二阶线性常微分方程地幂级数解法Word文档格式.docx
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ann1an2，L
1
1c
1,
a5,ae
0,a7
—
a80,a9
L
2!
6
3!
4!
最后得
a2k1
a2k
0,
k
（k1）!
k!
2k1
x
这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幕级数解？
或者说究竟方
程应该满足什么条件才能保证它的解可用幕级数来表示呢？
级数的
形式怎样？
其收敛区间又如何？
这些问题，在微分方程解析理论中有
关书籍。
考虑二阶齐次线性微分方程
雪p（x）dxq（x）yo
及初值条件y（Xo）yo及y（Xo）y°
的情况。
今后我们总认为Xoo。
有形如
n
ya“x
no
的特解，也以|x|R为级数的收敛区间。
在上两例中方程显然满足定理的条件，系数x，2x和4可看作
是在全数轴上收敛的幕级数，故方程的解也在全数轴上收敛。
但有些
方程，例如n阶贝赛尔方程
这里n为非负常数，不一定是正整数，（喚p（x）dyq（x）y0）
dxdx
肯定有形如y
n0anx的特解。
但它满足下述定理11的条件，从
而具有别种形状的幕级数解。
xp（x）和x2q（x）均能展成x的幕级数，且收敛区间为
yxanx
n0
anx
的特解，是一个特定的常数，级数yan^也以|x|R
为收敛区间。
若a。
0,或更一般的，i0（i0,1,2L,m1），但am0,
则引入记号m,bkamk，则
这里boam0，而仍为待定常数
解将方程改写成
d2y1dyx2n2n
22y0
dxxdxx
易见，它满足定理11的条件（xp（x）和x2q（x）均能展成x的幕级数，且收敛区间为|x|R），且xpx1,x2qxx2n2，按展成的幕级数收敛
区间为x，由定理11，方程有形如
ak
yakX
k0
的解，这里a00
而ak和
是待定常数，将yakX代
2dydy
入.x2x入：
dx2dx
（x2n2）y
0中，得
x2（ak）（ak
k1
1&
xak2
x（a
k）akXak1
z22\ak
（xn）akX
把x同幕次项归在一
起，上式变为
[（k）（k
1）（k）
2akak2
n]akxakx0
令各项的系数等于
0，得一系列的代数方程
a°
[
2n2]
印[（
1）2
n2]0
ak[（
k）2
n2]ak20
2,3,L
2
因为a00，故从ao[
n2]
0解得的两个值
先考虑n时方程
x¥
（x2n2）y
dx
解，这时我们总可以从以上方程组中逐个地确定所有的系数n代入以上方程组，得到
ao
o的一个特
ak。
把
ak2
k（2nk）
，k2,3L
或按下标为奇数或偶数，我们分别有
从而求得
a2ki0k1,2,L
a2
a。
221n1
a4
a0
242!
n1n2
a6
3
263!
n1n2n3
般地
a2k
22kk!
n1
k1,2,L
将ak各代入
aakX
得到方程
2d2y
dx7
dy22.小
x（xn）y0dx
的一个解
%a°
1a°
2k
2k!
2kn一xk
既然是求X2乎
xdy
（x2
）y0的特解,
我们不妨令
2n
其中函数
定义如下:
当S>
0时，
dx；
当s<
且非整数时，由
递推公式（s）-
1定义。
s具有性质
ss；
n1n!
n为正整数
而y1aoX
1a。
n1n2Ln
2kn
X变为
y1
ok!
nk
注意到
函数的性质,
即有
yi
Jn
数,
X
nk1'
2
是由贝塞尔方程x2d4
称为n阶贝赛尔函数。
因此，对于
得另一个与Jn
、2d2y
时方程X2
Y2
的解,
JnX
xdy（x2n2）y
0定义的特殊函
n阶贝塞尔方程，它总有一个特解
x线性无关的特解，我们自然想到,
xdx（x2
akx
我们注意到只要n
为了求
2、
n）y0的形如
不为非负整数，像以上对于
的求解过程一样，我们总可以求得
1,2丄
nX为阶贝赛尔函数
1a02k
k122kk!
n1n2LnkX
X0）都是收敛的，因此，当n不为非负整数时，JnX和JnX
2dydy/22、n
都是方程XrX（xn）y0的解，而且是线性无关的，因
dXdX
为它们可展为由X的不同幕次开始的级数，从而它们的比不可能是
这里q，c2是任意常数。
此情形的JnX和JnX称为第一类贝
塞尔函数。
解
引入新变量t
2x，我们有
dy
dydt
2dy
dtdx
dt
d2ydx2
ddt
2矽
dt4d2y
dxdt2
t2d2ydt2
将上述关系代入院方程，得到
方程，由例7可知，方程
其中C1,C2是任意常数。
第二宇宙速度计算
作为这一节的应用，我们计算发射人造卫星的最小速度，即所谓第二宇宙速度。
在这个速度你下，物体将摆脱地球的引力，向地球一样绕着太阳运行，成为人造卫星.
让我们首先建立物体垂直上抛运动的微分方程•以M和m分别表
示地球和物体的质量.按牛顿万有引力定律，作用于物体的引力F（空
气阻力忽略不计）为
mM
Fk2"
r
这里r表示地球的中心和物理体重心之间的距离，k为万有引力常
数。
因为，物体运动规律应满足下面的微分方程
d2r
这里的负号表示物体的加速度是负的
的方法，把方程降阶成为一阶方程
解得
注意到这时初值条件为
kM
v2kMv02kM
（）
2r2R
因为物体运动速度必须始终保持是正的，即-0,而随着r的不断增
222
大，量到变得任意小。
因此，由匕型（业型）看到，条件-0
r2r2R2
要对所有的r都成立，只有不等式
V2kM
2R
成立。
因而最小的发射速度由下面式子决定：
/2kMV0\R
在地球的表面，即rR时，重力加速度为g（g9.81m/s2），由此根据
Fkr2，就有gk，于是kMgR2。
以此代入V0J2R*得到
V0,2gR-29.816310511.2103ms
我们通常所说的第二宇宙速度指的就是V011.2kms这个速度
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