431 公式法峄城古邵中学于芳通.docx
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431公式法峄城古邵中学于芳通
课时课题：
第四章第三节公式法第1课时
授课人：
峄城区古邵中学于芳通
课型：
新授课
授课时间：
2014年4月29日星期二第6节课
教学目标：
1．经历通过整式乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程，发展逆向思维和推理能力．
2．会用公式a2-b2=（a+b）（a-b）因式分解．教学重点与难点
重点：
经历通过整式乘法公式（a+b）（a-b）=a2-b2的逆向变形得出公式法因式分解的方法的过程．
难点：
公式a2-b2=（a+b）（a-b）中的a、b为多项式时的因式分解．
教法与学法指导：
教法：
引导发现，组织交流，探索归纳，当堂训练．
学法：
在教师指导下观察思考，自主学习，交流合作，归纳发现，探索新知．
课前准备：
多媒体课件．
教学过程：
一、创设情境，导入新课
师：
上课．
生（起立）：
老师好！
师：
同学们好！
自我介绍一下，我来自“江北水乡·运河古城”铁道游击队的故乡-----枣庄，今天非常荣幸来到美丽的泉城济南，来到“厚德博学，燕达天下”的燕山中学，能和同学们一起学习，我倍感开心．对于这么多老师和我的到来，热情好客的你们该如何表示呢？
（多媒体出示对应图片）
生：
鼓掌欢迎．
师：
谢谢同学们！
同学们，当今时代是网络时代，数字语言在生活中，在网络中应用已相当广泛．你知道在网络用语中“1314”表示什么意思吗？
生（齐答）：
“一生一世”．
师：
同学们的知识面真宽，令老师心生敬佩．今年是2014年，你知道“2014”在网络用语中表示什么意思吗？
生（一男生大声说）：
爱你一世！
师：
谢谢你（全体师生大笑）！
“2013”呢？
生（部分学生）：
爱你一生！
师：
请同学们大声的说一遍．
生（齐声）：
爱你一生！
师：
感谢同学们的厚爱，我很激动（全体师生再次大笑）．
师：
你能计算出“爱你一世”2-“爱你一生”2等于多少吗？
学生计算20142-20132，一名学生在黑板上板书过程．其余学生在练习本上完成．完成后教师引导学生分析运算的依据．
学生运算过程展示：
20142-20132=（2014+2013）（2014-2013）=4027．
师：
这位同学表现的非常棒！
你能说说你是如何运算的吗？
生：
运用平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2．（教师板书）
师：
是直接运用吗？
生：
我是逆过来运用．
师：
公式（a+b）（a-b）=a2-b2逆过来是什么形式？
生：
a2-b2=（a+b）（a-b）．（教师板书）
师：
整式乘法的平方差公式（a+b）（a-b）=a2-b2逆运用后变为a2-b2=（a+b）（a-b）的形式．此时公式的左边为多项式，右边为乘积的形式，这种变形我们称为什么？
生（齐答）：
因式分解．
师：
本节课让我们共同探索如何利用平方差公式进行因式分解．
【板书课题：
4.3公式法
（1）】
设计意图：
课间时间播放歌曲“超越梦想”放松学生的紧张的心情，为新课的学习做好心理准备；利用与学生相关的图片来拉近师生之间的距离；利用学生感兴趣的网络数字用语，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中再次感受学习数学的乐趣，同时也让学生进一步体会了整式的乘法与因式分解是两个互逆的过程，这也为新课的学习做好铺垫．
二、探究学习，感悟新知
师：
（多媒体出示）请同学们观察多项式x2-25，9x2-y2，完成以下探究问题，并与同伴交流．
1．两个多项式的共同特征：
多项式都只有项，项的符号，每项都可以写成的形式．
2．尝试将x2-25，9x2-y2写成两个因式的乘积：
x2-25=_____2-______2=（_______）（________）；
9x2-y2=______2-______2=（_______）（_______）．
