四年级下数学思维训练教程尖子生.docx
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四年级下数学思维训练教程尖子生
四年级下期
第一讲定义新运算
同学们对于“加、减、乘、除”四则运算已经相当熟悉了。
为了扩展对运算的认识，在四则运算的基础上，还可以按需要规定新的运算。
例1 设a、b都表示数，规定a△b＝3×a－2×b。
（1）求4△3，3△4。
（2）这种运算有“交换律”吗？
（3）求（17△6）△2，17△（6△2）。
（4）这种运算有“结合律”吗？
（5）如果已知5△b＝1，求b。
解：
像这样的题目叫做“定义新运算”。
这里，“△”当作一种新的运算符号来使用，它的意义是：
如等号右端所要求的那样，先求出3×a和2×b的值，再求出3×a与2×b的差。
弄清了新定义运算的意义之后，就要严格按照要求进行操作。
仍然要先做括号里面的。
所以：
（1）4△3＝3×4－2×3＝12－6＝6。
3△4＝3×3－2×4＝9－8＝1。
（2）由
（1）可知，4△3与3△4的结果不同，所以，这种运算没有“交换律”。
（3）（17△6）△2＝（3×17－2×6）△2＝（51－12）△2＝39△2＝3×39－2×2＝117－4＝113。
17△（6△2）＝17△（3×6－2×2）＝17△（18－4）＝17△14＝3×17－2×14＝51－28＝23。
（4）由（3）可知，（17△6）△2与17△（6△2）的结果不同，所以，这种运算也没有“结合律”。
（5）因为5△b＝3×5－2×b＝15－2b，而15－2b＝1，所以2b＝15－1，2b＝14，b＝7。
通过这个例题使我们认识到，所谓的“新运算”并不神秘，它只不过是对原有的四则运算的一种综合运用而已。
在做这类题目时，关键是要弄清楚新运算的意义是什么，并且要严格按照它的意义进行运算。
例2 如果a＃b＝2×a＋3×b，a*b＝（a＋b）÷2，那么（3*5）＃7＝？
解：
“＃”的意义是先求出2×a和3×b，再求出2×a与3×b的和。
“*”的意义显然是求a、b的平均数。
因为3*5＝（3＋5）÷2＝4，所以，（3*5）＃7＝4＃7＝2×4＋3×7＝29。
例3 规定：
a＆b＝a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1），其中a、b表示自然数。
（1）求1＆100的值；
（2）已知x＆10＝75，求x。
解：
（1）a＋（a＋1）＋（a＋2）＋…＋（a＋b－1）
＝1＋（1＋1）＋（1＋2）＋…＋（1＋100－1）
＝1＋2＋3＋…＋100
＝（1＋100）×100÷2
＝101×100÷2
＝5050。
（2）x＋（x＋1）＋（x＋2）＋…＋（x＋10－1）＝75
10x＋（1＋2＋…＋9）＝75
10x＋45＝75
10x＝75－45
10x＝30
x＝30÷10
x＝3
例4 羊和狼在一起时，狼要吃掉羊，所以关于羊和狼，我们规定一种运算，用符号△表示：
羊△羊＝羊；羊△狼＝狼；狼△羊＝狼；狼△狼＝狼。
以上运算的意思是：
羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是狼和羊在一起就只剩下狼了。
小朋友总是希望羊能战胜狼，所以我们规定另一种运算，用符号☆表示：
羊★羊＝羊；羊★狼＝羊；狼★羊＝羊；狼★狼＝狼。
这个运算的意思是：
羊和羊在一起还是羊；狼和狼在一起还是狼；但是由于羊能战胜狼，当狼和羊在一起时，它便被羊赶走而几只剩下羊了。
对羊或狼，可以用上面规定的运算作混合运算，混合运算的法则是从左到右，括号先算。
运算的结果或者是羊，或者是狼。
