五年级春季班奥数教材.docx
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五年级春季班奥数教材
Preparedon21November2021
五年级春季班奥数教材
主编：
陈治荣
主审：
罗文亚
学习宣言：
自信、阳光、快乐，是学好的基础！
一、行程问题…………………………………
二、火车行程问题……………………………
三、算式谜……………………………………
四、包含与排除………………………………
五、估值问题…………………………………
六、简单列举…………………………………
七、最大最小问题……………………………
八、置换问题…………………………………
九、推理问题…………………………………
十、杂题…………………………………
学习提示：
提升自我和挑战难关属于较难题目
一、行程问题
知识要点：
1、追及问题一般是指___________________________________。
2、追及问题的基本数量关系是___________________________。
3、解答“追及问题”，一定要懂得运动快的物体之所以能追上运动慢的物体，是因为__________________________________。
4、行程问题大致分为以下三种情况：
（1）、相向而行
（2）、相背而行
（3）、同向而行
例题精讲：
例1、中巴车每小时行60千米，小轿车每小时行84千米，两车同时从相距60千米的两地同方向开出，且中巴车在前。
求几小时后小轿车追上中巴车？
例2、甲、乙、丙三人都从A地到B地，早晨六点钟，甲、乙两人一起从A地出发，甲每小时走5千米，乙每小时走4千米。
丙上午八时才从A地出发，傍晚六点，甲和丙同时到达B地，问丙什么时候追上乙的？
例3、客、货两车同时从甲、乙两站相对开出，客车每小时行54千米，货车每小时行48千米，两车相遇后又以原速前进。
到达对方站后立即返回，两车再次相遇时客车比货车多行21.6千米。
甲、乙两站间的路程是多少千米？
例4、两地相距460千米，甲列车开出2小时后，乙列车与甲列车相向开出，经过4小时与甲列车相遇。
已知列车每小时比乙列车多行10千米。
求甲列车每小时行多少千米？
例5、一辆汽车从甲地开往乙地，平均每小时行20千米。
到乙地后又以每小时30千米的速度返回甲地，往返一次共用7.5小时。
求甲、乙两地间的路程。
（列方程解答）
例6、快、慢两车同时从A地到B地，快车每小时行54千米，慢车每小时行48千米。
途中快车因故停留3小时。
结果两车同时到达B地。
求A、B两地间的距离。
（列方程解答）
轻松练习：
1、兄弟二人从100米跑道的起点和终点同时出发，沿同一方向跑步，弟弟在前，每分跑120米；哥哥在后，每分跑1401米。
几分钟后哥哥追上弟弟？
2、客车、货车、小轿车都从A地到B地，货车和客车一起从A地出发，货车每小时行50千米，客车每小时行60千米，2小时后，小轿车才从A地出发，12小时后，小轿车追上了客车，问小轿车在出发后几小时追上了货车？
3、快、慢两车同时从甲、乙两地相对开出并往返行驶。
快车每小时行80千米，慢车每小时行45千米。
两车第二次相遇时，快车比慢车多行了210千米。
求甲、乙两地之间的路程。
4、师、徒二人合做264个零件，徒弟先做4小时后又和师傅合做了8小时才完成了任务。
已知徒弟每小时比师傅少做3个，师傅每小时做多少个零件？
5、一架飞机所带的燃料最多可用9小时，飞机去时顺风，每小时可飞1500千米，返回时逆风，每小时可飞1200千米。
这架飞机最多飞出多少千米就要往回飞（列方程解答）
6、甲每分钟行120千米，乙每分钟行80千米，二人同时从A店出发去B店，当乙到达B店时，甲已在B店停留了2分钟，A店到B店的路程是多少米？
提升自我：
1、在一个400米的环形跑道上兄弟两人同时从同一地点、同方向出发，哥哥10分钟后从弟弟的身后追上弟弟，如果两人同时从同一地点反向而行，只要4分钟两人就相遇，求兄弟两人的速度。
