一元二次方程应用题导学案重点题型.docx

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一元二次方程应用题导学案重点题型

6、1用一元二次方程解决问题

（一）面积问题

【课前预习】

（一）

1．直角三角形的面积公式是__________.一般三角形的面积公式是________.

2．正方形的面积公式是__________长方形的面积公式是__________.

3．梯形的面积公式是______________.

4．平行四边形的面积公式是____________.

5．圆的面积公式是_______________.

（二）

1、列方程解应用题的一般步骤是：

.

2、审题时要用横线、波浪线、圈等符号将题目中的已知量做出标记；

3、列方程解应用题的关键是.

4、若用一根60

长的绳子围成面积为200

的矩形，则该矩形的长=

宽=。

能围成面积更大的矩形吗？

若能，请写出它的长和宽.

【课堂重点】

问题1、一根长

的铁丝.

（1）能否围成面积是

的矩形？

（2）能否围成面积是

的矩形？

并说明理由.

分析：

如果设这根铁丝围成的矩形的长是

，那么矩形的宽是__________.

根据相等关系：

列出方程求解.

【课堂巩固】

1、如图，有长为24米的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为15米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃.如果要围成面积为45平方米的花圃，AB的长是多少米？

2、如图所示，一块长方形铁皮的长是宽的２倍，四角各截去一个正方形，制成高是５cm，容积是５００cm3的无盖长方体容器.求这块铁皮的长和宽.

分析：

如果设这块铁皮的宽是xcm，那么制成的长方体容器底面的宽是，长是.从而可以根据相等关系：

，列出方程求解.

3、如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上，修筑同样宽的两条互相垂直的道路，余下部分作为花圃，要使花圃面积为540米2，道路的宽应为多少？

（思考：

花圃的面积有几种算法？

那种算法比较简单？

）

变式：

若修筑如下图所示的道路，应怎样解决问题？

4、在一块长方形镜面玻璃的四周镶上与它的周长相等的边框，制成一面镜子，镜子的长是宽的2倍.已知镜面玻璃的价格是每平方米120元，边框的价格是每米30元，另外制作这面镜子还需加工费45元.如果制作这面镜子共花了195元，求这面镜子的长和宽.

面积问题知识方法总结

面积问题（中考常考）

例3:

如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路（两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直），把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽?

剖析：

设路宽为x米，那么两条纵路所占的面积为2·x·20＝40x（米2），一条横路所占的面积为32x（米2）．

纵路与横路所占的面积都包括两个小正方形ABCD、EFGH的面积，所以三条路所占耕地面积应当是（40x＋32x－2x2）米2，根据题意可列出方程32×20－（40x＋32x－2x2）＝570．

解：

设道路宽为x米，根据题意，得

32×20－（40x＋32x－2x2）＝570．

整理，得x2－36x＋35＝0．

解这个方程，得x1＝1，x2＝35．

x2＝35不合题意，所以只能取x1＝1．

答：

道路宽为1米．

说明：

本题的分析中，若把所求三条路平移到矩形耕地边上（如图12—2），就更易发现等量关系列出方程．

如前所设，知矩形MNPQ的长MN＝（32－2x）米，宽NP＝（20－x）米，则矩形MNPQ的面积为：

（32－2x）（20－x）．而由题意可知矩形MNPQ的面积为570平方米．进而列出方程（32－2x）（20－x）＝570，思路清晰，简单明了．

6、2用一元二次方程解决问题

（二）增长率问题

【课前预习】

1、某工厂一月份生产零件1000个，二月份生产零件1200个，那么二月份比一月份增产个，增长率是。

2、某厂生产彩电,第一个月生产了5000台,第二个月增产了50%,则第二个月比第一个月增加了台,第二个月生产了台。

3、某彩电,第一个月生产了5000台,如果第二个月产量比第一个月增长的百分率为

则第二个月比第一个月增加了台；第二个月生产了台，是第一个月产量的倍。

（增长的量=原量⨯）

4、（引入）第3题中，如果已知第三个月的产量为7200台，并且第二、三个月的增长率相同，你能求出第二、三个月的增长率

吗？

【课堂重点】

问题2、某商店6月份的利润是2500元，要使8月份的利润达到3600元，这两个月的月平均增长率是多少？

【课堂巩固】

1、某钢铁厂去年1月某种钢的产量为50吨，3月上升到72吨,如果2月、3月的增长率相同，求这两个月平均每个月的增长率是多少?

〈分析〉:

设平均每个月的增长率为

，则2月份比1月份增产了吨.2月份的产量是吨,是1月份产量的倍；同理，3月份的产量是2月份产量的倍，3月份的产量是吨。

根据3月份产量的相等关系，列出方程为

2、某种药品,06年原来每盒售价10元,为了搞促销，厂家进行降价活动,到08年每盒售价4.9元,若每年的降价率相同，求平均每年的降价率是多少?