那么求下式的结果：
羊△（狼★羊）★羊△（狼★狼）。
解：
羊△（狼★羊）★羊△（狼★狼）
＝羊△羊★羊△狼
＝羊★羊△狼
＝羊△狼
＝狼
练 习 一
1．设a、b都表示数，规定：
a△b表示a的4倍减去b的3倍，即a△b＝4×a－3×b。
试计算：
（1）5△6；6△5。
2．a、b是自然数，规定a＊b＝a×5＋b÷3，求8＊9。
3．设a▼b＝8×a－18÷b，求7▼9＝？
4．规定a☆b＝（a＋3）×（b－5），求5☆（6☆7）的值。
5．设a▽b＝a×b＋a－b，试求5▽8。
6．如果规定a※b＝13×a－b÷8，那么17※24的最后结果是多少？
7．设a、b都表示数，规定：
a△b＝2×a＋b÷2。
求
（1）10△6；
（2）7△（4△8）。
8．规定AB＝B×B－A，计算（23）（45）。
9．如果规定a△b＝4×a＋3×b－1，那么5△7和7△5相等吗？
10．对于两个数x、y，x☉y表示y×A－x×2，并且已知82☉65＝31。
计算：
（1）29☉57；
（2）38☉（14☉23）。
11．如果3◇4＝3＋4＋5＋6＝18，6◇5＝6＋7＋8＋9＋10＝40。
计算2000◇6。
12．如果“＋、－、×、÷、（）”的意义与通常相同，而式子中的数字却不是原来的数字，试问下面的四个算式应该是我们通常的哪四个算式？
（1）8×7＝8；
（2）7×7×7＝6；（3）（7＋8＋3）×9＝39；（4）3×3＝3。
第二讲 图形问题
（一）
例1 有大、小两个正方形，它们的周长相差16厘米，面积相差80平方厘米，那么小正方形的面积是多少平方厘米？
解：
把小正方形重叠地放在大正方形的左上角如图，因为它们的边长相差16÷4＝4（厘米），所以图中正方形B的面积是4×4＝16（平方厘米），又因为阴影部分的面积是（80－16）÷2＝32（平方厘米），所以原来的小正方形（正方形A）的边长是32÷4＝8（厘米），面积是8×8＝64（平方厘米）。
A
B
例2 下面的整个图形是一个边长40厘米的正方形，求图中阴影部分的面积。
解法一：
图形的总面积是40×40＝1600（平方厘米）。
每个小空白正方形的对角线是20厘米，根据“正方形的面积等于对角线的平方除以2”，每个空白小正方形的面积是20×20÷2＝200（平方厘米），所以图中阴影部分的面积是1600－200×4＝800（平方厘米）。
解法二：
仔细观察发现，图中阴影部分的面积与空白部分的面积正好相等，所以，阴影部分的面积是40×40÷2＝800（平方厘米）。
例3 如图，阴影部分是一个长方形，它的四周是四个正方形，如果这四个正方形的周长的和是240厘米，面积的和是1000平方厘米，那么阴影部分的面积是多少平方厘米？
解：
图中两个小正方形相同，两个大正方形也相同，所以一个小正方形和一个大正方形的面积的和是1000÷2＝500（平方厘米）。
一个小正方形和一个大正方形的边长的和是240÷2÷4＝30（厘米）。
在原图的右上角补上一个同样的长方形，得到一个新的正方形如图
这个新正方形的面积是30×30＝900（平方厘米），所以一个长方形也就是原图的阴影部分的是（900－500）÷2＝200（平方厘米）。
例4 如图，矩形ABCD被分成六个正方形，其中最小的正方形的面积等于1，矩形ABCD的是多少？
A B
D C
解：
如果设右下角正方形的边长为a，那么，左下角正方形的边长就是a＋1，左上角正方形的边长就是a＋1＋1，右上角正方形的边长就是a＋1＋1＋1。
因为CD＝AB，所以a＋a＋（a＋1）＝（a＋1＋1）＋（a＋1＋1＋1），即3×a＋1＝2×a＋5，于是a＝4。
