材料科学中的试验设计与分析 教学课件 作者 张忠明 第5章 回归分析与相关分析PPT格式课件下载.pptx

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另一个是随机性变量。

8,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,三、回归分析所研究的主要内容,1、特定变量间是否存在相关关系？

找出变量间的定量关系式；

2、对所建立的关系式的可信程度进行统计检验。

3、判断哪些自变量的影响显著，哪些影响不显著。

4、利用所建立的经验公式，制定合理的生产工艺参数和产品的配方。

5、利用所求得的关系式和误差估计，进行生产中的预报和控制。

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,四、回归分析的基本思路,例1：

在研究管内液体传热问题时，根据因次分析，可设其“准数”数学模型为：

分析：

将上式等号两边取对数，并令,9,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,求回归系数所遵循的原则：

将所求出的回归系数代入经验公式后计算出的数值，应与实测数据呈最佳近似。

10,6/17/2019,问题关键：

回归问题就是根据实验数据确定多项式系数即回归系数b0，b1，b2，b3的问题（幂指数或系数）。

DataProcessing）第5章回归分析与相关分析,5.2一元线性回归方程的建立,实验值：

（xi，yi）（i1，2，n）。

数据具有直线趋向时，曲线结构式可设为：

用一个确定函数关系式近似表达时，便得到回归方程：

-变量y的理论估计值或回归值问题关键：

怎样根据实测数据，确定回归系数a，b,11,6/17/2019,第5章回归分析与相关分析,最小二乘法：

最小二乘法就是使含有随机误差的各实测值与回归值的偏差平方和q达到最小，从而确定回归系数a、b的方法。

如何衡量实测值与回归值的总偏差？

偏差平方和q：

DataProcessing）分析：

实测值yi与回归值的偏差i为：

12,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,要使q取最小值，即有,经简单推导，可求得,其中,13,6/17/2019,试验设计与数据处理,（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,回归直线通过实验观测值的平均值（,）组成的点！

因此，回归方程可写为或,14,6/17/2019,15,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,例：

为了研究氮含量对铁合金溶液初生奥氏体析出温度的影响，测定了不同氮含量时铁合金溶液初生奥氏体析出温度，得到下表给出的5组数据。

表1氮含量与灰铸铁初生奥氏体析出温度测试数据,试验设计与数据处理,（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,如果把氮含量作为横坐标，把初生奥氏体析出温度作为纵坐标，将这些数据标在平面直角坐标上，则得图1，这个图称为散点图。

16,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）第5章回归分析与相关分析,得出：

a=1231.65b=-2236.63因此，在例1中灰铸铁初生奥氏体析出温度（y）与氮含量（x）的回归关系式为：

现在我们来建立关于例1的回归关系式。

将表中的结果代入,17,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,求回归方程的列表算法,将求b的关系式中分子、分母等单项参数分别计算，令,采用这些符号，回归系数的计算公式便十分简单，这时,18,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）第5章,回归分析与相关分析,一、回归平方和与剩余平方和影响实测值yi变动的有两方面因素：

当x取不同的xi时，引起了yi的变化。

试验误差及其它随机因素对yi的影响。

由于两方因素的综合作用，使n个yi与其平均值产生差异，为总变差平方和SST为：

19,6/17/2019,希望：

第

（1）个因素是主要因素，第

（2）个因素是次要因素。

5.3一元线性回归方程的检验方法,试验设计与数据处理,（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,令,（回归平方和）,20,6/17/2019,回归平方和SSR：

是由自变量x的变化所引起的y值的变差。

它反映了总变差SST中由于x和y的线性关系所引起的变差部分。

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,（剩余平方和）剩余平方和SS：

是试验误差及其它随机因素对变量yi观测结果的影响。

它反映了总变差SST中去掉回归平方和SSR后的剩余部分。

则,21,6/17/2019,或,偏差平方和q：

DataProcessing）第5章回归分析与相关分析,二、相关系数rxy,用回归平方和SSR在总变差SST中所占的比例来表示x与y两个变量间线性关系的相关程度。

22,6/17/2019,试验设计与数据处理,（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,所以,rxy与q的关系：

23,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,相关系数的意义：

当|rxy|等于1时，q=0，所有观测点都落在回归直线上，x和y完全线性相关（精确的线性关系）；

当|rxy|=0时，q最大，x和y线性无关；

|rxy|越大，越靠近于1时，则q越小，表明x与y间线性关系越密切。

24,6/17/2019,试验设计与数据处理,（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,

（2）,y,x,y,x,

（1）,r,xy,rxy,y,x,rxy,（5）,y,xx,y,（4）,xy,r,-,rxy,（6）,y,x,（3）rxy-,正相关：

rxy0，y随x的增加而增加负相关：

rxy，y随x的增加而减少,25,6/17/2019,26,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,相关性检验一般利用相关系数检验表（见附录）进行。