依据是：
．
学生讨论交流，在导学案上完成后再展示说明，学生之间互相补充．
学生展示：
生1：
多项式共有两项，项的符号相反，每项都可以写成平方的形式．
生2：
x2-25=x2-52=（x+5）（x-5）．
生3：
9x2-y2=（3x）2-y2=（3x+y）（3x-y）．
生4：
依据是“平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）”．
师：
我们把公式a2-b2=（a+b）（a-b）称为因式分解的平方差公式，同时形象的表示为
“■2-△2=（■+△）（■-△）”．
师：
你能根据公式的特点判断出下列各式能用平方差公式因式分解吗？
若能，你能确定公式中的a和b是什么吗？
小试身手：
燃烧你的激情！
（多媒体出示）
1．下列各式能用平方差公式a2-b2=（a+b）（a-b）因式分解吗？
若能，你能确定公式中的a和b是什么吗？
（1）a2-42；
（2）9-m2n2；（3）x2-
y2．
学生展示：
生1：
能用平方差公式因式分解，公式中的a是a，b是4．
生2：
能用平方差公式因式分解，公式中的a是3，b是mn．
生3：
能用平方差公式因式分解，公式中的a是x，b是
y．
师：
很好，下列各式还能用平方差公式进行因式分解呢？
若不能，说明你的理由.
2．下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？
若不能，为什么？
（多媒体出示）
（1）4x2-y2；
（2）4x2+y2；（3）-4x2+y2；（4）-4x2-y2．
学生展示：
生1：
能用平方差公式因式分解，公式中的a是2x，b是y．
生2：
不能用平方差公式因式分解，因为两项同号．
生3：
能用平方差公式因式分解，公式中的a是y，b是2x．
生4：
不能用平方差公式因式分解，因为两项同号．
师：
以上同学回答的非常好！
通过以上你能说说一个多项式若能够运用平方差公式进行因式分解，它应满足什么条件吗？
生：
应满足“每项都可以写成平方的形式，两项的符号相反”．
师：
还有吗？
生：
多项式共有两项．
师：
这位同学总结的非常好，请给以掌声鼓励．
生：
鼓掌．
设计意图：
探究学习的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，对平方差公式从感性认识上升到理性认识．先从观察多项式入手，体验这些多项式所具有的平方差的特征，在这一过程中让学生再次感受因式分解与整式乘法的关系．再通过两道练习题让学生自己的归纳能找到因式分解中平方差公式的特征，加深对能够运用平方差公式因式分解的多项式特点的认识．
三、例题解析，应用新知
师：
以上同学表现的非常棒！
我们能够判断一个多项式能否使用平方差公式进行因式分解，你能顺利的利用平方差公式进行因式分解吗？
请同学们用10秒钟的时间观察例1中的两个多项式的特点，想一想如何进行因式分解．（多媒体出示例1）
例1把下列各式因式分解：
（1）25-16x2；
（2）9a2-
b2．
（给学生10秒钟时间观察例1两式的特点，再分别口述解题过程，教师板书.在学生口述过程中，教师可进行强化过程的问题提问）
解析：
本例是直接利用平方差公式因式分解，关键是让学生体会公式中的a、b在此例中分别是什么．
师生互动解析过程展示：
师：
这位同学你来说一说你的看法．
生：
25-16x2=（5+4x）（5-4x）．（师板书）
师：
你说的真好，你能告诉老师公式中的a、b在25-16x2中分别指什么吗？
生：
公式中的a是5，b是4x．
师：
因此25-16x2可以写成哪两个数或式的平方差的形式？
生：
可以写为5与4x的平方差，即52-（4x）2．
[师补充板书为：
解：
（1）25-16x2=52-（4x）2=（5+4x）（5-4x）]．
师：
你理解的真到位．来，这位同学，你说说第
（2）题如何因式分解？
生：
9a2-
b2=（3a）2-（
b）2=（3a+
b）（3a-
b）．（师板书）
师：
很好，同学们“没有规矩，不成方圆”，请对照大屏幕，进一步理解并规范如何使用平方差公式进行因式分解.
