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福建省莆田市届高三第二次教学质量检测数学试题含答案解析

福建省莆田市2022届高三3月第二次教学质量检测数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．设全集

，集合

，

，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

2．已知双曲线

的一条渐近线方程为

，则

（       ）

A．2B．

C．

D．4

3．

展开式中的常数项为（       ）

A．

B．

C．15D．30

4．若

，则

（       ）

A．

B．

C．

D．

5．下列直线中，既不是曲线

：

的切线，也不是曲线

：

的切线的是（       ）

A．

B．

C．

D．

6．莆田妈祖城有一钟楼，其顶部可视为正四棱柱与正四棱锥的组合体，如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两钟面上的时针成60°角的次数是（       ）

A．2B．4C．6D．8

7．已知函数

是定义在

上的奇函数，其图象关于直线

对称，则（       ）

A．

B．

C．

D．

8．已知抛物线

：

，直线

交

于

，

两点，

为弦

的中点，过

，

分别作

的切线，它们的交点为

，则

的面积为（       ）

A．

B．

C．

D．

二、多选题

9．已知函数

，其图象相邻的两条对称轴之间的距离是

，则（       ）

A．

是偶函数B．

在

单调递减

C．

的图象关于点

对称D．

的图象关于直线

对称

10．已知直线

：

与圆

：

相切，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

11．函数

的图象可能为（       ）

A．

B．

C．

D．

12．意大利数学家卡尔达诺（Cardano.Girolamo，1501-1576）发明了三次方程的代数解法.17世纪人们把卡尔达诺的解法推广并整理为四个步骤：

第一步，把方程

中的

用

来替换，得到方程

；

第二步，利用公式

将

因式分解；

第三步，求得

，

的一组值，得到方程

的三个根：

，

，

（其中

，

为虚数单位）；

第四步，写出方程

的根：

，

，

.

某同学利用上述方法解方程

时，得到

的一个值：

，则下列说法正确的是（       ）

A．

B．

C．

D．

三、填空题

13．已知向量

，

，

，若

，则

_____________.

14．每年3月5日是“学雷锋纪念日”，今年3月5日恰逢周六.甲、乙、丙、丁四位同学计划周六到

，

，

，

四个社区参加志愿服务，每人只去一个社区，则四位同学去的社区互不相同的概率是____________.

15．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量

（单位：

mg/L）与时间

（单位：

h）间的关系为

，其中

，

是正的常数.如果2h后还剩下90%的污染物，5h后还剩下30%的污染物，那么8h后还剩下____________%的污染物.

四、双空题

16．定义：

若A，B，C，D为球面上四点，E，F分别是AB，CD的中点，则把以EF为直径的球称为AB，CD的“伴随球”.已知A，B，C，D是半径为2的球面上四点，

，则AB，CD的“伴随球”的直径取值范围为____________；若A，B，C，D不共面，则四面体ABCD体积的最大值为______________.

五、解答题

17．已知数列

，

满足

，

，

.

（1）证明：

数列

为等差数列；

（2）求数列

的前

项和

.

18．某企业有生产能力相同的甲、乙两条生产线，生产成本相同的同一种产品.为保障产品质量，质检部门分别从这两条生产线上各随机抽取100件产品，并检测其某项质量指标值.根据该质量指标值对应的产品等级，统计得到甲、乙生产线的样本频数分布表如下：

质量指标值

等级

次品

二等品

一等品

二等品

三等品

次品

甲生产线（件）

2

19

40

24

14

1

乙生产线（件）

2

16

50

12

19

1

（1）根据样本频数分布表，估计乙生产线的该质量指标值的中位数；

（2）该企业为了守法经营，将所有次品销毁，每销毁一件次品的费用为10元.已知一、二、三等品的售价分别为120元/件、90元/件、60元/件.为响应政府拉闸限电的号召，企业计划关停一条生产线.视频率为概率，若您是企业的决策者，根据生产线效益的差异情况，您应关停哪条生产线，并说明理由.

19．如图，在四棱锥

中，底面

是菱形，

为

的中点.

（1）证明：

平面

；

（2）请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答.

①

；②

；③

与平面

所成的角为

.

