初三数学第29章 几何的回顾小结与复习知识精讲华东师大版.docx

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初三数学第29章几何的回顾小结与复习知识精讲华东师大版

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【本讲教育信息】

一.教学内容：

第29章几何的回顾小结与复习

二.重点、难点：

⑴经历一些观察、操作活动，并对获得的数学猜想进行实验验证，体验合情推理的过程，并从数学的角度运用逻辑推理的知识和方法寻求证据、给出证明的过程.

⑵了解证明的基本步骤和书写格式，能从“同位角相等，两直线平行”、“两直线平行，同位角相等”等基本事实出发，证明一些简单图形的判定定理和性质定理以及推论，并能简单应用这些结论.

⑶会区分命题的条件和结论，通过实例，体会反证法的含义.

⑷掌握用综合法证明的格式，体会证明的过程要步步有据.

三.知识梳理：

㈠几何问题的处理方法

逻辑推理的方法是研究数学的一个重要的基本方法．逻辑推理需要依据，我们试图用最少的几条基本事实作为逻辑推理的最原始的依据，因此给出了如下的公理：

⑴一条直线截两条平行直线所得的同位角相等．

⑵两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行．

⑶如果两个三角形的两边及其夹角（或两角及其夹边，或三边）分别对应相等，那么这两个三角形全等．

⑷全等三角形的对应边、对应角分别相等．

㈡用推理的方法研究三角形

1.利用公理，可证得三角形内角和定理及由此推出的多边形内角和定理与三角形外角定理．

2.等腰三角形的识别：

（1）有两条边相等的三角形是等腰三角形；

（2）有两个角相等的三角形是等腰三角形．

等腰三角形的特征：

（1）等腰三角形的两个底角相等；

（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．

3.角平分线

性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

识别：

到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．

根据上述两条定理，我们很容易证明：

三角形三条角平分线交于一点．

4.线段的垂直平分线

性质：

线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等．

识别：

到一条线段的两个端点的距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．

根据上述两条定理，我们很容易证明：

三角形三边的垂直平分线交于一点．

㈢用推理的方法研究四边形

1.几种特殊四边形的特征

边

角

对角线

对称性

平行四边形

对边平行且相等

对角相等

互相平分

中心对称图形

矩形

对边平行且相等

四个角都是直角

互相平分且相等

既是中心对称图形又是轴对称图形

菱形

对边平行，四条边相等

对角相等

互相垂直平分且每一条对角线平分一组对角

正方形

对边平行，四条边相等

四个角都是直角

互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角

等腰梯形

两底平行，两腰相等

同一底上的两个内角相等

相等

轴对称图形

2.几种特殊四边形的常用识别方法

从边的角度

从角的角度

从对角线的角度

平行四边形

⑴两组对边平行

⑵两组对边相等

⑶一组对边平行且相等

两组对角相等

两条对角线互相平分

直接识别

间接识别

矩形

四个角是直角

⑴有一个角是直角的平行四边形；

⑵对角线相等的平行四边形

菱形

四条边相等

⑴一组邻边相等的平行四边形

⑵对角线垂直的平行四边形

正方形

⑴一组邻边相等的矩形

⑵有一个角是直角的菱形

等腰梯形

⑴同一底边上的两个角相等的梯形

⑵对角线相等的梯形

【典型例题】

例1.如图所示，在△ABC中，∠A=50°，

如图⑴△ABC的两条高BD、CE交于O点，求∠BOC的度数

如图⑵△ABC的两条角平分线BM、CN交于P，求∠BPC的度数

分析：

⑴题中，由高可知有直角，由直角三角形两锐角互余及三角形内角和定理可求得.⑵题中，由角平分线定义及三角内角和定理可求得∠BPC.

