高考全国2卷数学理科试题与答案详解Word文档格式.docx
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（C）
3a-3b
（D）
4a-4b
3
5
（7）已知α为第二象限角，sinα＋sinβ=3，则cos2α=
（A）-
（B）-5
9
（8）已知F1、F2为双曲线C：
x2-y22的左、右焦点，点P在C上，|PF1|=|2PF2|，则
cos∠F1PF2=
1334
（A）（B）（C）（D）
4545
（9）已知x=lnπ，y=log52，z=e2，则
（A）x＜y＜z（B）z＜x＜y（C）z＜y＜x（D）y＜z＜x
（10）已知函数y＝x2-3x+c的图像与x恰有两个公共点，则c＝
（A）-2或2（B）-9或3（C）-1或1（D）-3或1
（11）将字母a,a,b,b,c,c,排成三行两列，要求每行的字母互不相同，梅列的字母也互不相同，则不同的排列方法共有
（A）12种（B）18种（C）24种（D）36种
2
（12）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，AE＝BF＝7。
动点P从
E出发沿直线喜爱那个F运动，每当碰到正方形的方向的边时反弹，反弹时反射等于入射角，当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为
（A）16（B）14（C）12（D）1
二。
填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上。
x-y1
0,
（13）若x，y满足约束条件x
y-3
0,则z=3x-y的最小值为_________。
x
3y-3
（14）当函数ysinx-3cosx0x2取得最大值时，x=___________。
（15）若x
n
的展开式中第
3项与第7项的二项式系数相等，
则该展开式中
的
系数为_________。
（16）三菱柱ABC-A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，BAA1=CAA1=50°
则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为____________。
（17）（本小题满分10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos
（A-C）＋cosB=1，a=2c，求c.
（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，PA⊥底面ABCD，
AC=22，PA=2，E是PC上的一点，PE=2EC.
（Ⅰ）证明：
PC⊥平面BED；
（Ⅱ）设二面角A-PB-C为90°
，求PD与平面PBC所成角的大小。
19.（本小题满分12分）乒乓球比赛规则规定：
一局比赛，双方比分在10平前，一方连续
发球2次后，对方再连续发球2次，依次轮换。
每次发球，胜方得1分，负方得0分。
设在
甲、乙的比赛中，每次发球，发球方得1分的概率为0.6，各次发球的胜负结果相互独立。
甲、乙的一局比赛中，甲先发球。
（Ⅰ）求开始第4次发球时，甲、乙的比分为1比2的概率；
（Ⅱ）表示开始第4次发球时乙的得分，求的期望。
（20）（本小题满分12分）
设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π].
（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；
（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知抛物线C：
y=（x+1）2与圆M：
（x-1）2+（y1
）2=r2（r＞0）有
一个公共点，且在A处两曲线的切线为同一直线l.
（Ⅰ）求r；
（Ⅱ）设m、n是异于l且与C及M都相切的两条直线，m、n的交点为D，求D到l的距
离.
22（本小题满分
12分）函数
是过两点P（4,5）、
f（x）=x-2x-3，定义数列{xn}如下：
x1=2，xn+1
Qn（xn,f（xn））的直线PQn与x轴交点的横坐标.
2xn＜xn+1＜3；
（Ⅱ）求数列{xn}的通项公式.
6
2012年全国统一高考数学试卷（理科）（大纲版）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（5分）复数=（）
A．2+iB．2﹣iC．1+2iD．1﹣2i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【专题】计算题．
【分析】把的分子分母都乘以分母的共轭复数，得，由此利
用复数的代数形式的乘除运算，能求出结果．
【解答】解：
=
=1+2i．
故选C．
【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
2．（5分）已知集合，B={1，m}，A∪B=A，则m=（）
A．0或B．0或3C．1或D．1或3
【考点】集合关系中的参数取值问题．
【专题】集合．
【分析】由题设条件中本题可先由条件A∪B=A得出B?
A，由此判断出参数m可能的取值，
再进行验证即可得出答案选出正确选项．
由题意A∪B=A，即B?
A，又，B={1，m}，
∴m=3或m=，解得m=3或m=0及m=1，
验证知，m=1不满足集合的互异性，故m=0或m=3即为所求，故选：
B．
【点评】本题考查集合中参数取值问题，解题的关键是将条件A∪B=A转化为B?