若

平面

，

，且______________，求二面角

的余弦值.注：

如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

20．

的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知B为锐角，且

.

（1）求

；

（2）若

，点

满足

，当

的面积最大时，求

和

的值.

21．已知

，

是椭圆

：

的左、右焦点，过

的直线与

交于

，

两点，且

.

（1）求

的离心率；

（2）设

，

分别为

的左、右顶点，点

在

上（

不与

，

重合），证明：

.

22．己知函数

.

（1）求

的最小值；

（2）设函数

，若

，求实数

的取值范围.

参考答案：

1．A

【解析】

【分析】

先求得

，然后求得

.

【详解】

，

.

故选：

A

2．C

【解析】

【分析】

根据双曲线的渐近线求得

.

【详解】

双曲线

的渐近线方程为

，

所以

.

故选：

C

3．C

【解析】

【分析】

由二项式写出展开式的通项，再判断常数项对应的r值，即可求常数项.

【详解】

由题设，

，

所以，当

时常数项为

.

故选：

C

4．D

【解析】

【分析】

利用平方的方法求得

，由此求得

.

【详解】

依题意

，

两边平方并化简得

，

.

故选：

D

5．D

【解析】

【分析】

根据切线的斜率为

或

进行分析，从而确定正确选项.

【详解】

对于曲线

，

，

若

，则

，

，切线方程为

，A选项正确.

若

，则

，切线方程为

，C选项正确.

对于曲线

，

，

若

，则

，切线方程为

，B选项正确.

若

，则

，切线方程为

，D选项错误.

故选：

D

6．B

【解析】

【分析】

根据正四棱柱的性质及在0、3、6、9等整点情况下相邻时针之间夹角的变化趋势，即可判断0点至12点之间时针成60°角的次数.

【详解】

由题设，在0、6点时相邻钟面上的时针都平行，即夹角为0度；在3、9点时相邻钟面上的时针垂直，即夹角为90度，

所以相邻钟面上的时针，在

、

、

、

点之间各有一次成60°角的情况，故共有4次成60°角.

故选：

B

7．A

【解析】

【分析】

结合函数的奇偶性和对称性求得正确答案.

【详解】

依题意知函数

是定义在

上的奇函数，

所以

，

又因为图象关于直线

对称，

关于

对称，

所以

.

的函数值无法确定.

故选：

A

8．B

【解析】

【分析】

利用点差法结合条件可得直线方程，联立抛物线方程可求切点，然后利用导数的几何意义可得切线方程，进而可得交点

，再利用面积公式即求.

【详解】

设

，则

，又

为弦

的中点，

∴

，

∴

，即

，

∴直线

的方程为

，即

，

由

，解得

或

，

即

，

又抛物线

：

的焦点为

，在直线

上，

∴

，

由

可得

，

∴直线PA的方程为：

，

同理可得，直线PB的方程为：

，

两方程联立可得，

，即

，

∴P到直线AB的距离为

，

∴

的面积为

.

故选：

B.

9．BD

【解析】

【分析】

化简

解析式，根据已知条件求得

，根据三角函数的奇偶性、单调性、对称性对选项进行分析，从而确定正确选项.

【详解】

，

由于

图象相邻的两条对称轴之间的距离是

，

所以

，

所以

，

，所以

不是偶函数，A选项错误.

，所以

在

上递减，所以B选项正确.

，所以C选项错误.

，所以D选项正确.

故选：

BD

10．BC

【解析】

【分析】

先根据直线和圆相切得到

，再利用基本不等式判定选项A错误、选项B、C正确，利用反例得到选项D错误.

【详解】

因为直线

：

与圆

：

相切，

所以圆心

到直线

的距离等于1，

即

，即

，且

，

；

对于A：

因为

且

，

所以

，即选项A错误；

对于B：

因为

，

所以

（当且仅当

，即

时取等号），

即选项B正确；

对于C：

因为

且

，

所以

（当且仅当

时取等号），

即选项C正确；

对于D：

当

且

时，

，

即选项D错误.

故选：

BC.

