学的推理和论证中，包括化归、演绎、分析、综合、形式化和公理化等。
因此，从整个教学活动的过程来看，可分为数学发现的思维方法和数学论证的思维方法。
一、观察和实验
观察和实验是发现与解决问题中最形象、最具体的手段之一。
在一般的科学活动中，观察与实验是极为重要的科学方法。
观察与实验是收集科学事实，获取科学研究第一手材料的重要途径，是形成、论证及检验科学理论的最基本的实践活动。
观察法是指人们对周围世界客观事物和形象在其自然条件下，按照客观事物本身存在的实际情况，研究和确定它们的性质和关系，从而获得经验材料的一种方法。
通过在数学教学中培养学生的观察和实验能力，可以使学生掌握和运用观察和实验的能力，利用学生的个体经验，运用数学解决问题的能力和对数学的兴趣及信心。
在数学研究中，通过观察与实验不仅可以收集新材料、获得新知识，而且常常导致数学的发现与理论的创新。
观察与实验方法在数学中的运用可以大体分为两个层次：
一是运用观察和实验来解决和验证数学理论；二是运用观察和实验方法来解决具体的数学问题。
在中学数学教学中，就是要运用观察和实验方法来解决一些具体的数学习题。
在中学数学教学中，数学观察与实验主要被用来观察实际生活中存在的数量问题、空间结构问题。
比如作简单的几何图形，观察几何图形的相互位置，从这些观察中自己动手去做、去实践，并得出一些数学结论。
在数学教学中，为了更好地使学生掌握知识、培养他们的创新意识和能力，要尽可能地再现数学知识和结论的发现过程。
因此，观察与实验应成为数学教学中探索、学习知识的重要方法和开展实践活动的主要形式。
二、类比和猜想
类比是根据两个数学对象的一些属性相同或相似，猜测另一些属性也可能相同或相似的思维方法。
类比分为简单类比和复杂类比两类。
简单类比是一种形式性类比，它具有明显性、直接性的特征；复杂类比是一种实质性类比，需要通过较为深入的分析后才能得出新的猜测。
类比是发现问题和解决问题的一种常用思维形式。
在中学数学中，常用的类比包括平面与空间的类比、数与形的类比、有限与无限的类比等。
两个数学对象结构相似，是类比的出发点和关键。
猜想往往伴随着类比、归纳的思维过程，由于类比和不完全归纳所得的结论不一定正确，所以猜想的数学命题或结论应当采用严格的方法去证明它，或者用实例反驳它。
三、归纳与演绎
归纳是通过对某类数学对象中若干特殊情况的分析得出一般性结论的思维方式。
归纳分为不完全归纳和完全归纳两种类型。
演绎是由一般性前提推出特殊性结论的思维方法。
通常，在依据已知的事实或真命题去进行推理的方式都是演绎推理。
演绎推理是数学证明中最常用的严格推理形式，它对于训练学生的技能技巧，发展学生的逻辑思维能力均有重要的作用。
在解决数学问题时，归纳与演绎两种思维方法往往交替出现，由归纳法去猜测问题的结论或猜测解决问题的方法，再用演绎去完成严格的推理证明。
四、分析与综合
分析法是指要证明一个命题是正确的，思考问题时可以由结论向已知条件逐步追溯。
即先假设命题的结论成立，推出它成立的原因，再把这些原因看出新的结论，再推求使它们成立的原因，如此逐步往上追溯，直到推出已知条件或已知的事实为止。
简述之，就是执果索因。
像这样的思维方法叫做“分析法”。
如果在追溯过程中，每一步都是可逆的，那么这样的分析法我们称之为“逆证法”。
分析法的思考顺序与综合法相反，分析法语综合法比较，其优点是执果索因，思维目标较为清晰，思路也较为集中，易有成效，比较容易找到解决问题的途径；缺点是，分析者知道怎么回事情，但很难完整表述出来。
在证题时，从已知条件出发，经过一系列已确定的命题逐步推理，结果或是导出前所未知的命题，或是解决了当前的问题，像这样的思维方法就叫做综合法。
综合法的要点就是由已知条件推导出所要证明的结论。
综合法与分析法的关系极为密切，可以说分析法是综合法的前提。
一般我们在分析题目时用的是分析法，分析法在书写格式方面不够清晰，那么在书写过程中就采用综合法的模式更符号我们的思维习惯。
分析是在认识上把事物的整体分解成各个部分、个别特性或个别方面。