⑴⑵

解：

⑴方法一：

∵∠BDC=90°

∴∠1=90°－∠BCA同理∠2=90°－∠ABC

∵∠ABC+∠ACB=180°－50°=130°

∴∠BOC=180°－（∠1+∠2）

=180°－（90°－∠ABC+90°－∠ACB）

=180°－180°+∠ABC+∠ACB=130°

方法二：

∵BD，CD为△ABC的高

∴∠BDA=∠CEA=90°

∵∠A=50°

∴在四边形AEOD中∠DOE=360°－（90°+90°+50°）=130°

∴∠BOC=∠DOE=130°

⑵∵BM，CN分别为△ABC的角平分线

∴∠1=

∠ABC∠2=

∠ACB

∵∠A=50°

∴∠ABC+∠ACB=180°－50°=130°

∵∠BPC=180°－（∠1+∠2）

=180°－（

∠ABC+

∠ACB）

=180°－

（∠ABC+∠ACB）

=180°－

×30°

=115°

题后反思：

凡是求角度的题，一般都离不开三角形（多边形）内角和定理，设法利用这些去推出等式关系.题中因涉及到高线，别忘了两锐角互余，遇到角平分线要合理利用其倍分关系.

例2.如图所示，四边形ABCD中，∠A=90°，且AB2+AD2=BC2+CD2.

求证：

∠B与∠D互补.

分析：

欲证∠B与∠D互补，只证∠A与∠C互补即可，且知∠A=90°故只证∠C=90°，根据题设中条件，可利用勾股定理及逆定理证明之，故连结BD，构造直角三角形.

证明：

连结BD

∵∠A=90°∴AB2+AD2=BD2

又∵AB2+AD2=BC2+CD2.∴BD2=BC2+CD2∴∠C=90°

在四边形ABCD中，∠A+∠ABC+∠C+∠ADC=360°

∴∠ABC+∠ADC=360°－180°

即∠B与∠D互补

例3.如图所示，∠B=∠BCD=90°，AD交BC于E且ED=2AC.

求证：

∠CAD=2∠DAB.

分析：

由于AB∥CD，故欲证∠D=∠BAD，只需证出∠CAD=2∠D即可.联想构造出以∠D为底角的等腰三角形，且这个等腰三角形与顶角相邻的外角等于∠CAD，则问题就解决了.已知ED=2AC，而AC与ED没有直接联系，可在Rt△DCE中构造斜边DE上中的线.

证明：

取DE中点F连结CF

在Rt△DCE中DE=2CF=2DF又已知DE=2AC

所以AC=CFCF=DF

因为∠1=∠D∠2=∠CAD

所以∠2=∠1+∠D=2∠D

所以∠CAD=2∠D

因为∠B=∠BCD=90°

所以AB∥CD所以∠DAB=∠D

所以∠CAD=2∠DAB

题后反思：

本题还是体现了将分散条件集中：

在直角三角形中通过斜边中线构造出线段关系.

例4.已知：

如图所示，在ABC中，AB=AC，∠A=120°，AB边的垂直平分线交BC于D.

求证：

DC=2BD.

分析：

由于DC，BD在同一直线上，欲证DC=2BD，表面看似不易，但题中给出AB的中垂线，则可以利用中垂线的性质，去转移等量线段.故连结AD，这样BD=AD，证明DC=2AD即可，而DC，AD在同一三角形中，且已知∠A=120°可求∠B=∠C=30°.将这些问题转化成含30°角的直角三角形性质.

证明：

连结AD

因为D在AB垂直平分线上.

所以BD=AD

所以∠B=∠1

因为∠BAC=120°AB=AC

所以∠B=∠C=30°

所以∠DAC=90°

在Rt△DAC中∠C=30°则DC=2AD

所以DC=2BD

题后反思：

证明一条线段等于另一条线段的2倍，除了已经学的折平法和加倍法外，还可用含30°角的直角三角形的性质;三角形中位线，直角三角形斜边中线等方法，见到线段的垂直平分线，就想到利用它转移等量线段.

例5.已知：

如图所示，ABCD为菱形，通过它的对角线的交点O作AB，BC的垂线，与AB，BC，CD，AD分别相交于点E，F，G，H.求证：

四边形EFGH为矩形.

分析：

证明四边形EFGH为矩形有几个方法.而已知EFGH的对角线都通过AC，BD的交点O，并且各垂直于菱形的两组对边，所以考虑通过EFGH的对角线的关系证明EFGH为矩形.由于OE⊥AB，OH⊥AD，所以立即看出OE=OH.这样EFGH明显是矩形了.