11．ABD

【解析】

【分析】

讨论

、

、

、

四种情况下，

的奇偶性、单调性及函数值的正负性判断函数图象的可能性.

【详解】

当

时，

；

当

时，

定义域为R且为奇函数，在

上

，在

上递增，在

上递减，A可能；

当

时，

定义域为

且为奇函数，在

上

且递增，在

上

且递增，B可能；

当

时，

且定义域为

，此时

为偶函数，

若

时，在

上

（注意

），在

上

，则C不可能；

若

时，在

上

，在

上

，则D可能；

故选：

ABD

12．ABC

【解析】

【分析】

根据三次方程的代数解法对选项进行分析，由此确定正确选项.

【详解】

依题意可知

是

次项系数，所以

，A选项正确.

第一步，把方程

中的

，用

来替换，

得

，

第二步，对比

与

，

可得

，解得

，B选项正确.

所以

，C选项正确.

，D选项错误.

故选：

ABC

13．

【解析】

【分析】

应用向量线性运算的坐标运算求

，再利用向量垂直的坐标表示列方程求参数m.

【详解】

由题设，

，又

，

所以

，解得

.

故答案为：

.

14．

##0.09375

【解析】

【分析】

先利用计数原理得到参加社区志愿服务的总的方法，再利用排列知识得到互不相同的方法数，再利用古典概型的概率公式进行求解.

【详解】

甲同学可以选择到

，

，

，

四个社区中的任一社区参加志愿服务，且只去一个社区，共有4种方法，同理，乙、丙、丁也有4种方法，由分步乘法计数原理，4人到四个社区参加志愿服务共有

种方法；每人只去一个社区，且四位同学去的社区互不相同，即4人去四个不同的社区，每个社区有且只有1人，共有

种方法；则四位同学去的社区互不相同的概率是

.

故答案为：

.

15．

【解析】

【分析】

根据已知条件求得

，进而求得剩下的污染物的百分比.

【详解】

设初始污染物有

，

则

，两式相除得

.

所以

后

，

即还剩下

的污染物.

故答案为：

16．    

    4

【解析】

【分析】

设

为

所在球面的球心，则由题可知E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，据此即可求出EF范围；根据

（d为点

到平面

距离，），求出

的最大值即可得体积最大值.

【详解】

设

为

所在球面的球心，∴

.

∵

，且

分别是

的中点，

∴

，

，且

，

∴

，

则E、F均是以O为球心，1为半径的球面上的点，

若以EF为直径作球，则

，

即AB，CD的“伴随球”的直径取值范围是（0，2]；

∵E是AB中点，∴

，

d为点

到平面

距离，

，

又

，

为点

到

距离，

，

∴

，当且仅当

，F三点共线，且

⊥CD时，等号成立.

故答案为：

（0，2]；4.

【点睛】

本题关键是根据已知条件确定E和F的轨迹，数形结合可得EF的范围；根据E是AB中点，则A与B到平面CDE的距离相等，据此将三棱锥A－BCD的体积转化为三棱锥A－CDE体积的2倍，再数形结合即可求得最值.对空间想象能力的要求很高，属于难题.

17．

（1）证明见解析

（2）

【解析】

【分析】

（1）由

来证得数列

为等差数列；

（2）利用并项求和法求得

.

（1）

依题意

，

，

两边除以

得

，即

，

所以数列

是首项

，公差为

的等差数列.

所以

.

（2）

，

所以

.

18．

（1）

；

（2）应关停甲生产线，详见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据样本频数分布表可得

，即得；

（2）分别计算两个生产线生产一件产品的平均收入，即可.

（1）

∵乙生产线抽取了100件产品，由样本频数分布表可知，质量指标值位于前两组的频数为18，前三组的频数为68，

∴中位数位于第三组，设乙生产线的该质量指标值的中位数为x，则

，

解得

，

∴乙生产线的该质量指标值的中位数为

；

（2）

由题可得甲生产线生产次品的概率为

，一等品的概率为

，二等品的概率为

，三等品的概率为

，

设甲生产线生产一件产品的收入为X，则

（元），

乙生产线生产次品的概率为

，一等品的概率为

，二等品的概率为

，三等品的概率为

，

设乙生产线生产一件产品的收入为Y，则

（元）

（元），

∴甲生产线生产一件产品的平均收入低于乙生产线生产一件产品的平均收入，应关停甲生产线.