从而，CD＝a＋a＋（a＋1）＝13，AD＝（a＋1）＋（a＋1＋1）＝11。
因此，矩形ABCD的面积是13×11＝143。
练 习 二
1．已知甲是正方形，乙是长方形，图形的周长是多少厘米？
甲
3 乙
158
2．把所有周长为22，且4条边的长度都是整数的长方形的面积加起来，和是多少？
3．一个正方形，如果一组对边各增加10厘米，另一组对边各减少6厘米，那么，所得长方形的面积与原来正方形的面积相等。
原来正方形的面积是多少平方厘米？
4．下图中阴影部分A和阴影部分B的面积，哪个大？
A
B
5．一块长方形玻璃，长截去5分米，宽截去3分米，剩下的部分是正方形。
已知截去的面积是71平方分米，那么剩下的正方形的面积是多少平方分米？
6．四个大小相同的正方形拼成一个大正方形后，周长比原来的四个正方形周长的和少了40厘米，原来每个正方形的周长是多少厘米？
如果把这四个小正方形拼成的一个长方形，那么这个长方形的周长是多少？
7．如图，已知大、小两个正方形的边长之和是20厘米，并且大正方形比小正方形的面积大40平方厘米，大正方形的面积是多少平方厘米？
8．有一块如图所示的纸板，把它剪成三块后再拼成一个正方形，应该怎样剪拼，请画图表示。
2
2
3
9．如图，一个大长方形被分成了4个小长方形，图中数字是它们的面积，阴影部分的面积是多少？
19
57 45
10．将边长为a的正方形各边的中点连结成第二个正方形，再将第二个正方形各边的中点连结成第三个正方形，依此规律继续下去得到下图。
那么边长为a的正方形的面积是图中阴影部分面积的多少倍？
11．在一个正方形水池四周，环绕着一条宽2米的路，这条路的面积是120平方米，那么水池的面积是多少平方米？
12．如图所示，阴影部分是一个长3分米、宽2分米的长方形，我们需要用14边长1分米的正方形纸片才能将它围起来。
现在有一个面积为124平方分米，且长和宽都是整数分米的长方形，那么至少需要多少边长1分米的正方形纸片才能用同样的方法将其围起来？
第三讲 枚举与计数
例1 数列A：
1,2，3,4，5,6，7,8，9,10,11，……。
把这个数列中一位以上的数的数字全部隔开，得到新的数列：
1,2，3,4，5,6，7,8，9,1，0,1，1,1，2，……。
（1）数列A中的数100的个位数字0在数列B中是第几个数？
（2）数列B中的第100个数是数列A中的第几个数的哪一位上的数字？
这个数字是什么？
（3）到数列B中的第100个数为止，数字3共出现多少次？
解：
（1）数列A中，1到9共有9个数字；10到99共有180个数字；100有3个数字。
所以数列A中的100的个位数字0在数列B中是第9＋180＋3＝192个数。
（2）数字B中前9个数是数列A中的一位数1到9，100－9＝91，而91＝2×46－1，说明数列B中第100个数是数列A中第46个两位数的第一位数，这个数是9＋46＝55，它的第一位（十位）数字是5。
（3）数列A中，55以前的数含有数字3的依次是3,13,23,30,31,32，33,……，39,43,53，所以数字3共出现16次。
答：
（略）。
例2 个位数字大于十位数字的两位数共有多少个？
所有这些两位数的和是多少？
解：
当十位数字是1时，满足题意的两位数有8个；
当十位数字是2时，满足题意的两位数有7个；
……
当十位数字是8时，满足题意的两位数有1个；
共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36（个）。
这些两位数的十位数字的和是8×1＋7×2＋6×3＋5×4＋4×5＋3×6＋2×7＋1×8＝120，个位数字的和是9×8＋8×7＋7×6＋6×5＋5×4＋4×3＋3×2＋2×1＝240，所以这些两位数的和是10×120＋240＝1440。