综合是在认识上把事物的各个部分或不同特性、不同方面结合起来。
思维过程是从对问题的分析开始的。
思维的分析可以有过滤式的分析和综合的有方向的分析两种形式。
前者通过尝试对问题情境作初步的分析，能淘汰那么无效的尝试。
后者是通过把问题的条件和要求综合起来而实现的分析，这种分析带有指向性，是思维分析的主要形式，是思维活动的主要环节。
分析和综合是方向相反而又紧密联系的两个过程，是同一思维过程中不可分割的两个方面。
分析总是把部分从整体中分出来，从它们的相互联系上来考察，而综合则是对分析出的各个部分、各个特性进行整体考察，是通过对各部分、各特性的分析而实现的。
分析为了综合，分析才有意义。
综合中有分析，综合才更完备。
任何一个比较复杂的思维过程，既需要分析，也需要综合。
五、特殊化和一般化
特殊问题的解决是比较容易和简单的。
特殊化就是把数学问题中包含的数量、形状、位置关系等加以简单化、具体化、单一化、边缘化，也就是说，当数学问题的一般性不十分明显时，我们从特殊的数、形的数量关系和位置关系入手，由特殊性质推出一般性质，从中找到解题方法或构成解题起点。
在解题过程中，对于一时难以入手的一般问题，使用最普遍而又较为简单易行的化归途径，就是把它向特殊的形式转化，这就是特殊化法。
由于特殊的事物与简单的事物有着自然的联系，所以这种方法有两种类型：
一是从简单情形入手，作为解决一般问题的突破口；二是从特殊对象考察，为求解一般问题奠定基础。
特殊化是把所研究的数学问题从原来的范围缩小到一个较小范围或个别情形进行考察研究的思维方法。
一般化则是与特殊化相反的思维方法，即将研究对象从原来范围扩展到更大范围进行考察和研究。
特殊化思想的作用表现为两个方面。
首先，将一个数学问题特殊化，从而得到一个新的数学问题。
通常可将所研究的问题视为一般性问题，按照增加约束条件，取其局部或个别情形得到特殊性的问题。
特殊化不仅具有演绎推理的功能，而且是发现问题，进行数学研究的方法之一。
其次，特殊化通过分析特殊和个别的对象去寻求一般事物的属性，以获得关于所研究对象的性质或关系的认识，找到解决问题的方向、途径或方法。
通常我们所说的特例、反例分析法等，都属于这种情形。
与特殊化途径相反，在对一般形式问题比较熟悉的情况下，将特殊形式的问题转化为一般形式的问题，这就是一般化法。
这种方法是通过找出特殊问题的一般原理，把特殊问题从原有范围扩展到包含该问题的更大范围来进行考察，从而使我们能够在更一般、更广阔的领域中使用灵活的方法去寻求化归的途径。
一般化的思维作用也表现在两个方面，其一是对数学问题或研究对象的一般化，以求得更具一般性的结论；其二是数学方法的一般化，寻求解决一类问题的普遍方法。
特殊化合一般化是两种相辅相成的思维方法。
解题中使用特殊化是为了探求一般性结论，使用一般化是为了通过一般性结论的成立说明其特殊情形成立或推广命题。
因此，当一般性问题很难立刻找到解题方法时，不妨将其向特殊方向转化，而当有些特殊问题涉及到过多无关宗旨的细节，掩盖着问题的本质时，往往转化为一般的情形更容易解决。
特殊化和一般化反映了人类的两种认识过程，即由特殊到一般和由一般到特殊。
这两种过程循环往复，每一次循环都可使人类的认识提高一步。
数学正是在这一循环往复中发展并丰富其内容的。
六、抽象与概括
抽象和概括都是一种思维过程。
抽象是指将一类对象的某一共同特性与其他特性加以分离。
数学中的抽象更多地是科学抽象，即从空间形式和数量关系的角度，去区别对象的本质特征与非本质特征，并舍弃非本质特征，把握其本质特征的思维过程。
例如，由数字到文字的抽象，由常量到变量的抽象，由有限到无限的抽象，这是中学代数的三次大的飞跃。
概括是指把从部分抽象出来的某一属性推广到同类对象中去，从而形成关于该类对象的一般性的、普遍性的认识。
所以概括的过程，也是思维由个别到一般的过程，是个别和一般相结合的过程。
在实际的思维过程中，抽象和概括常常是紧密联系的。
抽象是概括的基础，没有抽象，就无从谈及概括；而概括又是抽象的目的，没有概括，就不能把握某类事物的共同本质，认识也就不能上升为普遍性、规律性的认识，抽象也就失去了意义。