证明：

如图所示，由于OA平分∠BAD，并且OE⊥AB，OH⊥AD，由角平分线的性质知道OE=OH.同理，OE=OF，OF=OG，OG=OH.

所以EFGH的对角线EG，FH互相平分并且相等，所以EFGH为矩形.

例6.已知：

如图所示，ABCD为矩形，CE⊥BD于点E，∠BAD的平分线与直线CE相交于点F，求证：

CA=CF.

分析一：

如图所示，由于CA，CF是△CAF的两边，因此要证明CA=CF，可试证∠CFA=∠CAF，由于CF⊥BD.因此作AG⊥BD于点G，则AG∥CF，从而∠CFA=∠FAG.于是问题转化为证明∠FAG=∠CAF.但已知AF是∠BAD的平分线，因此问题又转化为证明∠BAG=∠CAD.但证明这两个角相等不会有什么困难了.

证法一：

如图所示，作AG⊥BD于点G，∠BAG与∠ABD互余，∠CAD=∠ADB与∠ABD互余，所以∠CAD=∠BAG.

而AF平分∠BAD.

所以∠CAF=∠FAG.

由于AG∥CF，

所以∠CFA=∠FAG，

从而∠CFA=∠CAF.

所以CA=CF.

分析二：

证明∠CFA=∠CAF还可以考虑用计算的方法进行.设∠CAD=∠BDA=a，则∠ACE=90°－∠COD=90°－2a.

而∠CAF=∠DAF－∠CAD=45°－a.

所以∠CFA=45°－a.

从而∠CFA=∠CAF.

问题解决了.

证明：

（略）

例7.已知：

如图所示，在四边形ABCD中，AC=BD，∠BAC=∠ABD，求证：

四边形ABCD是等腰梯形.

分析：

在四边形ABCD中，AC=BD，因此只需证明DC∥AB，从C，D分别向AB上引垂线段CH，DK，只需证明CH=DK.即可利用全等三角形证明.

证明：

如图，从C，D分别向AB引垂线段CH，DK.在△ACH和△BDK中，AC=BD，∠HAC=∠KBD，∠CHA=∠DKB=90°，所以△ACH≌△BDK.从而CH=DK，并且CH∥DK，所以CDKH为矩形，从而DC∥AB，即ABCD为梯形.又对角线AC=BD，所以ABCD为等腰梯形.

例8.已知：

如图所示，四边形ABCD中，AD=BC，M，N分别为AB，CD的中点，AD的延长线、BC的延长线分别与直线MN相交于点P，Q.求证：

∠APM=∠BQM.

分析一：

如图（a），已知M为AB的中点，N为CD的中点，要求证∠APM=∠BQM，因此可考虑用三角形中位线定理.但AB，CD并不是同一三角形的边，连结线段AC，则AB、CD分别为△ACD和△ABC的边，而AC是这两个三角形的公共边，若取AC的中点S，连结线段SN，MS，则SN

AD，MS

BC.

这时∠SNM=∠APM，∠SMN=∠BQM，因此只需证明∠SNM=∠SMN.SM=SN.但因AD=BC，所以SM=SN.问题得到证明.

分析二：

如图（b）若将DN平移到AE，平移CN到BF，则得平行四边形ADNE和BCNF.于是∠ENM=∠APM，∠FNM=∠BQM，因此只需证明∠ENM=∠FNM.由于AE

DN，BF

CN，所以AE

BF.从而AB与EF互相平分于M.

在△NEF中，NE=AD=BC=NF，而NM为EF上的中线，所以∠ENM=∠FNM.问题得到证明.

例9.已知：

如图所示，在正方形ABCD中，∠PAB=∠PBA=15°.

求证：

△PCD是等边三角形.

证明：

因为∠PAB=∠PBA=15°

所以∠APB=180°－15°×2=150°

所以∠3+∠4+∠DPC=210°①

又∠1=90°－15°=∠2，AD=BC，AP=BP

所以△APD≌△BPC

所以PD=PC∠5=∠6

故欲证PD=PC=CD，只须证PD=CD.

假设PD≠CD，那么PD>CD或PD

当PD>CD=AD时，得∠1>∠3，∠6>∠DPC.