2、A、B两地相距1800米，甲、乙二人从A地出发，丙同时从B地出发与甲、乙两人相向而行。
已知甲、乙、丙三人的速度分别是每分钟60米、80米、100米，当乙和丙相遇时，甲落后于乙多少米？
二、火车行程问题
知识要点：
1、有关火车过桥、火车穿隧道、两列火车车头相遇到车尾相离等问题，也是一种行程问题。
在考虑速度、时间和路程三种数量关系时，必须考虑到火车本身的长度。
2、解答火车行程问题可记住以下几点：
（1）、火车过桥（或隧道）所用的时间=（桥或隧道长+火车车身长）÷火车的速度；
（2）、两列火车相向而行，从相遇到相离所用的时间=两火车车身长度和÷两车速度和；
（3）、两车同向而行，快车从追上到超过慢车所用的时间=两车车身长度和÷两车速度差。
例题精讲：
例1、甲火车长210米，每秒行18米，乙火车长140米，每秒行13米。
乙火车在前，两火车在双规车道上行驶。
求甲火车从后面上到完全超过乙火车要用多少秒？
例2、一列火车长180米，每秒钟行25米。
全车通过一条120米的山洞，需要多少时间？
例3、一列过车穿过长2400米的隧道需1.7分钟，以同样的速度通过一座长1050米的大桥需48秒，这列火车长多少米？
例4、一列火车通过2400米的大桥需要3分钟，用同样的速度从路边的一根电线杆旁边通过，只用了1分钟。
求这列火车的速度。
例5、甲列车每秒行20米，乙列车每秒行14米，若两列车齐头并进，则甲车行40秒超过乙车，若两列车齐尾并进，则甲车行30秒超过乙，求甲列车和乙列车各长多少米？
轻松练习：
1、一列快车长150米，每秒行22米，一列慢车长100米，每秒行14米。
快车从后面追上慢车到超过慢车，共需要几秒钟？
2、一座大桥长2100米。
一列火车以每分钟800米的速度通过这座大桥，、从车头上桥到车尾离开共用3.1分钟，这列火车长多少米？
3、有两列火车，一列长360米，每秒行18米，另一列长216米，每秒行30米。
现两列车相向而行，从相遇到相离一共需要几秒钟？
4、一列火车长900米，从路边的一颗大树旁通过了1.5分钟，以同样的速度通过一座大桥用了3.5分钟。
求这座大桥的长度。
5、快车每秒行18米，慢车每秒行10米。
两列火车同时同方向齐头并进，行10秒钟后快车超过慢车；如果两列火车齐尾并进，则7秒钟后快车超过慢车。
求两列火车的车长。
6、王叔叔沿铁路边散步，他每分钟走50米，迎面驶来一列长280米的列车，他与列车车头相遇到与车尾相离共用了半分钟，求这列火车的速度。
提升自我：
1、一列快车长200米，每分钟行驶20米；一列慢车长160米，每分钟行驶15米。
若两列车齐头并进，则快车超过慢车要多少时间若两车齐尾并进，则快车超过慢车要多少时间
2、
3、老李沿着铁路散步，他每分钟走60米，迎面过来一列长300米的火车，他与火车头相遇与车尾相离共用了20秒，求火车的速度。
三、算式谜
知识要点：
1、算式谜一般是指_____________________________________的算式。
解决这类问题，可以根据四则运算的规定、四则运算算式或其中的数量管制以及数的组成，逐步确定算式中的未知数和运算符号。
2、解答算式谜的关键是找准突破口，推理时应注意：
（1）、认真分析算式中所包含的数量关系，找出尽可能多的隐蔽条件，选择有特征的部分作出局部判断；
（2）、采用列举和筛选相结合的方法，逐步排除不合题意的数字；
（3）、算式谜解出后，务必要验算一遍。
例题精讲：
例1、有一个六位数，它的个位数字是6，如果将6移至第一位前面，所得的新六位数是原数的4倍。
求原六位数。
例2、下面竖式中每个小方格都代表一个数字，请把这个算是写完整。
285
×□□
_______________
1□2□
□□□
_______________
□9□□
例3、右下图的五个方格中已经填入84和72两个两位数，请你在其余的三格中也分别填入一个两位数，使得横行的三个数与竖行的三个数之和相等，并且这五个两位数正好由0—9十个数字组成。
