第六章布莱克-舒尔斯期权定价模型Word文档下载推荐.doc

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股票的价格由密度函数变为，S>

X的可能性增大，买入期权的价值增大，对卖出期权的价值则相反。

3）到期时间距离的影响。

距离愈长，股价变动的可能性愈大。

由于期权持有者只会在标的股价变动中受益，因此，距离期权到期的时间越长，期权的价值就越高。

4）利率的影响。

利率越高，则到期的现值就越低，使得买入期权价值提高，而卖出期权价值降低。

5）现金股利的影响。

股票期权受到股票分割或发放股票股利的保护，期权数量也适应调整，而不受影响，但是期权不受现金股利的保护，因此当股票的价格因公司发放现金股利而下降时，买入期权的价值下降，卖出期权的价值便上升。

二、布莱克-舒尔斯期权定价模型的假设条件

B-S模型是反映欧式不分红的买入期权定价模型，它的假定条件，除了市场无摩擦（例如无税、无交易成本、可以无限制自由借贷等）以外，还有：

1．股票价格是连续的随机变量，所以股票可以无限分割。

2．T时期内各时段的预期收益率ri和收益方差σi保持不变。

3．在任何时段股票的复利收益率服从对数正态分布，即在t1-t2时段内有：

因为股票的价格可以用随机过程表示，其中S（t）表示第t日股票的价格，它是一个随机变量.则第t日股票的收益率（年收益率）为Rt：

股票的年收益率（单利）R应该是：

为了简化计算两边同时取自然对数可得：

设r，r1，r2，…，r365为和R，R1，R2，…，R365相对应的连续复利。

则根据单复利之间的关系In（1+R）=r有：

同理，对任何时间间隔T都有：

由中心极限定理知服从正态分布。

即有：

～

式中，分别为rt的数学期望和方差

令，则y～，而进行简单的变量替换，可以求出S（T）的数学期望为：

对于股票的二叉树定价来说，如果从t=0时刻到t=T，时刻，所分的阶段数趋于无限大时，股票的价格也趋于对数正态分布。

即股票的二叉树定价和对数正态分布定价是一致的。

因为二叉树定价时股票的价格变化的规律是：

所以

即服从两点分布且相互独立.

所以服从二项分布.当，二项分布趋近于正态分布。

即在一定的条件下，股票的二叉树定价和对数正态分布定价是一致的。

B-S定价模型是二叉树定价模型的极限式。

三、布莱克-舒尔斯期权定价模型的直观理解

作为无现金股利的欧式买权定价模式是：

式中C是买权价格，S0是期初股票价格，N（·

）是累计正态分布函数，

为了更容易从经济意义上理解B-S定价模型，我们可以从现实直观的角度来作一些解释：

已知

式中为到期T时买权的价格，为到期标的股票市场价格

X为期权协定的执行价格。

则有

设到期的概率为P，此时

则有

考虑到期初的期权合理定价等于的现值而有

（1）

式中C:

期初期权合理价格，r：

无风险连续复利率，t到期时间长度

这里关键的问题，要找出P和的表达式。

1）由于

1－N（d）

N（-d）

-dd

=这是由于正态分布的对称性

其中服从对数正态分布服从对数正态分布（为常数）

服从正态分布。

收益率平均为，或。

而且是以年为基础计算的，但期权通常不超一年。

T为分数，应用代替。

即为新正态分布的期望值。

为新分布的标准差。

2）由于

其中为对数正态分布密度函数

其中u为的均值，是的方差

令

其中注意到：

并且，

式中

将以上计算结果代入

（1）式，得

这便是有名的Black-Scholes期权定价公式。

举例：

已知股票期初市价，协议执行价X=45，距到期日时间t=3个月＝0.25年

无风险利率r=10%，=0.16，

则有：

查正态分布表：

N（）＝N（0.7520）=0.7740

N（）＝N（0.552）=0.7095

一般地，期权交易市场上买入的价格即由B-S公式定价，如果实际市场价格比计算的价值低，说明期权的价格被低估，存在套利机会，可以买入期权。

四、B-S期权定价模型微分方程推导的基本思路

①随机方程（某变量以某种不确定的方式随时间变化）②马尔可夫过程（随机过程变量的未来预测值只与该变量的当前值有关，而与该变量的过去值无关时，该随机过程称为马尔可夫过程）③基本维纳过程（在内变量Z的变化满足：

，其中满足标准正态分布N（0，1）的一个随机值。

且两个不同的的值相互独立）④一般维纳过程（变量X满足：

）

如图：

一般维纳过程

基本维纳过程

⑤伊腾过程（S遵循ITO过程，即有变量G是S、t的函数，G=F（S，t），则G也是ITO过程，并且有：

⑥股票价格的ITO过程（股价S的变动可用瞬时期望漂移率为:

，瞬时方差率为的ITO过程，即，即

其中当股价的方差率恒为0时，则有，得说明当方差率为0时，股价得单位时间为的连续复利方式增长。

五、关于对数正态分布

我们已经知道很多独立同分布的随机变量之和趋于正态分布。

那么许多独立同分布随机变量的连乘积便服从于对数正态分布，即

对数正态分布

因为令则

这是n个随机变数之和，根据中心极限定理，y趋于正态分布，如图：

设，每年增长10%则有

对数正态分布的密度函数

100110121200X

对数分布图：

100200

而且123nlnx

lnx

01r2rnr

对数正态分布的密度函数：

x>

0x

其中为的均值，为的方差

注意到：

所以

考虑r常指年利率，而期权利率常是几个月，如三个月，

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