因此，它们是相互依存，不可分离的。
七、比较与分类
比较是在认识上把对象和现象的个别部分、个别方面或个别特征加以对比，确定被比较对象的共同点、区别及其关系。
比较往往是针对某一事物的某一方面进行的。
比较离不开分析和综合，分析和综合是比较的基本过程和组成部分。
有比较才有鉴别。
人类认识一切客观事物，都是通过比较来实现的，没有比较就不能认识事物。
通过事物之间的比较，学生便于明确事物的本质特征。
教学中经常使用的比较形式有两种：
同类事物的比较和不同类别却相似、相近或相关的事物间的比较。
分类是通过比较，按照事物间的差异程度，对事物加以分门别类的思维方法。
分类是建立在比较基础上的思维方式。
数学中的分类包括概念的划分、性质的归类、方法的整理以及解题中的分类讨论法等。
八、具体化
思维过程的最后一步往往是具体化。
具体化有两种形式：
一是从一般过渡到特殊，如从一般三角形的面积公式过渡到直角三角形的面积公式；另一种是通过揭示一般的各种不同特征和性质，然后以具体的内容加以充实、丰富。
第三节数学思维的品质及其培养
一、数学思维的品质
思维品质是评价和衡量学生思维优劣的重要标志。
思维的发生和发展，即服从于一般的、普遍的规律，又表现出个性差异；对于不同的个体，具有不同的思维特点。
思维品质差异实质上表现为人的能力的差异。
数学思维品质主要由以下几个方面组成：
1.数学思维的深刻性
思维的深刻性常被称为分清实质的能力。
这种能力表现为：
能洞察所研究的每一个事实的实质及相互关系；能从所研究的材料中揭示被掩盖着的某些个别特殊情况；能组合各种具体模式。
一般来说，中学生数学思维的深刻性在以下几方面存在差异：
形成概念、构成判断、进行推理论证的深度。
2.数学思维的广阔性
思维的广阔性是指思路宽广，善于多角度、多层次地进行探究。
在数学学习中，思维的广阔性表现为既能把握数学问题的整体，抓住它的基本特征，又能抓住重要的细节和特殊因素，放开思路进行思考，善于发现事物间多方面的联系，找出多种解决问题的方法，并能将它推广到类似的问题中去，从而形成一些普遍意义的方法，或扩大解题中得到的结果的使用范围，或将其推广到类似的问题中去。
3.数学思维的灵活性
思维的灵活性是指思维活动的灵活程度，主要表现为具有超脱习惯处理方法界限的能力，即一旦所给条件发生变化，便能改变先前的思维途径，找到新的解决问题的方法。
学生思维的灵活性主要表现为随新的条件而迅速确定解题方向；表现为从一种解题途径转向另一种途径的灵巧性；也表现为从已知数学关系中看出新的数学关系，从隐蔽的形式中分清实质的能力。
4.数学思维的敏捷性
思维的敏捷性是指思维过程中的简缩性和快速性。
具有这一品质的学生能缩短运算环节和推理过程，“直接”得出结果。
5.数学思维的评判性
思维的评判性就是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的智力品质，它是思维过程中自我意识作用的结果。
思维的批判性表现在有主见地评价事物，能严格地评判自己提出的假设或解题方法的正确或优劣与否；喜欢独立思考，善于提出问题和发表不同的看法，既不人云亦云，也吧自以为是。
6.思维的独创性
思维的独创性是指思维活动的创造性精神，是在新颖地解决问题中表现出来的智力品质。
“独创”主要指思维活动应具有创造性态度。
学生能独立地、自觉地掌握数学概念，发现定理的证明，发现老师课堂上讲过的例题的新颖解法等，这些都是思维独创性的具体表现。
二、数学思维品质的培养
1.培养数学思维的深刻性
培养数学思维的深刻性就是培养学生分清事物实质的能力，使学生能够透过复杂的现象洞察所研究事物的本质及其相互联系，能从所研究的材料中揭示被掩盖的特殊情况，能组合各种具体模式等。
2.培养数学思维的广阔性与灵活性
培养数学思维的广阔性与灵活性的核心就是培养学生的分散思维。
教师要注意在基础知识、基本技能、基本思想方法的教学中，从不同层次、形态结合数学知识间的联系，把知识系统化；在解题教学中，培养学生根据条件的变化，从不同角度观察、分析问题，避免局限学生的思维，引导学生进行类比、对比联想。