例4、把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数字填入下面的括号里，使三个等式都成立。
（）＋（）=（）
（）－（）=（）
（）×（）=（）
例5、把2,3,4,5,7,9这六个数字分别填在六个（）里，使乘积最大，应该怎样填？
（）（）（）×（）（）（）
轻松练习：
1、下面竖式中每个汉字表示一个数字，不同的汉字表示不同的数字，清说出各个汉字分别表示什么数字？
2华罗庚金杯
×3
____________________
华罗庚金杯2
2、在算式的（）里填上合适的数字。
（）2（）（）
×（）6
___________________________________
（）（）04
（）（）70
____________________________________
（）（）（）（）（）
3、将1—9九个数字填入下列的○中，使等式成立，可重复使用。
○○○×○○=○○×○○=5568
4、将0,1,2,3,4,5,6填到下列可填一位或两位数的算式中，使等式成立。
○×○=○=○÷○
5、用9,8，2,1四个数字组成两个两位数，并且使它们的积最大。
（）（）×（）（）
提升自我：
1、下面算式中每个字母代表一个数字，请确定abcxyz这个六位数是几？
7×abcxyz=6×xyzabc
四、包含与排除
知识要点：
1、集合是指________________________________________，它是数学中的最基本的概念之一。
2、_____________________称为这个集合的元素，
3、两个集合中可以做加法运算，把两个集合A、B合并在一起，就组成了一个新的集合C。
4、计算集合C的元素的个数的思考方法主要是____________：
先把A、B一切元素都________进来加在一起，再_______________A、B两集合的公共元素的个数，即_______________。
例题精讲：
例1、五年级96名学生都订了刊物，有64人订了《少年报》,有48人订了《小学生报》，问两种刊物都订的有多少人？
例2、某地区的外语教师中，每人至少懂得英语和日语中的一种语言。
已知有35人懂英语，34人懂日语，两种语言都懂的有21人，这个地区有多少个外语教师？
例3、在100个外语教师中，懂英语的有75人，懂日语的有45人，其中必然有懂英语又懂日语的老师，问只懂英语的老师有多少人？
例4、学校开展课外活动，共有250人参加。
其中参加象棋组和乒乓球组的同学不同时活动，参加象棋组的有83人，参加乒乓球组的有86人，这两个小组都参加的有25人。
问这250名同学中，象棋组、乒乓球组都不参加的有多少人
例5、实验小学各年级都参加的一次书法比赛中，四年级与五年级共有20人获奖，在获奖者中有16人不是四年级的，有12人不是五年级的。
该校书法比赛获奖的总人数是多少人？
轻松练习：
1、一个班有学生52人，参加体育代表队的有40人，参加文艺代表队的有33人，并且每个人都至少参加一个队。
这个班两队都参加的有多少人？
2、一个少儿俱乐部有92人，其中会下象棋的有70人，会下国际象棋的有42人，并且每个人至少会下一种棋，两种棋都会下的有多少人？
3、某校的每个学生至少爱好体育和文娱中的一种活动，已知有900人爱好体育活动，有850人爱好文娱活动，其中260人两种活动都爱好。
这个学校共有学上多少人？
4、某班在一次测验中有26人语文获优，有30人数学获优，其中语、数双优的有12人，另外还有8人语、数均未获优，这个班共有多少个学生？
5、40人都在做加试的两道题，并且至少做对了其中的一颗，已知做对第一题的有30人，做对第二题的有21人，问只做队第一题的有多少人？
6、五年级122名同学参加语文、数学考试，每人至少有一门得优，已知语文65人得优，数学78人得优，求只有语文一门得优的人数。
7、在100位旅客中，有70人懂英语，65人懂日语，既懂英语又懂日语的有45人，那么，既不懂英语又不懂日语的有多少人？