（多媒体出示，同时给学生半分钟时间反思体会）
师：
通过本例我们可以发现：
要想顺利的利用平方差公式进行因式分解，必须分清公式中的a和b.你能仿照例题独立的进行因式分解吗？
请同学们完成导学案中的巩固训练1．
巩固训练1：
挑战自我，相信你能行！
（多媒体出示）
把下列各式因式分解：
（1）a2b2－4m2；
（2）9m2–n2；（3）–16x2＋81y2．
（让三名学生主动到黑板板演，其他学生在练习本上完成．教师巡视，适时点拨．学生完成后及时点评，借助多媒体展示学生出现的问题进行矫正．）
学生解题过程展示：
生1：
a2b2－4m2=（ab+2m）（ab－2m）．
生2：
9m2–n2=（3m）2–n2=（3m+n）（3m–n）．
生3：
–16x2＋81y2=（9y+4x）（9y-4x）．
师：
请同学们观察这三位同学的做题情况，你有何看法？
有同学交流．
生：
我认为第2位同学做的比较规范，第1位同学与第3位同学应先写成平方差的形式．
师：
你能说一说多项式a2b2－4m2与–16x2＋81y2可以看成哪两个数或式的平方差的形式吗？
生：
多项式a2b2－4m2可以看成ab与2m的平方差，多项式–16x2＋81y2可以看成9y与4x的平方差．（教师补充板书完善解题过程）
师：
你说的真到位．还有什么看法吗？
生：
我与第3位同学的做法不一样．我是先提取负号，再运用平方差公式因式分解．（教师用多媒体展示学生的做法）
–16x2＋81y2=–（16x2–81y2）=–[（4x）2–（9y）2）]=–（4x+9y）（4x-9y）．
师：
你是怎么想的？
生：
上节课我们学习了当多项式的首项为负号时可以先提取负号，然后再分解．
设计意图：
例1的设计主要是直接利用平方差公式因式分解，让学生体会公式中的a，b在此例中分别是什么．通过巩固练习加深对知识的理解与应用．
师：
很好！
同学们，通过以上解题过程，我们发现公式中a、b可以是一个数，也可以是一个单项式，也就是说可以是一个单项式，那么当公式中的a、b是多项式时又如何因式分解呢？
比如我们把多项式9m2–n2中的m换成m+n，把n换成m–n，即变成9（m+n）2-（m-n）2．观察多项式9（m+n）2-（m-n）2，你能确定公式中的a、b吗？
生：
a是3（m+n），b是m-n．
师：
你能把多项式9（m+n）2-（m-n）2写成平方差的形式吗？
生：
[3（m+n）]2-（m-n）2．
师[板书3（m+n）2-（m-n）2后]：
我这样写可以吗？
生：
不可以，前面的项应是加中括号后再平方．
师：
很好，人你真细心！
你能类比9m2–n2因式分解的过程把多项式9（m+n）2-（m-n）2因式分解吗？
生：
可分解为[3（m+n）+（m-n）][3（m+n）-（m-n）]．（师板书并强调加中括号）
师：
接着呢？
生：
去括号为（3m+3n+m-n）（3m+3n-m+n）．（师板书）
师：
可以了吗？
生：
应合并同类项，即（4m+2n）（2m+4n）．（师板书）
师：
现在应可以了吧？
生：
还可以提取公因式为4（2m+n）（m+2n）．（师板书）
师：
请同学们结合大屏幕，再次体会此例的解题步骤，注意解题过程中的细节.
（多媒体出示例2及解题过程，同时给学生半分钟时间反思体会）
例2 把多项式9（m+n）2-（m-n）2因式分解.