答：
个位数字大于十位数字的两位数共有36个，所有这些两位数的和是1440。
例3 有10个小朋友围坐在一圈做游戏，从其中选出两个不相邻的小朋友，有多少种不同的选法？
解：
与某一小朋友不相邻的小朋友有7个，所以不相邻的小朋友有7×10＝70（对），每对小朋友都重复算了一次，所以共有70÷2＝35（种）选法。
答：
有35种不同的选法。
例4 在校级运动会上，运动员A、B、C分别获得100米短跑的第一、第二、第三。
在区级运动会上，他们也是100米短跑的前三名。
（1）如果在区级运动会上，他们当中有一人的排名与校级运动会的排名相同，那么排名情况有多少种可能？
（2）如果在区级运动会上，他们的排名都与校级运动会的排名不同，那么排名情况有多少种可能？
解：
（1）设A的排名不变，那么B排第三，C排第二，只有这1种情况。
同理B、C的排名不变，也各有1种情况。
因此，共有3种情况。
（2）如果排名情况都改变，A可能排第二或第三：
当A排第二时，B排第三，C排第一，有1种情况；当A排第三时，B排第一，C排第二，也有1种情况。
因此，排名均不同的可能性有2种。
答：
（略）。
练 习 三
1．三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积的差是114，那么这三个数中最小的是多少？
2．由数字卡片5、7、2、0、1各一能组成多少个不同的三位数？
把这些数按照从小到大的顺序排列，第14个数是多少？
3．一个三位数，三个数字各不相同且不为0，如果三个数字之和为10，这样的三位数有个？
4．一个两位数的十位数字比个位数字大5。
现将十位和个位上的数字对调，所得的两位数比原来小多少？
5．编排一本书的页码共用了870个阿拉伯数字，这本书一共有多少页？
6．新华小学学生的总人数是一个三位数，平均每班有36人。
统计员提供的学生总人数比实际总人数少180人。
原来在他记录时粗心地将三位数的百位和十位上的数字对调了。
学生的总人数最多是多少人？
最少是多少人。
7．一圈小朋友玩报数拍手游戏，从1开始顺序报数，规定：
报7的倍数时要拍一次手，报带7的数时要拍两次手，报既带7又是7的倍数时要拍三次手。
则报到100时共拍了多少次手？
8。
一只口袋里有5个小球，另一只口袋里有4个小球，所有这些小球的颜色各不相同。
（1）从两只口袋里任意取出一个小球，有多少种不同的情况？
（2）从两只口袋里分别取出一个小球，有多少种不同的情况？
9．某地区有50个县城，每个县城都有3条公路通向别的县城，这些县城之间共有多少条公路？
10．如图，从B逐步往下走到A，有多少条不同的路线？
B
A
11．如图，小丽从家到学校可以有多少种不同的走法？
小丽家
学校
12．小明的爸爸买了6电影票（如下图），想和小家一块去看电影。
但因临时有事不能和小同时出发，小明只好撕下3连在一起的票给小家送去。
那么有多少种不同的撕法？
第四讲 推理与判断
例1 小东、小兰、小英读书的学校分别是一中、二中、三中，他们各自爱好游泳、篮球、排球中的一项体育运动，但是谁爱好哪项运动，在哪个学校读书还不清楚。
只知道：
（1）小东不在一中；
（2）小兰不在二中；
（3）爱好排球的不在三中；
（4）爱好游泳的在一中；
（5）爱好游泳的不是小兰。
那么谁在一中？
谁在二中？
小兰爱好什么？
解：
由（4）爱好游泳的在一中，由
（1）这个人不是小东，由（5）这个人不是小兰，所以这个人是小英，即小英在一中。
同时得知，小兰也不在一中，小兰只能在三中，进而得知小东在二中。