8、老师在统计考试成绩，数学得90分以上的有25人，语文得90分以上的有21人，两科中有一科在90分以上的有38人，问两样都得90分以上的有多少人？
提升自我：
1、五
（1）班有56名同学，只会打乒乓球的28人，会打乒乓球又会打羽毛球的有16人，仅会打羽毛球的有多少人？
五、估值问题
知识要点：
1、估算就是___________________，不仅现在，就是今后科学技术相当发达了，这类计算仍然十分必要。
如果我们的计算结果与粗略估计大相径庭，就说明我们的计算过程必然有错。
2、估算采用的方法是：
（1）、省略尾数取近似值；
（2）、用放大或缩小的方法来确定某个数或整个算式的取值范围进行估算。
例题精讲：
例1、÷
例2、×○×○里填“＞”“＜”或“＝”。
例3、不计算出结果，仔细想一想，尽快选择“＞”“＜”或“＝”符号填在（）里。
（1）、0.1÷0.01×0.001÷0.0001（）10×1
（2）、38.45÷0.93（）38.45×0.93
（3）、18.74×5.6（）187.4×56÷100
（4）、93.86×58.4+3（）93.86×（58.4+3）
例4、在六位数“1995□□”的方框里填上适当的数字，使它能同时被7,8，9整除。
例5、从装有写着1,2,3,4,5,6,7,8,9的9张卡片中，一次取出6张，计算它们的和，最多有多少种不同的和？
轻松练习：
÷
××
3、下列算式中，商最小的是（）。
÷0.05B.1025÷5
C.1025÷÷0.5
4、在□里填“＞”“＜”或“＝”。
（1）α+0.1=b-1,α□b
（2）α-0.1=b+1,α□b
（3）α×0.1=b÷10,α□b
（4）α÷0.1=b×10,α□b
5、有一个六位数，它的前四位恰好是“1398”，并且知道这个六位数既是11的倍数，又是13的倍数。
这个六位数的末尾两位是多少？
6、李明有1元的车票4张，2元的车票2张，5元的车票1张，10元的车票2张。
如果从中去1至9张，那么他取出的总车票钱数可以有多少种不同的金额？
提升自我：
1、有100朵花，按2红，3黄，4白的顺序排列，问：
（1）最后一朵花是什么颜色的
（2）红、黄、白花各有几朵
2、
2、被5除或被6除，余数都是1.符合条件的最小和最大的四位数各是多少？
六、简单列举
知识要点：
1_______________________________________________________________叫做列举法。
2、用列举法解题时需要掌握以下三点：
（1）、列举时应注意有条理地列举，不能杂乱无章地罗列；
（2）、根据题意，按范围和各种情况分类考虑，做到既不重复又不遗漏；
（3）、排除不符合条件的情况，不断缩小列举的范围。
例题精讲：
例1、有1张5元、4张2元和8张1元的汽车票，从中取出9元的汽车票，共有多少种不同的取法？
例2、有1,2,3,4四张数字卡片，每次取3张组成一个三位数，可以组成多少个奇数？
例3、明明过生日，买回一个大蛋糕，爸爸问：
“竖直切两刀最多能切几块竖直切三刀最多能切几块竖直切10刀呢”
例4、甲、乙、丙三个自然数的和是100，甲数除以乙数，或丙数除以甲数，得数都是“商5余1”。
问甲数是多少？
例5、
例6、从1到400的自然数中，数字“2”出现了多少次？
例7、
轻松练习：
1、有足够的2角、5角两种邮票，要拿出5元钱的邮票，有多少种不同的拿法？
2、用3,4,5,6四张数字卡片，每次取两张组成两位数，可以组成多少个偶数？
3、在一个圆形纸片上画三条横着的平行线和三条竖着的平行线，最多把此圆分成多少块？
4、甲、乙、丙三个数的和是57，甲数是乙数的3倍多1，乙数又是丙数的3倍多1，求丙数。
5、从1到100的自然数中，完全不含数字“1”的数共有多少个？
6、
提升自我
1、a、b、c三个互不相等的自然数，且a+b+c=30,那么a、b、c的积最大是多少最小是多少
2、
3、从1到10000的自然数中，共有多少个数字“9”
4、