解：
9（m+n）2-（m-n）2------------------------（写成两式平方差的形式）
=[3（m+n）]2-（m-n）2----------------------------（别忘了要加中括号）
=[3（m+n）+（m-n）][3（m+n）-（m-n）]----------（去括号）
=（3m+3n+m-n）（3m+3n-m+n）---------------（合并同类项）
=（4m+2n）（2m+4n）----------------------------（提公因式）
=4（2m+n）（m+2n）．
师：
通过此例，我们发现公式中a、b可以是多项式，请同学们仿照例2把导学案巩固训练2中的多项式因式分解．
（多媒体出示）巩固训练2：
加油，你是最棒的！
把下列各式因式分解.
（1）（m+n）2-n2；
（2）（2x+y）2-（x+2y）2．
两名同学板演，其余学生再练习本上完成．完成后，让学生进行评价．对于出现的问题及时强调，如：
别忘了加中括号；当括号前面是负号时去掉括号要变号．
设计意图：
进一步让学生理解平方差公式中的字母a，b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其他代数式，如一个单项式或一个多项式等．在这里，平方差公式中的字母都表示一个二项式．这个多项式是两个二项式的平方差，分解后的两个因式往往需要进行去括号、合并同类项等化简整理的过程．
师：
以上二项式都可以使用平方差公式因式分解，是否任何一个二项式都可以直接使用平方差公式分解呢？
请同学们观察多项式2x3-8x，你能将它进行因式分解吗？
生：
2x3-8x含有公因式2x2，因式分解时应先提公因式．
师：
这位同学观察的非常认真！
我们一起把这个多项式因式分解吧！
（学生口述，教师板书．完成后多媒体出示例3的解题过程）
例3把多项式2x3-8x因式分解．（多媒体出示）
解：
（2）2x3-8x=2x（x2-4）------------（提公因式）
=2x（x2-22）------------------------------（运用平方差公式）
=2x（x+2）（x-2）．
师：
你能说说本题的解题过程吗？
生：
先提公因式，再运用平方差公式分解．
师：
本题除了用到本节课的知识，还用到了上节课学到的知识．在以后因式分解时也可能会用到后面将要学到的知识，所以我们在因式分解时应该先观察多项式的特点，再确定使用什么方法因式分解．我们再试一个吧！
（多媒体出示巩固训练3）
巩固训练3：
加油，你是最棒的！
把多项式
因式分解.
处理方式：
一名学生板演，其余学生在练习本上完成．完成后，让学生对板演的同学进行评价，教师及时点评表扬．
设计意图：
主要是引导学生体会因式分解的基本步骤：
多项式中若含有公因式，就要先提出公因式；然后再进一步分解，直至不能再分解为止．
四、回顾反思，提炼升华
师：
同学们，竹子每生长一步，必做小结，所以它是世界上长的最快的植物，数学的学习也是如此.通过这节课的学习，你有哪些收获？
有何感想？
学会了哪些方法？
先想一想，再分享给大家．
学生畅谈自己的收获：
生1（女生）：
通过本节课的学习，我首先对公式法有了初步的理解和掌握，而且通过课堂上的训练，我已对公式法掌握的很熟练，对往后的学习有很好的铺垫．我还认识到一点：
知识间是融会贯通的，前面所学的提公因式法在本节课有很好的应用，所以前面所学的知识不要丢掉，在因式分解时一定要观察多项式的特点，再选用合适的方法．
（赢得现场所有教师的热烈掌声）
师：
这位同学不但在知识上有很大收获，而且在方法方面也有收获，是我们学习的榜样．
生2（男生）：
我也学会了融会贯通．
生3：
我学到了运平方差公式因式分解时，公式中的a、b如果是多项式分解时不要忘了加中括号．
生4：
在去括号时，如果括号前面是负号，去掉括号时里面各项要变号．
生5：
因式分解要分解彻底．
生1（女生补充）：
