75第2课时 三角形的外角2 省级一等奖教案含反思.docx

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75第2课时三角形的外角2省级一等奖教案含反思

7.5三角形内角和定理

第2课时三角形的外角

第一环节：

情境引入

活动内容：

在证明三角形内角和定理时，用到了把△ABC的一边BC延长得到∠ACD，这个角叫做什么角呢？

下面我们就给这种角命名，并且来研究它的性质．

活动目的：

引出三角形外角的概念，并对其进行研究，激发学生学习兴趣。

注意事项：

教师应在学生充分展示自己的意见之后，有意识地引导学生从三角形的外角的角度进行思

考。

第二环节：

探索新知

活动内容：

①三角形的外角定义：

三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形

的外角，结合图形指明外角的特征有三：

（1）顶点在三角形的一个顶点上．

（2）一条边是三角形的一边．

（3）另一条边是三角形某条边的延长线．

②两个推论及其应用

由学生探讨三角形外角的性质：

问题1：

如图，△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角，能由∠A、∠B求

出∠ACD吗？

如果能，∠ACD与∠A、∠B有什么关系？

问题2：

任意一个△ABC的一个外角∠ACD与∠A、∠B的大小会有什么关系呢？

由学生归纳得出：

推论1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

推论2：

三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．

例1、已知：

∠BAF，∠CBD，∠ACE是△ABC的三

个外角．

求证：

∠BAF+∠CBD+∠ACE=360°

分析：

把每个外角表

示为与之不相邻的两个内角之和即得证．

证明：

（略）．

例2、已知：

D是AB上一点,E是AC上一点，BE、CD相交于F,∠A=62°，∠ACD=35°，∠ABE=20°．求：

（1）∠BDC度数；

（2）∠BFD度数．

解：

（略）．

活动目的：

通过三角形内角和定理直接推导三角形外角的两个推论，引导学生从内和外、相等和不等的不同角度对三角形作更全面的思考．

注意事项：

新的定理的推导过程应建立在学生的充分思考和论证的基础之上，教师切勿越俎代庖。

第三环节：

课堂练习

活动内容：

1已知，如图，在三角形ABC中，AD平分外角∠EAC，∠B=∠C．求证：

AD∥BC

分析：

要证明AD∥BC,只需证明“同位角相等”,即需证明∠DAE=∠B.

证明：

∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠B=∠C（已知）

∴∠B=

∠EAC（等式的性质）

∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠DAE=

∠EAC（角平分线的定义）

∴∠DAE=∠B（等量代换）

∴A

D∥BC（同位角相等，两直线平行）

想一想，还有没有其他的证明方法呢？

这个题还可以用“内错角相等，两直线平行”来证.

证明：

∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠B=∠C（已知）

∴∠C=

∠EAC（等式的性质）

∵

AD平分∠EAC（已知）

∴∠DAC=

∠EAC（角平分线的定义）

∴∠DAC=∠C（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

还可以用“同旁内角互补，两直线平行”来证.

证明：

∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∠B=∠C（已知）

∴∠C=

∠EAC（等式的性质）

∵AD平分∠EAC（已知）

∴∠DAC=

∠EAC

∴∠DAC=∠C（等量代换）

∵∠B+∠BAC+∠C=180°

∴∠B+∠BAC+∠DAC=180°

即：

∠B+∠DAB=180°

∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）

②

已知：

如图，在三角形ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：

∠1>∠2．

证明：

∵∠1是△ABC的一个外角（已知）

∴∠1>∠ACB（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠ACB是△CDE的一个外角（已知）

∴∠ACB>∠2（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠1>∠2（不等式的性质）

③.如图，求证：

（1）∠BDC>∠A.

（2）∠BDC=∠B+∠C+∠A.

如果点D在线段BC的另一侧，结论会怎样？

［分析］通过学生的探索活动，使学生进一步了解辅助线的作法及重要性，理解掌握三角形的内角和定理及推论.

证法一：

（1）连接AD，并延长AD，如图，则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.

∴∠1>∠3.

∠2>∠4（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠1+∠2>∠3+∠4（不等式的性质）

即：

∠BDC>∠BAC.

（2）连结AD，并延长AD，如图.

则∠1是△ABD的一个外角，∠2是△ACD的一个外角.