A，再由
集合的包含关系得出参数所可能的取值．
3．（5分）椭圆的中心在原点，焦距为4，一条准线为x=﹣4，则该椭圆的方程为（）
A．B．
C．D．
【考点】椭圆的简单性质；
椭圆的标准方程．
7
【分析】确定椭圆的焦点在x轴上，根据焦距为4，一条准线为x=﹣4，求出几何量，即可求得椭圆的方程．
由题意，椭圆的焦点在x轴上，且
∴c=2，a=8
222
∴b=a﹣c=4
∴椭圆的方程为
【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，属于基础题．
4．（5分）已知正四棱柱
ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2，CC1=2
，E为CC1的中点，则直
线AC1与平面BED的距离为（
）
A．2B．
C．
D．1
【考点】直线与平面所成的角．
【分析】先利用线面平行的判定定理证明直线
C1A∥平面BDE，再将线面距离转化为点面
距离，最后利用等体积法求点面距离即可
如图：
连接AC，交BD于O，在三角形CC1A中，易证OE∥C1A，从而C1A∥
平面BDE，
∴直线AC1与平面BED的距离即为点A到平面BED的距离，设为h，
在三棱锥E﹣ABD中，VE﹣ABD=S△ABD×
EC=×
×
2×
=
在三棱锥A﹣BDE中，BD=2
，BE=
，DE=
，∴S△EBD=
×
2×
=2
∴VA﹣BDE=×
S
△EBD
h=
∴h=1
故选D
【点评】本题主要考查了线面平行的判定，线面距离与点面距离的转化，三棱锥的体积计算方法，等体积法求点面距离的技巧，属基础题
5．（5分）已知等差数列
n，a5
，则数列
{a}的前n项和为
S=5
，S=15
项和为（
A．
B．C．D．
【考点】
数列的求和；
等差数列的前
n项和．
【专题】
计算题．
【分析】由等差数列的通项公式及求和公式，结合已知可求
a1，d，进而可求an，代入可得
，裂项可求和
设等差数列的公差为
d
由题意可得，
解方程可得，d=1，a1=1
由等差数列的通项公式可得，an=a1+（n﹣1）d=1+（n﹣1）×
1=n
∴==
=1﹣=
故选A
【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及求和公式的应用，及数列求和的裂项求和方法的应用，属于基础试题
6．（5分）△ABC中，AB边的高为CD，若=
，
=，?
=0，||=1，||=2，则=
（
B．
D．
【考点】平面向量的综合题．
【分析】由题意可得，CA⊥CB，CD⊥AB，由射影定理可得，AC2
=AD?
AB可求AD，进
而可求
，从而可求
与
的关系，进而可求
∵?
=0，
∴CA⊥CB
∵CD⊥AB
∵||=1，||=2
∴AB=
由射影定理可得，AC=AD?
AB
∴
【点评】本题主要考查了直角三角形的射影定理的应用，向量的基本运算的应用，向量的数
量积的性质的应用．
7．（5分）已知α为第二象限角，，则cos2α=（）
A．﹣B．﹣C．D．
【考点】二倍角的余弦；
同角三角函数间的基本关系．
【专题】三角函数的求值．
【分析】由α为第二象限角，可知sinα＞0，cosα＜0，从而可求得sinα﹣cosα=，利用
cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）可求得cos2α
∵sinα+cosα=，两边平方得：
1+sin2α=，
∴sin2α=﹣，①
∴（sinα﹣cosα）2=1﹣sin2α=，
∵α为第二象限角，
∴sinα＞0，cosα＜0，
∴sinα﹣cosα=，②
∴cos2α=﹣（sinα﹣cosα）（sinα+cosα）
=（﹣）×
=﹣．
故选A．
【点评】本题考查同角三角函数间的基本关系，突出二倍角的正弦与余弦的应用，求得sinα
﹣cosα=是关键，属于中档题．
10
8．（5分）已知F1、F2为双曲线C：
x2﹣y2
=2的左、右焦点，点
P在C上，|PF1|=2|PF2|，
则cos∠F1PF2=（
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】根据双曲线的定义，结合
|PF1
2的值．
|=2|PF|，利用余弦定理，即可求
cos∠FPF
将双曲线方程x2﹣y2
=2化为标准方程
﹣=1，则a=
，b=
，c=2，
设|PF1|=2|PF2|=2m，则根据双曲线的定义，
|PF1|﹣|PF2|=2a可得m=2
∴|PF1
|=4
，|PF|=2
∵|F1F2|=2c=4，
∴cos∠F1PF2====．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查双曲线的定义，考查余弦定理的运用，属于中档题．
9．（5分）已知x=lnπ，y=log52，，则（）
A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x
【考点】不等式比较大小．
【专题】计算题；
压轴题．
【分析】利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．
∵x=lnπ＞lne=1，
0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；
＞
，即z∈（
，1），
1=e＞=
∴y＜z＜x．
故选：
D．
【点评】本题考查不等式比较大小，
掌握对数函数与指数函数的性质是解决问题的关键，
属
于基础题．
10．（5分）已知函数
y=x
3﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，则
c=（
A．﹣2或2B．﹣9或3C．﹣1或1D．﹣3或1
【考点】利用导数研究函数的极值；
函数的零点与方程根的关系．
11
【分析】求导函数，确定函数的单调性，确定函数的极值点，利用函数y=x3﹣3x+c的图象
与x轴恰有两个公共点，可得极大值等于0或极小值等于0，由此可求c的值．
求导函数可得y′=3（x+1）（x﹣1），
令y′＞0，可得x＞1或x＜﹣1；
令y′＜0，可得﹣1＜x＜1；
∴函数在（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上单调增，（﹣1，1）上单调减，