由（3）爱好排球的在一中或二中，可是一中的小英已经爱好了游泳，所以爱好排球的是在二中的小东。
还剩下小兰就只能爱好篮球了。
例2 小华同学做了三道习题，小明、小丽、小刚看完后分别说：
“小华做对了第一题”，“小华第二题没有做对”，“小华第一题没有做对”。
老师看完三道题后发现：
小华只做对了一道题，而且小明、小丽、小刚三人中只有一人说对了。
请判断小华做对的是哪道题？
解：
假设小华做对了第一题，那么小明和小丽就都说对了，与题意不符；假设小华做对了第二题，那么小明和小丽就都说错了，只有小刚说对了，与题意相符；假如小华做对了第三题，那么小丽和小刚就都说对了，也与题意不符。
所以小华做对了第二题。
例3 标有A、B、C、D、E、F、G、H记号的8盏灯，顺次排成一行，每盏灯装有一个开关。
现在B、E、G开着，其余5盏灯关着，小明从灯A开始，循环逐个拉动8盏灯的开关，拉了2004次后，关着的灯是哪几盏？
解：
因为2004÷8商250余4，从A开始拉动开关250次后，由于250的双数，所以B、E、G仍然开着，其余5盏灯A、C、D、F、H都灭着。
而对前面的4盏灯A、B、C、D又各拉动一次以后，A、C、D变成开着的，B又灭了，所以最后关着的灯是B、F、H。
例4 购物单上某商品的单价是49.36元╱千克，总价是 7.28元，方框中的数看不清了。
则购买此商品的数量至少是多少千克？
解：
写成竖式进行推导。
先考虑个位数：
493.6 493.6
× …… 3×……8
1480839488
…………
……7.28……7.28
进一步考虑十位数：
493.6 493.6 493.6 493.6
×……23 ×……73 ×……48 ×……98
14808 14808 39488 39488
9872 34552 1974 44424
…… …… ……4837.28
……7.28 ……7.28 ……7.28
所以至少购买98千克。
练 习 四
1．甲、乙、丙、丁四人围坐在方桌的四边。
乙说：
我的对面是“南”；丙说：
我在乙的左边；丁说：
我的对面不是乙。
甲坐在哪边？
2．甲、乙、丙、丁、戊参加歌咏比赛，获得前五名。
他们的得分情况如下：
（1）丙比乙低，但比戊高；
（2）甲比丁高，但比戊低；（3）乙比戊高。
这次歌咏比赛的第一名是谁？
3．甲、乙、丙三人中一位是工人，一位是农民，一位是教师。
已知丙比教师的年龄大，甲与农民不同岁，农民比乙的年龄小。
那么谁是教师？
4．甲、乙、丙三人中只有一人会开汽车。
甲说：
“我会开。
”乙说：
“我不会开。
”丙说：
“甲不会开。
”三人的话只有一句是真话。
会开车的是谁？
5．△、○、□代表三个数，并且
○＋○＝△＋△＋△
△＋△＋△＝□＋□＋□＋□
○＋△＋□＋□＝800
那么△、□、○各代表多少？
6．下图中的“？
”应填多少？
23 13 ？
5 8 3 5 3 2545
7．1号、2号、3号、4号运动员取得了运动会800米赛跑的前四名。
赛后他们接受小记者的采访。
1号说：
“3号在我前面冲向终点。
”另一个得第三名的运动员说：
“1号不是第四名。
”小裁判员说：
“他们的与他们的名次都不相同。
”则第一名是几号？
第二名是几号？
第三名是几号？
8．将99棋子放在两种型号的盒子中，每个大盒子中装12粒，每个小盒子中装5粒。
已知盒子数大于10个，那么有多少个大盒子？
多少个小盒子？
9．会议室某排有15个座位，小宇去时部分座位已有人就座，他无论坐在何处都要与已坐的人相邻。
那么，在小宇就座之前，这一排至少已坐了多少人？
10．某次数字竞赛有20道题，初始分为60分。
规定：
答对一题给5分，不答扣1分，答错一题扣3分。
最后得分是奇数还是偶数？