∴∠1=∠3+∠B

∠2=∠4+∠C（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠1+∠2=∠3+∠4+∠B+∠C（等式的性质）即：

∠BDC=∠B+∠C+∠BAC

证法二：

（1）延长BD交AC于E（或延长CD交AB于E），如图.

则∠BDC是△CDE的一个外角.

∴∠BDC>∠DEC.（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∵∠DEC是△ABE的一个外角（已作）

∴∠DEC>∠A（三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角）

∴∠BDC>∠A

（不等式的性质）

（2）延长BD交AC

于E，则∠BDC是△DCE的一个外角.

∴∠BDC=∠C+∠DEC（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∵∠DEC是△ABE的一个外角

∴∠DEC=∠A+∠B（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）

∴∠BDC=∠B+∠C+∠BAC（等量代换）

活动目的：

让学生接触各种类型的几何证明题，提高逻辑推理能力，培养学生的证明思路，特别是不等关系的证明题，因为学生接触较少，因此更需要加强练习．

注意事项：

学生对于几何图形中的不等关系的证明比较陌生，因此有必要在证明第2小题中，要引导学生找到一个过渡角∠ACB，由∠1>∠ACB，∠ACB>∠2，再由不等关系的传递性得出∠1>∠2。

第四环节：

课堂反思与小结

活动内容：

由学生自行归纳本节课所学知识：

推论1：

三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和．

推论2：

三角形的一个外角

大于任何一个和它不相邻的内角．

活动目的：

复习巩固所学知识，理清思路，培养学生的归纳概括能力．

注意事项：

学生对于

三角形外角的两个推论以及它们的应用有一定的了解。

课后练习：

课本第244页的随堂练习第1题，习题6.7题第1，2，3题。

思考题：

课本245页第4题（给学有余力的同学做）

教学反思

教学中，帮助学生找三角形的外角是难点，特别是当一个角是某个三角形的内角，同时又是另一个三角形的外角时，困难就更大，解决这个难点的关键是讲清定义，分析图形，变换位置，理清思路。

本节课的教学设计力图具有以下几个特色：

（1）充分挖掘学生的潜能，展示学生的思维过程，体现“学生是学习的主人”这一主题；

（2）从特殊到一般，从不完全归纳到合情推理，展示了一个完整的思维过程；

（3）在整个教学中尽可能的避免教学的单调性，因此编排了一题多解的训练，为发散性思维创设情境，调动学生学习的极大热情。

7.3平行线的判定

第一环节：

情景引入

活动内容：

回顾两直线平行的判定方法

师：

前面我们探索过直线平行的条件．大家来想一想：

两条直线在什么情况下互相平行呢？

生1：

在同一平面内，不相交的两条直线就叫做平行线．

生2：

两条直线都和第三条直线平行，则这两条直线互相平行．

生3：

同位角相等两直线平行；内错角相等两直线平行；同旁内角互补两直线平行．

师：

很好．这些判定方法都是我们经过观察、操作、推理、交流等活动得到的．

上节课我们谈到了要证实一个命题是真命题．除公理、定义外，其他真命题都需要通过推理的方法证实．

我们知道：

“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”是定义．“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行”是公理．那其他的三个真命题如何证实呢？