所以∠3+∠4<150°②

所以由①、②得∠DPC>60°

所以∠5+∠6+∠DPC>180°，与三角形内角和定理相矛盾.

当PD

∠5+∠6+∠DPC<180°，与三角形内角和定理相矛盾，故假设PD≠CD不成立.

所以PD=PC=CD.即△PCD是等边三角形.

由本例证明过程可以看出，利用反证法证题时，不一定开始就用反证法，有时先利用直接证法做些必要的准备，然后再运用反证法继续证明.

【模拟试题】（答题时间：

60分钟）

一、选择题：

1.如图1所示，AB∥CD，EG⊥AB，若∠1=58°，则∠E的度数等于（）

A.122°B.58°C.32°D.29°

（1）

（2）（3）（4）

2.如图2所示，DE∥BC，EF∥AB，图中与∠BFE互补的角共有（）

A.3个B.2个C.5个D.4个

3.在△ABC中，若∠A：

∠B：

∠C=1：

2：

3，则a：

b：

c=（）

A.1：

2：

3B.1：

2：

C.1：

：

2D.不能确定

4.等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则顶角的度数是（）

A.30°B.60°C.30°或150°D.不能确定

5.如图3所示，某同学把一块三角形的玻璃打碎成了三块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那最省事的办法是（）

A.带①去B.带②去C.带③去D.带①和②去

6.等腰三角形周长是32cm，一边长为10cm，则其他两边的长分别为（）

A.10cm，12cm;B.11cm，11cm;

C.11cm，11cm或10cm，12cmD.不能确定

7.若直角三角形斜边上的中线等于最短的直角边长，那么它的最小内角为（）

A.10°B.20°C.30°D.60°

8.如图4所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有（）

A.1对B.2对C.3对D.4对

9.矩形ABCD中，E在AD上，AE=ED，F在BC上，若EF把矩形ABCD的面积分为1：

2，则BF：

FC=（）（BF

A.1：

3B.1：

4C.1：

5D.2：

9

10.梯形的一腰长为10cm，这腰和底边所成的角为30°，中位线长12cm，则此梯形的面积为（）

A.30cm2B.40cm2C.50cm2D.60cm2

11.已知四边形ABCD中，AC⊥BD，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，则四边形EFGH是（）

A.菱形B.矩形C.正方形D.梯形

二、填空题：

12.如图所示，直线AB、CD被直线EF所截，若∠1=∠2，则∠AEF+∠CFE=____度.

13.若等腰三角形的两边长分别为3和4，则其周长为_________.

14.等腰三角形一个内角为80°，则其他两角是_________.

15.已知三角形的三个内角的度数比为2：

3：

4，则这个三角形三个内角的度数为________.

16.三角形两边的长分别为5和7，则最短边长的取值范围是_________.

17.三角形的一个外角是100°，则与它不相邻的两内角平分线夹角（钝角）是______度.

18.如果△ABC≌△A′B′C′，AB=24，

=180，那么△ABC中AB边上的高是____.

19.等腰三角形一腰上的中线分三角形的周长为6cm和15cm两部分，则它的腰长是________，底边长为________.

20.若平行四边形的周长是100cm，且一组邻边的差是30cm，则较短的边长是___cm;若平行四边形的周长为56cm，两条邻边的比是4：

3，则较长边是_____cm.

21.已知菱形的一条对角线的长为12cm，面积是30cm2，则这个菱形的另一条对角线的长为________cm.

22.命题“如果一个四边形的四条边都相等，那么这个四边形是菱形”的逆命题是_________________________________________________.

23.如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于O点，

：

＝1：

9，则

：

=___________.

24.等腰梯形的中位线长为8cm，腰长为6cm，则梯形的周长是________.

三、解答题：

25.已知一个多边形的内角和等于1080°，求这个多边形的边数.

26.如图所示，△ABD、△ACE都是等边三角形，求证：

CD=BE.

27.已知：

如图所示，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，EF经过点O并且分别和AB、CD相交于点E、F，G、H分别为OA、OC的中点.求证：

四边形EHFG是平行四边形.

28.已知：

如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC和BD相交于点E，且AC=AB，BD=BC，BA⊥AC于点A，求证：

CD=CE.