11．“希”、“望”、“杯”、“赛”各代表不同的数字，请根据下面的算式判断这四个汉字分别代表的是哪个数字？
希 望
希 望 杯
＋ 希 望 杯 赛
2 0 0 5
12．下面是一个六位数乘一个一位数的算式，不同的汉字表示不同的数，相同的汉字表示相同的数，这个六位数是多少？
小学希望杯赛
× 赛
999999
第五讲 解决问题
（一）
例1 祖父与父亲的年龄之差是子年龄的6倍，而子与父亲的年龄之和比祖父的年龄小30岁，子今年多少岁？
解：
当用子与父亲的年龄之和与祖父相比时，祖父的年龄比这个和多出来的部分只有子的6－1＝5倍。
所以子今年30÷5＝6（岁）。
答：
子今年6岁。
例2 幼儿园分饼干，如果每人分3块，余14块；如果每人分4块，还有3个小朋友没分到。
一共有多少个小朋友？
有多少块饼干？
解：
改变分法后，从余15块到缺4×3＝12（块），一共要多分14＋12＝26（块），这是因为每人多分4－3＝1（块）的缘故，所以一共有26÷1＝26（个）小朋友，有3×26＋14＝92（块）饼干。
答：
一共有26个小朋友，92块饼干。
例3 运输公司为客户装运1600只瓷盘，每只运费1元，如果损坏一只，不但得不到运费，还要照价格的一半赔偿。
若运到目的地后运输公司损坏了5只瓷盘，并得到1540元。
则瓷盘价格为每只多少元？
解：
如果瓷盘没有损坏，运输公司将得到1×1600＝1600（元），实际少得了1600－1540＝60（元）。
损坏一只瓷盘运输公司少得60÷5＝12（元），其中有运费损失1元和瓷盘价格的一半，所以瓷盘的价格是（12－1）×2＝22（元）。
答：
每只瓷盘22元。
例4 怀特海是英国数理逻辑学家，曾执教于剑桥大学和哈佛大学。
下面是他给他的学生出的一道题：
A、B、C三人各有硬币若干枚。
A将自己的硬币分给B、C，使他们的硬币各增长了一倍；之后，B将自己的硬币分给A、C，使他们的硬币各增长了一倍；最后，C将自己的硬币分给A、B，使他们的硬币各增长了一倍。
这样，三人的硬币都是8枚。
请问他们原来各有硬币多少枚？
解：
用倒推法。
第三次调整后：
A有8枚，B有8枚，C有8枚；
第二次调整后：
A有8÷2＝4（枚），B有8÷2＝4（枚），C有8＋4＋4＝16（枚）；
第一次调整后：
A有4÷2＝2（枚），C有16÷2＝8（枚），B有4＋2＋8＝14（枚）；
原来：
B有14÷2＝7（枚），C有8÷2＝4（枚），A有2＋7＋4＝13（枚）。
答：
原来A有13枚、B有7枚、C有4枚。
练 习 五
1．有甲、乙两队少先队员去春游，甲队人数是乙人数的2倍。
从甲队调出10人到乙队后，甲队仍比乙队多5人。
甲队原来有多少人？
2．在第二届“希望杯”全国数学邀请赛中，有一位同学在第一试答了24道题，其中，答对的题数是答错的题数的2倍；第二试答了20道题，结果，两次一共答对的题数是答错的题数的3倍。
则这位同学在第二试答对了多少道题？
3．菜市场运来6筐萝卜，分别装着24千克、33千克、35千克、37千克、38千克、41千克的萝卜。
营业员小王承包了其中3筐，小承包了另外2筐。
已知小王承包的萝卜质量是小的2倍，剩下的没有被承包的萝卜有多少千克？
4．小光和小明，共有48枚纪念邮票和20枚特种邮票。
已知，小光的纪念邮票是小明的5倍，小明的特种邮票是小光的3倍。
小光的邮票比小明多多少？
5．幼儿园老师给几组小朋友分苹果，每组分7个，少3个；每组分6个，则多4个。
苹果有多少个？
小朋友共几组？
6．某校组织学生去春游，晚上住宿时，如果在预订的房间里每间住5个人，还有4个人无
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