七、最大最小问题
知识要点：
1、最大最小问题是指______________________________。
2、解答最大最小问题常用的方法：
（1）、枚举比较法。
当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形——举出再比较；
（2）、着眼于极端情形，即充分运用已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。
例题精讲：
例1、把1,2,3，,16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内的数的和相等。
问这个和的最大值是多少？
例2、有8个西瓜，它们分别重2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。
把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么最重的一堆应是多少千克？
例3、一次数学考试，满分是100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？
例4、一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高粱、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。
现由两个小组承包这个工作，工时如下表（一种庄稼不收割好、捆好，不准运输），这两组从开工到完工最少要经过多少小时？
工时作物
工作
大豆
谷子
高粱
小米
收割好、捆好
7
3
5
5
运完
5
6
1
9
例5、某国的货币只有1元、3元、5元、7元和9元五种，为了直接付清1元、2元、3元……98元、99元、100元各种物品的整数元，至少要准备几张什么样的货币？
例6、
轻松练习：
1、将5,6,7,8,9,10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？
2、一次只能一把钥匙开一把锁。
现有9把钥匙和9把锁，但是不知道哪把钥匙开哪把锁。
最多要试开多少次才能配好全部的钥匙和锁？
3、一次考试，满分是100分，5位同学的平均分是90分，且各人得分是不相同的整数，已知得分最少的人得了75分。
那么，第三名同学至少得了多少分？
4、三位老师为7位不同的扮演者化妆，这7位同学化妆需要的时间分别是8分钟、12分钟、14分钟、17分钟、18分钟、23分钟、30分钟。
如果三位老师化妆速度相同，问最少要经过多少时间完成化妆任务？
5、用某个国家钱币中的1元、2元、5元、10元、20元、50元、100元若干张，支付1元、2元、3元……999元、1000元的整数元，至少要准备几张什么样的货币？
6、
提升自我：
1、一个三位数除以39，商是a，余数是b（a、b都是整数）。
求a—b的最大值。
2、某大街两侧有三家大商店，从甲店经过乙店到丙店要走3000米，从乙店经过丙店到甲店要走3500米，从丙店经过甲店到乙店要走2500米。
哪两家的店距离最近相距多远
3、
八、置换问题
知识要点：
1、置换问题主要是研究_________________________________。
“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题。
2、解答置换问题的方法：
_________________________。
3、解答置换问题应注意下面两点：
（1）、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法；
（2）、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法。
例题精讲：
例1、20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克的梨的价钱相等，求苹果和梨的单价。