29.如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是AB上任意一点，且BD=CE，连结DE交BC于F.

求证：

FD=FE.

30.如图所示，以△ABC的三边为边，分别作三个等边三角形.

（1）求证四边形ADEF是平行四边形.

（2）△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是菱形?

是矩形?

（3）这样的□ADEF是否总是存在?

参考答案

http:

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一、选择题：

1.C2.D3.C4.C5.C6.C7.C8.C9.C10.D

11.B

二、填空题：

12.18013.10或1114.80°，20°或50°，50°15.40°，60°，80°

16.大于2且小于或等于517.13018.1519.10cm，1cm

20.10，1621.5

22.如果一个四边形是菱形，那么它的四条边都相等.23.1：

3

24.28cm

三、解答题：

25.解：

设这个多边形是n边形，由题意知，（n－2）×180°=1080°，

∴n=8，故该多边形的边数为8.

26.证明：

∵△ABD，△ACE都是等边三角形，

∴AC=AE，AD=AB，

∵∠EAC=∠DAB=60°，

∠EAC+∠BAC=∠DAB+∠BAC，

即∠EAB=∠CAD.

在△EAB和△CAD中，

AE=AC，∠EAB=∠CAD，AB=AD，

∴△EAB≌△CAD.

∴BE=CD.

27.证明：

如答图所示，

∵点O为□ABCD对角线AC，BD的交点，

∴OA=OC，OB=OD.

∵G，H分别为OA，OC的中点，

∴OG=

OA，OH=

OC，

∴OG=OH.

又∵AB∥CD，

∴∠1=∠2.

在△OEB和△OFD中，

∠1=∠2，OB=OD，∠3=∠4，

∴△OEB≌△OFD，

∴OE=OF.

∴四边形EHFG为平行四边形.

28.证明：

如答图所示，

作AN⊥BC于N，DM⊥BC于M，

∵AB=AC，∴AN为BC的中线，

又∵∠BAC=90°，

∴AN=

BC.

∵AN⊥BC，DM⊥BC，AD∥BC，

∴四边形ANMD为矩形.

∴AN=DM.∴DM=

BC.

∵BC=BD，∴DM=

BD.

又∵∠DMB=90°，

∴∠DBC=30°，

∴∠BDC=∠BCD=75°.

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ACB=45°.

∴∠DEC=∠DBC+∠ACB=30°+45°=75°.

∴∠EDC=∠DEC=75°，

∴CD=CE.

29.证明：

如答图所示，

过D作DH∥AC交BC于H，

则∠ACB=∠DHB，DH∥CE.

∵AB=AC，

∴∠B=∠ACB，

∴∠B=∠DHB，

∴DB=DH.

∵BD=CE，∴DH=CE.

∵DH∥CE，

∴△HDF∽△CEF.

∴

，

即FD=FE.

30.证明：

如答图所示，

（1）∵△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，

∴AB=BD=AD，∠ABD=∠EBC=∠BCE=∠ACF=60°，

BC=BE=CE，AC=AF=FC.

∵∠ABD=∠EBC=60°，

∴∠ABD－∠ABE=∠EBC－∠ABE.

∴∠DBE=∠ABC，

∴△DBE≌△ABC，

∴DE=AC.

∵AC=AF，∴DE=AF.

同理可得，△EFC≌△BAC，得EF=AB，

∴EF=AD，

∴四边形ADEF是平行四边形.

（2）解：

当AB=AC时，四边形ADEF是菱形，理由如下：

∵AB=AD，AF=AC，

又AB=AC，∴AD=AF.

又∵四边形ADEF为平行四边形，

∴□ADEF是菱形.

当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形.

理由如下：

∵∠BAD=∠CAF=60°，∠BAC=150°，∠BAD+∠CAF+∠BAC+∠DAF=360°，

∠DAF=90°.

又∵四边形ADEF是平行四边形，

∴四边形ADEF是矩形.

（3）当∠BAC=60°时，不存在这样的□ADEF.理由如下：

∵当∠BAC=60°时，

有∠DAF=60°+60°+60°=180°，

即D，A，F三点在同一直线上时，不存在这样的□ADEF.