19．

（1）证明见解析；

（2）

.

【解析】

【分析】

（1）设AC,BD交于点O，连结OF.利用线面平行的判定定理证明

平面

；

（2）过O作

.以O为原点，

为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.选择条件①②③，都可以求出

，求出各个点的坐标，利用向量法求解.

（1）

设AC,BD交于点O，因为

是菱形，所以O为BD的中点.

连结OF.因为

为

的中点，所以

为

的中位线，所以

.

因为

面

，

面

，

所以

平面

.

（2）

过O作

.以O为原点，

为x、y、z轴正方向建立空间直角坐标系.

选条件①：

.

在菱形

中，

.因为

，所以

.所以

.

所以

.

设

为面ACF的一个法向量，则：

，

不妨令x=2，则

.

显然

为面ACD的一个法向量.

设二面角

的平面角为

，由图示，

为锐角，

所以

.

选条件②

.

在菱形

中，

，所以

所以

.因为

，所以

.所以

.

所以

.

设

为面ACF的一个法向量，则：

，

不妨令x=2，则

.

显然

为面ACD的一个法向量.

设二面角

的平面角为

，由图示，

为锐角，

所以

.

选条件③：

与平面

所成的角为

.

因为

平面

，所以

为

与平面

所成的角，即

.

在直角三角形

中，由

可得：

.所以

.所以

.

所以

.

设

为面ACF的一个法向量，则：

，

不妨令x=2，则

.

显然

为面ACD的一个法向量.

设二面角

的平面角为

，由图示，

为锐角，

所以

.

20．

（1）

（2）

【解析】

【分析】

（1）利用正弦定理化简已知条件，结合两角和的正弦公式，诱导公式求得正确答案.

（2）结合基本不等式求得

，利用余弦定理求得

和

的值.

（1）

依题意

，

由正弦定理得

，

，

由于

，

，所以

，

依题意

是锐角，即

，

，

为锐角，

且

，

所以

.

（2）

依题意

，

，

当且仅当

时等号成立，

此时三角形

是等腰直角三角形.

.

由于

，所以

，

在三角形

中，由余弦定理得

，

.

21．

（1）

（2）见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意设

，由勾股定理的逆定理可得

，再根据椭圆的定义可求出

的值，从而可求出

的值，则可得点

是椭圆短轴的一个端点，进而可求出离心率，

（2）由椭圆的对称性，不妨设

，

，

，则可得

，然后求出

，

，再利用正切的两角和公式可得

，由正切函数可求出

的最小值，从而可求出

的最大值，进而可证得结论

（1）

由

，得

，得

，

由题意设

，则

，

所以

，

因为

，

所以

，所以

，

所以

，

所以

为等腰直角三角形，

所以点

是椭圆短轴的一个端点，

所以

，

因为

，得

，

所以椭圆的离心率为

（2）

由

（1）可得椭圆方程为

，则

因为点

是椭圆短轴的一个端点，所以不妨设

由椭圆的对称性，不妨设

，

，

则

，

，

所以

，

，

所以

，

所以当

时，

取得最小值

，

由

（1）可知

，所以

，

所以当

取得最小值时，

取得最小值，即点

与点

重合时，

取得最小值，

此时

取得最大，

所以

22．

（1）

；

（2）

.

【解析】

【分析】

（1）利用导数求出函数的单调区间即得解；

（2）当

时，

；证明当

时，

.令

，求出

即得解.

（1）

解：

由题得

令

，

所以函数

在

上单调递减，在

单调递增，

所以

.

（2）

解：

由题得

当

时，

.

下面证明当

时，不等式成立.

令

，

因为

，

所以当

时，

，

单调递减，

当

时，

，

单调递增.

所以

.

所以实数

的取值范围为

.

【点睛】

关键点睛：

解答本题的关键在第2问，其中用到了多次求导，如果求导之后，导数的正负无法判断，一般要继续求导，直到能判断导数的正负，能求出函数的单调区间为止.