例2、中华学校买来史地书、科技书、文艺书共456本。
其中科技书是史地书的1.2倍，文艺书比科技书多31本。
三种数各买了多少本？
例3、一段上好绸布可做24件同样的上衣和12条同样的裙子，或者做18件同样的上衣和20条同样的裙子。
那么，全做上衣能做多少件？
例4、一件工作甲做5小时以后由乙来做，3小时可以完成；乙做9小时以后由甲来做，也是3小时可以完成。
那么甲做1小时以后由乙来做几小时可以完成
例5、5辆玩具汽车与3架玩具飞机的价钱相等，每架玩具飞机比每辆玩具汽车贵8元。
这两种玩具的单价各是多少元？
轻松练习;
1、6只鸡和8只小羊共重78千克，已知5只鸡与2只小羊一样重，每只鸡和每只小羊各重多少千克
2、某站远来西红柿和黄瓜公众1660千克，已知运来的西红柿比黄瓜的3倍少60千克，某站运来的西红柿和黄瓜各多少千克？
3、小明去买同一种笔和同一种橡皮，所带的钱能买8支笔和4块橡皮，或买6支笔和12块橡皮。
结果他用这些钱全部买了笔，请问他能买几支？
4、两支钢笔的价钱和三支圆珠笔的价钱相等，一支圆珠笔比一支钢笔便宜6元钱，两种笔的单价各是多少？
5、2份点心和1杯饮料共26元；1份点心和3杯饮料共18元。
1份点心和1杯饮料各需多少元？
提升自我：
1、一个大笼子能容纳18只鹅和9只鸡或容纳14只鹅和15只鸡（假使鸡、鹅大小一样），如果用这只笼子来装鹅，一共可以装多少只？
2、3筐梨的价钱和2筐苹果的价钱相等，一筐苹果比一筐梨贵12元。
苹果、梨一筐各多少元？
9、推理问题
知识要点
1、_______________________________________________称为推理问题。
例题精讲
例1、有8个球编号是①至⑧，其中有6个球一样重，另外两个球都轻1克。
为了找出这两个轻球，用天平称了3次。
结果如下：
第一次①+②比③+④重；第二次⑤+⑥比⑦+⑧轻；第三次①+③+⑤与②+④+⑧一样重。
那么，两个轻球分别是几号？
例2、五（3）班有52人，从甲、乙、丙、丁、戊五位候选人中选出班长，投票结果，甲得票最多28票，乙得票数排第二，丙、丁得票数相同，戊得票最少，只有5票。
乙得票多少张？
例3、沈、刘、周三位老师分别担任语文、数学、外语教师，已知每人只教一门课，另外还知道下面一些情况：
A沈老师上课全部用汉语。
B外语老师是一个学生的哥哥。
C周老师是女的，她向数学老师问了一个问题。
现求三位老师分别教哪门课程？
例4、有红、黄、蓝、白、绿五种颜色的玻璃弹子各一粒，用纸包裹着排成一排，并分别编上号码。
有五个小朋友来猜，A说：
第2包是绿弹子，第3包是黄弹子；B说：
第2包是蓝弹子，第5包是红弹子；C说：
第1包是红弹子，第4包是白弹子；D说：
第3包是蓝弹子，第5包是白弹子；E说：
第2包是黄弹子，第4包是绿弹子。
结果拆开一看，每人都恰好只猜对了一半，并且每包只有一个人猜对。
你知道各包分别包着什么颜色的弹子吗？
例5、甲、乙、丙、丁四人在争论今天是星期几。
甲说：
明天是星期五；乙说：
昨天是星期日；丙说：
你俩说的都不对；丁说：
今天不是星期六。
实际上这四个人只有一个人说对了，那么请问今天是星期几？
轻松练习
1、小王、小张、小李三人在一起，其中一位是工人、一位是战士、一位是大学生。
现知道：
小李比战士年龄大，小王和大学生不同岁，大学生比小张年龄小。
他们三人中谁是工人谁是战士谁是大学生
2、五人参加乒乓球比赛，每两人都要赛一场，胜者得2分，负者得0分。
比赛结果公布时发现第一名和第四名都是两人并列。
问第三名得多少分？
3、甲、乙、丙三人分别是跳伞、田径和游泳运动员。
又知：
A.乙从未上过天；B、跳伞运动员已得过两块金牌；C、丙还没得过第一名，他比田径运动员的年龄小一点，请判断甲、乙、丙各是什么运动员？
4、小英、小明和小亮一次
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