3.培养数学思维的敏捷性
培养数学思维的敏捷性应重视数学概括能力的培养，为此要做到以下几点：
（1）注意学生对数学基础知识的理解与把握，以便学生在解决问题的过程中，正确、迅速地利用相关的数学概念、公式和法则。
（2）在数学教学中要考虑关于解题速度的训练问题。
优秀学生在进行数学思维时，往往反应速度快，思维敏捷。
（3）不要忽视思维的敏捷性与记忆的密切关系。
4.培养数学思维的评判性
数学思维的批判性品质的培养与培养学生的自我监控能力有密切关系。
自我监控能力就是学生为了达到预定的目标，将自身正在进行的实践活动过程作为对象，不断地对其进行积极的、自觉的计划、监督、检查、评价、反馈和调节的能力。
教师可以从培养学生的检查意识和技能入手，来提高学生对数学学习的自我监控能力。
5.培养学生数学思维的独创性
数学教学中培养学生数学思维的独创性应注意以下几点：
（1）激发学生的求知欲和好奇心。
（2）重视培养学生思维的流畅性、变通性和独特性。
（3）增强有意注意，捕捉灵感。
（4）既培养逻辑思维，也培养直觉思维。
（5）培养学生的想象力。
想象力的培养需要培养学生具有广泛的兴趣，渊博的知识和经验。
第四节数学创造性思维及其培养
一、数学创造性思维
创造性思维是指有创见的思维，即在强烈的创新意识下，改组已有的知识经验，产生出新颖的、具有社会价值的思维成果。
创新思维是整个创新活动智力结构的关键，是创新的核心。
创新思维是由直觉思维、集中思维、分散思维和灵感思维结合后组成的高级思维。
创新思维的本质特征是新颖性，它不同于一般思维活动，就在于要打破常规的解决问题的方法，将已经有的知识或经验进行改组或重建，创造出个体所未知或社会前所未有的思维成果。
创新思维是创造性想象积极参与的结果，其灵感状态是创造思维的一种典型特征。
创造性思维有高低两种不同水平。
高水平的创造性思维是指这种思维发现了前人未曾发现的新事物，解决了前人未曾解决的问题。
一般高水平的创造性思维是指数学家、杰出的数学人才在数学创造性活动中所进行的思维活动。
低水平的创造性思维是指这种思维的结果已为别人所完成，只是相对于思维者本人来说算是发现了新事物，解决了新问题。
一般低水平的创造性思维是指学生在数学学习活动中所进行的创造性思维活动。
尽管学生的创造性思维水平较低，但它却是造就高水平创造性思维人物的前提和基础。
二、数学创造性思维的阶段
1.选择与准备阶段
选择与准备阶段是从强烈的创造愿望出发，选择课题并进行有关资料准备的阶段。
准备工作做得越充分，越有利于开阔思路，有利于发现和推测问题的成因，从而易于获得成果。
2.酝酿于构思阶段
酝酿于构思阶段是自觉努力的时期，一般要运用发散思维多方面、多角度、多层次地进行思考。
在这一阶段，不仅要运用分析、综合、比较、归纳、类比、联想等思维方法，而且要借助于想象，特别是以创造性想象进行构思。
3.领悟与突破阶段
领悟与突破阶段是创造性活动的关键阶段，是前两个阶段的升华。
经过充分酝酿之后，在头脑中突然跃出新的构想，使问题有可能得到解决。
在这个阶段，形象思维、直觉思维以及数学美感起着重要的作用。
4.检验与完善阶段
检验与完善阶段是对获得的构思和猜想进行检验、论证和修正完善的阶段。
在这一阶段，主要运用集中思维和逻辑思维方法做出进一步的研究。
任何创造性活动的成功都有可能是在多次失败中孕育出来的，大量的数学史料表明，有些数学猜想要经过数月、数年甚至数十年、数百年的进一步研究才能上升为真理。
上述数学创造性思维活动的四个阶段是互相联系、不可截然分开的，各个阶段之间并没有严格的界限，其中关键阶段是酝酿于构思、领悟与突破这两个阶段，此阶段中起主要作用的是形象思维、直觉思维、审美思维等非逻辑思维。
三、数学创造性思维的培养
1.数学教学要充分揭示数学思维过程
数学创造性思维不仅存在于数学家的创造性活动中
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