∴函数在x=﹣1处取得极大值，在x=1处取得极小值．
∵函数y=x﹣3x+c的图象与x轴恰有两个公共点，
∴1﹣3+c=0或﹣1+3+c=0，
∴c=﹣2或2．
A．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值，解题的关键是利用极大值等于0或极小值等于0．
11．（5分）将字母a，a，b，b，c，c排成三行两列，要求每行的字母互不相同，每列的字
母也互不相同，则不同的排列方法共有（）
A．12种B．18种C．24种D．36种
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【分析】由题意，可按分步原理计数，对列的情况进行讨论比对行讨论更简洁．
由题意，可按分步原理计数，
首先，对第一列进行排列，第一列为a，b，c的全排列，共有种，
再分析第二列的情况，当第一列确定时，第二列第一行只能有2种情况，
当第二列一行确定时，第二列第2，3行只能有1种情况；
所以排列方法共有：
1×
1=12种，
【点评】本题若讨论三行每一行的情况，讨论情况较繁琐，而对两列的情况进行分析会大大
简化解答过程．
12．（5分）正方形ABCD的边长为1，点E在边AB上，点F在边BC上，，动
点P从E出发沿直线向F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，
当点P第一次碰到E时，P与正方形的边碰撞的次数为（）
A．16B．14C．12D．10
【考点】与直线关于点、直线对称的直线方程；
直线的一般式方程．
【专题】作图题；
【分析】通过相似三角形，来确定反射后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可．
根据已知中的点E，F的位置，可知第一次碰撞点为F，在反射的过程中，直
线是平行的，利用平行关系及三角形的相似可得第二次碰撞点为G，且CG=，第二次碰
撞点为H，且DH=，作图，
可以得到回到E点时，需要碰撞14次即可．
故选B．
【点评】本题主要考查了反射原理与三角形相似知识的运用．通过相似三角形，来确定反射
后的点的落的位置，结合图象分析反射的次数即可，属于难题．
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上．（注意：
在试题卷上作答无效）
13．（5分）若x，y满足约束条件则z=3x﹣y的最小值为﹣1．
【考点】简单线性规划．
【分析】作出不等式组表示的平面区域，由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y
﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小，结合图形可求
作出不等式组表示的平面区域，如图所示
由z=3x﹣y可得y=3x﹣z，则﹣z表示直线3x﹣y﹣z=0在y轴上的截距，截距越大z越小结合图形可知，当直线z=3x﹣y过点C时z最小
由可得C（0，1），此时z=﹣1
故答案为：
﹣1
13
【点评】本题主要考查了线性规划的简单应用，解题的关键是明确目标函数中z的几何意义，属于基础试题
14．（5分）当函数y=sinx﹣
cosx（0≤x＜2π）取得最大值时，
x=
．
【考点】三角函数的最值；
两角和与差的正弦函数．
【分析】利用辅助角公式将
y=sinx﹣cosx化为y=2sin（x﹣
）（0≤x＜2π），即可求得
y=sinx﹣
cosx（0≤x＜2π）取得最大值时x的值．
∵y=sinx﹣
cosx=2（sinx﹣
cosx）=2sin（x﹣
）．
∵0≤x＜2π，
∴﹣
≤x﹣
＜
∴ymax=2，此时x﹣
∴x=
【点评】本题考查三角函数的最值两与角和与差的正弦函数，
着重考查辅助角公式的应用与
正弦函数的性质，将
cosx（0≤x＜2π）化为y=2sin（x﹣
）（0≤x＜2π）是关键，
属于中档题．
14
15．（5分）若的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等，则该展开式中
的系数为56．
【考点】二项式系数的性质．
【分析】根据第2项与第7项的系数相等建立等式，求出n的值，根据通项可求满足条件的
系数
∴n=8
展开式的通项=
令8﹣2r=﹣2可得r=5
此时系数为=56
56
【点评】本题主要考查了二项式系数的性质，以及系数的求解，解题的关键是根据二项式定理写出通项公式，同时考查了计算能力．
16．（5分）三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA1=∠CAA1=60°
则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】先选一组基底，再利用向量加法和减法的三角形法则和平行四边形法则将两条异面
直线的方向向量用基底表示，最后利用夹角公式求异面直线AB1与BC1所成角的余弦值即
可
如图，设=，，，棱长均为1，
则=，=，=
∵，
∴=（）?
（）=﹣++﹣+
=﹣++=﹣1++1=1
||===
15
∴cos＜，＞===
∴异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为
【点评】本题主要考查了空间向量在解决立体几何问题中的应用，空间向量基本定理，向量
数量积运算的性质及夹角公式的应用，有一定的运算量
三.解答题：
本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．（10分）△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知cos（A﹣C）+cosB=1，
a=2c，求C．
【考点】正弦定理；
三角函数中的恒等变换应用．
【分析】由cos（A﹣C）+cosB=cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1，可得sinAsinC=，由a=2c
及正弦定理可得sinA=
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