该表中给出的rxy值为相关系数的起码值。

只有当求出的相关系数大于表上相应的数值时，才能考虑用直线来描述x和y之间的相关关系。

查表时要遇到三个参数：

变量总数、自由度和置信水平。

对于一元回归分析,变量只有两个（x,y）。

自由度等于数据组数与变量个数之差。

显著性水平（5%和1%）表示线性相关的程度。

如果|rxy|小于表上相应的值时，称为x与y没有明显的线性关系，即回归方程没有实际意义。

通常当|rxy|大于表上,相应的值时，,相应的值，但小于表上,称为x与y有显著的线性关系；

如果|rxy|大于表上,相应的值时，称x与y有十分显著的线性关系；

DataProcessing）第5章回归分析与相关分析,三、r检验法,问题：

rxy的绝对值多大，才能表明变量间线性相关是密切的，所建立的回归方程才有实际意义呢？

思路：

根据风险度，变量x和y成对观察的次数n和自由度f查相关系数检验表，得到的r值为相关系数的起码值。

只有当计算出的rxy大于r时才能考虑用直线来描述x和y之间的相关关系。

步骤:

计算相关系数rxy值。

确定风险度和自由度f（f为变量x和y成对观察的次数n与变量数目2之差，即f=n-2），查表确定相关系数临界值r。

27,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,（3）比较rxy与r。

rxy,如r，则认为在（1-）置信度下，变量x与y之间,线性相关显著，此时所建立的回归方程有应用价值；

反之，,rxy,当r时，变量x与y之间不存在线性相关关系，此时,SSR在SST中占的比例越大，SS（即q）在SST中所占的比例就越小。

用SSR和SS的比值大小来判断回归效果的好坏。

所建立的回归方程无实际意义。

三、F检验法（方差检验法）分析：

28,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,方差MST：

回归方程的变差平方和SST与其自由度fT之商。

回归方差MSR：

回归方程的回归变差平方和SSR与其自由度fT之商。

29,6/17/2019,剩余方差MS：

回归方程的剩余变差平方和SS与其自由度f之商。

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,定义：

F函数,fR自变量的数目。

一元线性回归fR=1fSST的自由度（n-1）减去fR，即fn-2。

（F服从F分布）思路：

根据风险度，在F分布表上查Fn-。

当计算出的F大于F时，说明该线性回归方程显著，原假设可靠；

当F小于F时，说明该线性回归方程不显著，原假设不成立。

30,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,四、F检验法与r检验法比较,F相关系数rxy方程特点：

当rxy时，F；

rxy越大，F也越大，回归方程的效果越好；

当rxy等于时，F趋于无穷大。

F检验法与r检验法检验结果一致，不需要了解相关系数时，用F检验法即可。

31,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,五、回归线的精度,问题：

实测的y值与回归值的精度如何？

的偏差有多大？

即回归线预报,分析：

如果能计算出实测值的波动范围即标准差，则可估计回归线的精度。

剩余方差MS是排除了x对y的线性影响后（即x固定时），衡量y随机波动大小的一个估计量。

剩余标准差S：

剩余方差的平方根,32,6/17/2019,试验设计与数据处理,（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,可见，当rxy时，S；

当rxy时，S值最大。

所以S值越小，回归方程效果越好；

反之，则越差。

剩余标准差S作为回归方程的误差，可以对回归方程的效果做出判断S值越小，从回归方程中预报变量y的值，就越精确，因而S可用来预报回归方程的精度。

33,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,误差界取为-，时，置信概率为0.6827误差界取为-2，时，置信概率为0.9545误差界取为-3，时，置信概率为0.9973对于同一个xi，y的实测值yi是以回归值为中心对称分布的。

与剩余标准差S的关系如下：

yi落在yi落在yi落在,34,6/17/2019,区间的概率为0.6827区间的概率为0.9545区间的概率为0.9973,均方根误差是表示实验精确度的较好方法。

越小，表明数据越集中，测量精度越高。

35,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,5.4一元线性回归方程的应用,一、回归方程的建立过程1、实验样本的准备；

2、作出实验数据的散点图；

3、计算回归系数a与b，初步建立回归方程；

4、对回归方程进行显著性检验；

5、确定自变量x的有效区间。

即存在线性相关的范围；

6、技术预测与控制。

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,二、回归方程的应用,例2为探讨某滑动轴承的磨损量Q与油温T的关系，使10个轴承分别在不同油温下，测定其磨损量，得到如下试验数据。

试求其回归方程，并进行精度检验解1）作散点图，寻求回归,方程形式,Cm/100h,。

磨损,工作温度（）,36,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,求回归方程的系数a，b。

回归方程,37,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,回归方程的显著性检验相关系数检验法,38,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,回归方程的显著性检验,给定显著性水平0.01，按自由度n-2=8，在相关系数检验表上查得临界相关系数r0.7646。