我认为在做因式分解时，先在大脑中有一个整体的概念，这样可以把复杂的问题简单化，对我们的做题是有帮助的．
（此生赢得现场所有教师的第二次热烈掌声）
设计意图：
课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．
五、达标检测，反馈提高
师：
通过本节课的学习，同学们的收获真多！
收获的质量如何呢？
请完成导学案中的达标检测题．（同时多媒体出示）
A组：
1．在多项式①－m4－n4，②a2＋b2，③－16x2＋y2，④9（a－b）2－4，⑤－4a2＋b2中，能用平方差公式分解因式的有．
2．将下列各多项式分解因式：
（1）a3－16a；
（2）9（x－y）2－4（x+y）2．
B组：
3．在边长为acm的正方形木板上开出边长为bcm的四个正方形小孔（如图所示），你能求出剩余部分的面积（用a、b表示）？
若a=14.5cm，b=2.75cm，则剩余部分的面积为多少？
学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．
设计意图：
学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．
六、布置作业，课堂延伸
必做题：
课本100页 习题4.4 第1题（5）（7） 第2题
（2）（4）．
选做题：
1．课本101页，习题4.4第3题．
2．在日常生活中如取款、上网等都需要密码，有一种用“因式分解”法产生的密码，方便记忆．原理是：
如对于多项式x4－y4，因式分解的结果是（x－y）（x＋y）（x2＋y2），若取x＝9，y＝9时，则各个因式的值是：
（x－y）＝0，（x＋y）＝18，（x2＋y2）＝162，于是就可以把“018162”作为一个六位数的密码，对于多项式4x3－xy2，取x＝10，y＝10时，用上述方法产生的密码是：
（写出一个即可）.
结束语：
师：
同学们，本节课的学习你们给我留下了深刻的印象，同时也给了我太多的感动与惊喜，谢谢你们！
就让我把这份感动与惊喜埋在心底“一生一世”，相信你们的明天会更美好！
祝愿同学们：
象雄鹰一样飞的更高，飞的更远！
（多媒体播放歌曲“飞的更高”结束本课）
板书设计：
4.3公式法
（1）
a2-b2=（a+b）（a-b）
20142-20132=
例1
例2
解：
例3
解：
投
影
区
学生活动区
教学反思：
本节课是参加在济南燕山中学举行的山东省初中数学优质课展评活动所上的一节课．
公式法因式分解的关键是要正确把握公式的特征．对于初学者来说，如何根据一个多项式的形式和特点灵活的运用公式，往往并不容易．为此本课的整体设计先从观察多项式“x2-25”、“9x2-y2”入手，体验这些多项式所具有的平方差的特征，再对比乘法公式，得到因式分解的平方差公式．在这一过程中让学生再次感受因式分解与整式乘法的关系．这是对平方差公式的再认识，让学生进一步感受整式的乘法与因式分解是互为逆变形的关系．
本课的引入环节从学生感兴趣的网络数字用语，贴近学生的生活，培养学生的学习兴趣，激发学生的求知欲，让学生在不知不觉中再次感受学习数学的乐趣，同时也让学生再次体会了整式的乘法与因式分解是两个互逆变形的过程，这也为新课的学习做好了铺垫．
例题的选择与设计遵循了层层递进的原则．从简单到复杂的学习运用平方差公式进行因式分解的方法．符合学生的认知规律，便于学生理解与深化认知．
在教学时我根据新课改的理念，注重启发诱导与小组合作，同进还注意利用设计练习题，以期达到调动学生学习的积极性，使学生的思维更加活跃．
存在问题：
1．本课在教学时由于考虑到时间，没有充分的发挥学生的主体作用，也没有让学生充分的表达出自己的想法．
2．过于重视学生对基本知识、基本技能的掌握，从而忽略利用平方差公式因式分解与实际生活应用的结合．
3．在教学时及时准确的引导对比、及时总结做地还不够到位，从而也影响了课堂精彩的生成．
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