〈分析〉:

设平均每年的降价率为

，则07年比06年降价了元.07年每盒售价是元，是06年每盒售价的倍；同理，08年是07年每盒售价的倍，08年每盒售价是元。

根据08年每盒售价的相等关系，列出方程为

3、某企业2008年盈利1500万元，2010年克服全球金融危机的不利影响，仍实现盈利2160万元．从2008年到2010年，如果该企业每年盈利的年增长率相同．

求：

（1）该企业2009年盈利多少万元？

（2）若该企业盈利的年增长率继续保持不变，预计2011年盈利多少万元？

【知识小结】

1、连续两次增长，则“增长率”公式为；

（其中：

原来的量为

平均增长率是

两次增长后的量为

，

）

2、连续两次降价，则“降价率”公式为；

（其中：

原来的价格为

平均降价率是

两次降价后的价格为

，

）

注意以下几个问题：

（1）为计算简便，可以直接设增长的百分率为x．

（2）弄清“基数、增长了、增长到”等词语．

（3）用直接开平方法解方程简单，不要将括号展开．

增长率问题知识方法总结

1、循环问题（※中考热点考点）

（a）传播问题

有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？

解：

设每轮传染中平均一个人传染了x个人

可传染人数共传染人数

第0轮1（传染源）1

第1轮xx+1

第2轮x（x+1）1+x+x（x+1）

列方程1+x+x（x+1）=121

解方程，得

X1=10，X2=-12

X2=-12不符合题意，

所以原方程的解是x=10

答：

每轮传染中平均一个人传染了10个人。

类似问题还有树枝开叉等。

（b）循环问题（又可分为单循环问题，双循环问题和复杂循环问题）

a．参加一次足球联赛的每两队之间都进行一场比赛，共比赛45场比赛，共有多少个队参加比赛？

b.参加一次足球联赛的每两队之间都进行两次比赛，共比赛90场比赛，共有多少个队参加比赛？

c.一个正八边形，它有多少条对角线？

2、平均率问题（※中考热点考点）

最后产值、基数、平均增长率或降低率、增长或降低次数的基本关系：

M=a（1±x）n 

n为增长或降低次数  M为最后产量，a为基数，x为平均增长率 或降低率

平均率和时间相关，必须弄清楚从何年何月何日到何年何月何日的增长或降低率。

（a）平均增长率问题

某电脑公司2000年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为600万元，占全年经营总收入的40%，该公司预计2002年经营总收入要达到2160万元，且计划从2000年到2002年，每年经营总收入的年增长率相同，问2001年预计经营总收入为多少万元？

解：

设每年经营总收入的年增长率为a.

列方程，600÷40%×（1+a）2=2160

解方程，a1=0.2a2=-2.2，（不符合题意，舍去）

∴每年经营总收入的年增长率为0.2

则2001年预计经营总收入为：

600÷40%×（1+0.2）=600÷40%×1.2=1800

答：

2001年预计经营总收入为1800万元.

（b）平均下降率问题

从盛满20升纯酒精的容器里倒出若干升，然后用水注满，再倒出同样升数的混合液后，这时容器里剩下纯酒精5升．问每次倒出溶液的升数？

剖析：

第一次倒出的是纯酒精，而第二次倒出的就不是纯酒精了．若设每次倒出x升，则第一次倒出纯酒精x升，第二次倒出纯酒精（

·x）升．根据20升纯酒精减去两次倒出的纯酒精，就等于容器内剩下的纯酒精的升数．

20－x－

·x＝5．

6、3用一元二次方程解决问题（三）利润问题

【课前预习】

1、利润＝；利润率＝。

2、某种产品，原来每件的成本价是500元，若每件售价625元，则每件利润是，每件利润率是.

3、某商场从厂家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出（350—10a）件，商场计划要赚450元，则每件商品的售价为多少元？

【课堂重点】

问题3、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了扩大销售，增加盈利，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，在一定范围内，衬衫的单价每降一元，商场平均每天可多售出2件.如果商场通过销售这批衬衫每天要盈利1200元，衬衫的单价应降多少元？

分析：

商场不采取降价措施前，销售这批衬衫每天的盈利是多少元？

写出衬衫的单价降1元、2元、…x元时，销售这批衬衫每天的盈利.