结论：

在99的可信度下，滑动轴承的磨损量与油温间的回归方程特别显著,回归方程有实际价值。

39,6/17/2019,试验设计与数据处理,（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,F检验法,取；

fR；

fn-。

则,结论：

回归方程在的可信度下特别显著。

40,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,回归方程的剩余标准差,推论：

（置信概率为0.6827）（置信概率为0.9545）（置信概率为0.9973）,41,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）第5章,回归分析与相关分析,5.5一元非线性回归分析,问题：

变量间的关系并不限于线性相关，非线性相关的问题怎么解决？

、确定函数类型，通过变量变换，将非线性关系化成线性关系。

、如曲线类型不易判断时，采用多项式进行逼近。

一元非线性关系:

用下列回归方程表达：

回归参数由最小二乘法确定。

42,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,考虑n=2的情况：

为了求得上式中的a，b值，先写出偏差平方和q（a,b1,b2）的表达式，然后分别对a，b，b求偏导并使其结果等于零。

从而可得到如下的正规方程组正规方程组,43,6/17/2019,联解正规方程组，即可计算出回归系数a，b1，b2。

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,相关系数r,剩余标准差Syx,44,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）第5章回归分析与相关分析,例3炼钢厂出钢时所用的盛钢水的钢包，在使用过程中由于钢液及炉渣对包衬耐火材料的侵蚀，使其容积不断增大。

经过试验，钢包的容积（以钢包盛满钢水时的重量来表示）与相应的使用次数（即包龄）的测试数据如下表所示。

试建立钢包的容积与相应的使用次数间的回归方程。

45,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,解：

先画出右图所示的测试数据的散点图。

从图形特点来看应选用双曲线来表示容积y与使用次数x之间的关系，即,令,则回归方程可写为,46,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）第5章回归分析与相关分析,对于y与x来说，可以用前述一元线性回归方程的建立方法求出a，b，计算过程列于下表。

47,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,这样，可直接写出正规方程组,解方程组得a=0.008966，b=0.0008302，于是,48,6/17/2019,钢包的容积与相应的使用次数间的回归方程为,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,喷嘴直径与流量的关系表,例4.在燃气进口压力稳定时，试验某燃气灶的燃气喷嘴直径与流量的关系，测定结果如下表所示。

49,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）第5章回归分析与相关分析,设二阶方程,解为初步了解y与x的关系，将实验点绘在直角坐标图上。

应采用非线性方程来拟合。

由实验数据，可分别求出a=0.1954；

b=-4.09010-3；

1b2=1.065,10-3,喷嘴直径x（10-4m）图4-5例题4-3的曲线图,（h/m3）,50,6/17/2019,流量,曲线方程y=0.1954-4.0910-3x+1.065103x2,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,现在进行相关性检验。

取，自由度f=n-2=14-2=12，查相关系数检验表，得rn。

有rr成立。

结论：

在99置信度下，自变量x与因变量y之间非线性相关显著，所求得的回归方程的效果是高度显著的。

回归方程为:

51,6/17/2019,52,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,一元非线性回归问题转化为一元线性回归问题，具体做法如下：

1、根据实验所得数据，在直角坐标中划出散点图；

2、根据散点图，推测y与x之间的函数关系；

3、选择适当的交换，使之变成线性关系；

4、用线性回归方法求出线性回归方程；

5、返回到原来的函数关系，得到要求的回归方程。

DataProcessing）第5章回归分析与相关分析,5.6二元线性回归方程的建立与检验,一、二元线性回归方程的建立二元线性回归方程的典型形式：

偏差平方和q为,用最小二乘法求a，b，c。

53,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,正规方程组,简便算法：

以n除上式中的第一项，得又有则：

54,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）第5章,回归分析与相关分析,将上式代入偏差的平方和q表达中，有：

最小二乘法求b，c,令:

55,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,上式可简化为,联解此方程组，求出二元线性回归系数b、c值。

56,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）第5章回归分析与相关分析,SSR回归平方和SS剩余平方和当SSR越大或SS越小时，表示y与x、z的线性关系越密切，回归方程效果越好。

二、二元线性回归方程的方差检验（F检验法）,1、总变差平方和SST为,57,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,SST、SSR、SS的计算公式是：

其中：

58,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,2、F检验法,fTfR+f=n-1fR2（有2个自变量）ffT-fR（n-1）-2=n-3,59,6/17/2019,60,6/17/2019,试验设计与数据处理（ExperimentDesign&

DataProcessing）,第5章回归分析与相关分析,

（2）给定风险度,，根据F分布表查出相应的临界值,F（fR，f）。

（3）将F与F（fR，f）进行比较。

FF（fR，f），在（1-）置信度下，变量y与x、z间线性相