这节课我们就来探讨．

活动目的：

回顾平行线的判定方法，为下一步顺利地引出新课埋下伏笔．

教学效果：

由于平行线的判定方法是学生比较熟悉的知识，教师通过对话的形式，可以使学生很快地回忆起这些知识．

第二环节：

探索平行线判定方法的证明

活动内容：

①证明：

两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行．

师：

这是一个文字证明题，需要先把命题的文字语言转化成几何图形和符号语言．所以根据题意，可以把这个文字证明题转化为下列形式：

如图，已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的同旁内角，且∠1与∠2互补，求证：

a∥b．

如何证明这个题呢？

我们来分析分析．

师生分析：

要证明直线a与b平行，可以想到应用平行线的判定公理来证明．这时从图中可以知道：

∠1与∠3是同位角，所以只需证明∠1=∠3，则a与b即平行．

因为从图中可知∠2与∠3组成一个平角，即∠2+∠3=180°,所以：

∠3=180°－∠2．又因为已知条件中有∠2与∠1互补

，即：

∠2+∠1=180°,所以∠1=180°－∠2,因此由等量代换可以知道：

∠1=∠3．

师：

好．下面我们来书写推理过程，大家口述，老师来书写．（在书写的同时说明：

符号“∵”读作“因为”，“∴”读作“所以”）

证明：

∵∠1与∠2互补（已知）∴∠1+∠2=180°（互补定义）

∴∠1=180°－∠2（等式的性质）∵∠3+∠2=180°（平角定义）

∴∠3=180°－∠2（等式

的性质）

∴∠1=∠3（等量代换）

∴a∥b（同位角相等，两直线平行）

这样我们经过推理的过程证明了一个命题是真命题，我们把这个真命题称为：

直线平行的判定定理．

这一定理可简单地写

成：

同旁内角互补，两直线平行．

注意：

（1）已给的公理，定义和已经证明的定理以后都可以作为依据．用来证明新定理．

（2）证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”．这些根据，可以是已知条件

，也可以是定义、公理，已经学过的定理．在初学证明时，要求把根据写在每一步推理后面的括号内．

②证明：

内错角相等,两直线平行．

师：

小明用下面的方法作出了平行线，你认为他的作法对吗？

为什么？

（见相关动画）

生：

我认为他的作法对．他的作法可用上图来表示：

∠CFE=45°,∠BEF=45°．因为∠BEF与∠FEA组成一个平角，所以∠FEA=180°－∠BEF=180°－45°=135°．而∠CFE与∠FEA是同旁内角．且这两个角的和为180°，因此可知：

CD∥AB．

师：

很好．从图中可知：

∠CFE与∠FEB是内错角．因此可知：

“内错角相等，两直线平行”是真命题．下面我们来用规范的语言书写这个真命题的证明过程．

师生分析：

已知，∠1和∠2是直线a、b被直线c截出的内错角，且∠1=∠2．

求证：

a∥b

证明：

∵∠1=∠2（已知）∠1+∠3=180°（平角定义）

∴∠2+∠3=180°（等量代换）∴∠2与∠3互补（互补的定义）∴a∥b（同旁内角互补，两直线平行）．

这样我们就又得到了直线平行的另一个判定定理：

内错角相等，两直线平行．

③借助“同位角相等，两直线平行”这一公理，你还能证明哪些熟悉的结论呢？

生1：

已知，如图，直线a⊥c,b⊥c．求证：

a∥b．

证明：

∵a⊥c,b⊥c（已知）

∴∠1=90°∠2=90°（垂直的定义）

∴∠1=∠2（等量代换）

∴b∥a（同位角相等，两直线平行）

生2：

由此可以得到：

“如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线平行”的结论．

师：

同学们讨论得真棒．下面我们通过练习来熟悉掌握直线平行的判定定理．

活动目的：

通过对学生熟悉的平行线判定的证明，使学生掌握平行线判定公理推导出的另两个判定定理，并逐步掌握规范的推理格式．

教学效果：

由于学生有了以前学习过的相关知识，对几何证明题的格式有所了解，今天的学习只不过是

将原来的零散的知识点以及学生片面的认识进行归纳，学生的认识更提高一步．

第三环节：

反馈练习

活动内容：

课本第231页的随堂练习第一题

活动目

的：

巩固本节课所学知识，让教师能对学生的状况进行分析，以便调整前进．

教学

效果：

由于此题只是简单地运用到平行线的判定的三个定理（公理），因此，

学生都能很快完成此题．

第四环节：

学生反思与课堂小结

活动内容：

①这节课我们主要探讨了平行线的判定定理的证明．同学们来归纳一下完成下表：

②由角的大小关系来证两直线平行的方法，再一次体现了“数”与“形”的关系；而应用这些公理、定理时，必须能在图形中准确地识别出有关的角．

③注意：

证明语言的规范化．推理过程要有依据．

活动目的：

通过对平行线的判定定理的归纳，使学生的认识有进一步的升华，再一次体会证明格式的严谨，体会到数学的严密性．

教学效果：

学生充分认识到证明步骤的严密性，对平行线判定的三个定理有了更进一步的认识．

课后作业：

课本第232页习题6.4第1，2，3题

思考题：

课本第233页习题6.4第4题（给学有余力的同学做）

教学反思

平行线是众多平面图形与空间图形的基本构成要素之一，它主要借助角来研究两条直线之间的位置关系，即

通过两条直线与第三条直线相交所成的角来判定两条直线平行与否，在教学中，要紧紧围绕这些角（同位角、内错角、同旁内角）与平行线之间的关系展开。