【课堂巩固】

1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克.经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克，现该商场要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

2、某商场礼品柜台购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可销售500张，每张盈利0.3元.为了尽快减少库存，商场决定采取适当的措施.调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天多售出300张.商场要想平均每天盈利160元，每张贺年卡应降价多少元？

利润问题知识方法总结

商品销售问题（中考常考）

一、常用关系式：

1、售价—进价=利润

2、一件商品的利润×销售量=总利润

3、单价×销售量=销售额

4、利润率=利润：

成本

二、解决问题的方法：

表格法

单价

数量

总额

变化前

变化后

三、题目的两种形式

（a）给出关系式

1.某商店购进一种商品，进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量P（件）与每件的销售价X（元）满足关系：

P=100-2X销售量P，若商店每天销售这种商品要获得200元的利润，那么每件商品的售价应定为多少元？

每天要售出这种商品多少件？

（b）一个“+”一个“—”

2.某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。

现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

单价

数量

总额

变化前

变化后

6.4用一元二次方程解决问题（四）旅游问题

【课前预习】

某旅行社的一则旅游广告如下：

我社组团去上海世博园旅游，收费标准为：

如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均费用不得低于500元．

我校打算分批组织学生到上海世博园旅游．现计划用28000元组织第一批学生去旅游，问这次旅游可以安排多少人参加？

①你知道学校组织学生去参观上海世博会，总共花的费用和哪些量有关系呢？

②你知道这道题目中的等量关系是什么吗？

③如果有30位学生去旅游，你知道总共要花费多少钱呢？

④如果这次旅游可以安排的人数为x，结合③，你能判断x与30的大小吗？

为什么？

⑤在④的情况下，你能用x表示此时每位学生的旅游费用吗？

通过以上的分析，你能完整的解决这道题目吗？

（注意规范自己的解题步骤）

【课堂重点】

问题4、某旅行社为吸引市民组团去南京旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工去南京旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用28000元，请问该单位这次共有多少员工去南京旅游？

【课堂巩固】

1、常州春秋旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：

某单位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给春秋旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

2、师苑旅行社为吸引市民组团去天水湾风景区旅游，推出了如下收费标准：

如果人数不超过25人，人均旅游费用为1000元，如果人数超过25人，每增加1人，人均旅游费用降低20元，但人均旅游费用不得低于700元，某单

位组织员工去天水湾风景区旅游，共支付给旅行社旅游费用27000元，请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游？

6、5用一元二次方程解决问题（五）数字问题

【课前预习】

1、已知两个数和为12，积等于32，求这两个数.

2、一个直角三角形的面积是

两直角边的差是

，求直角边长.

3、一个两位数,它的十位数字比个位数字小3,而它的个位数字的平方恰好等于这个两位数.求这个两位数.

【课堂巩固】

1、三个连续偶数，已知最大数与最小数的平方和比中间一个数的平方大332，求这三个连续偶数.

2、一直角三角形两条直角边的和为7，面积为6，求斜边的长．

3、一次会议上,每两个参加会议的人都互相握了一次手,有人统计一共握了66次手.这次会议到会的人数是多少?

6.6用一元二次方程解决问题（六）动点问题

【课前预习】

1、如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=8cm.点P沿边AB从点A开始向点B以2cm/s的速度移动，点Q沿边DA从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果P、Q同时出发，用t（s）表示移动的时间（0≤t≤8）.那么。

（1）2秒后AP=，DQ=，AQ=。

△QAP的面积=。

（2）t秒后AP=，DQ=，AQ=。

△QAP的面积=。

（3）当t为何值时，△QAP的面积等于16cm2?

2、如图，某海关缉私艇在A处发现正南方向30海里的C处有一艘船形迹可疑，测得它正以60海里/小时的速度向正东航行．缉私队随即调整方向，以75海里/小时的速度准备在B处迎头拦截，问经过多少时间赶上？

【课堂重点】

3、如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A沿边AB向点B以1cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2cm/s的速度移动，问几秒后△DPQ的面积等于28cm2？

【课后巩固】

4、如图，在Rt△ACB中，∠C=90°，BC=6m，AC=8m，点P、Q同时由A、B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，已知点P移动的速度是20cm/s，点Q移动的速度是10cm/s，几秒后△PCQ的面积为Rt△ACB面积的

？

5、已知：

如图所示，在△ABC中，AB＝5cm，BC＝7cm,∠ABC90︒。

.点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.

（1）如果Q、P分别从B、A,同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？

（2）如果Q、P分别从B、A,同时出发，△PQB的面积能否等于7cm2?

说明理由.

6、已知如图，甲乙两人分别从广场ABCD顶点B，C同时出发，甲由B点向点C点运动，乙由C点向D点运动，甲的速度为2

，乙的速度为1

，若正方形广场的周长为40

，问多长时间后，两个人相距

？