3正方形的性质和判定文档格式.docx

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又∵AB=BC，

BC＜BE，

∴AB不可能等于BE，

∴假设AO=OE，不成立，即AO≠OE，

故此选项错误；

D.∵△BAF≌△ADE，

∴S△BAF=S△ADE，

∴S△BAF-S△AOF=S△ADE-S△AOF，

∴S△AOB=S四边形DEOF，故此选项正确．

首先利用全等三角形的判定方法利用SAS证明△BAF≌△ADE，即可得出AE=BF，进而得出∠BFA+∠EAD=90°

，即AE⊥BF，用反证法证明AO≠EO，利用三角形全等即面积相等，都减去公共面积剩余部分仍然相等，即可得出D正确

3.正方形具有而菱形不一定具有的性质是（　　）

A．四条边相等B．对角线互相垂直平分

C．对角线平分一组对角D．对角线相等

D

正方形的性质：

正方形的四条边相等，四个角都是直角，对角线互相垂直平分且相等，并且每一条对角线平分一组对角；

菱形的性质：

菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；

因此正方形具有而菱形不一定具有的性质是：

对角线相等；

故选：

D．

根据正方形和菱形的性质容易得出结论

4.如图，正方形ABCD的对角线BD长为2

，若直线l满足：

（1）点D到直线l的距离为1，

（2）A、C两点到直线l的距离相等，则符合题意的直线l的条数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

答案:

连接AC与BD相交于O，

∵正方形ABCD的对角线BD长为2

∴OD=

∴直线l∥AC并且到D的距离为1，

同理，在点D的另一侧还有直线满足条件，

故共有4条直线l．

连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=

，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答

5.若正方形的周长为40，则其对角线长为（　　）

A．100B．20

C．10

D．10

∵正方形的周长为40，

∴正方形的边长为10，

∴对角线长为10

根据正方形的周长，可将正方形的边长求出，进而可将正方形对角线的长求出．

6.已知在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（　　）

A．3cmB．4cmC．6cmD．8cm

B

∵四边形ABCD是正方形，

∴AD=AB=8cm，OA=OC，

∵OE∥AB，

∴OE是△ABC的中位线，

∴OE=

AB=4cm，

故选B．

根据正方形的性质得出AD=AB=8，AO=OC，由OE∥AB，得出OE是△ABC的中位线解答即可

7.如图，点E在正方形ABCD的边AD上，已知AE=7，CE=13，则阴影部分的面积是（　　）

A．114B．124C．134D．144

A

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D=90°

，AB=BC=AD，

设AB=BC=AD=x，

则DE=x-7，

∵CD2+DE2=CE2，

∴x2+（x-7）2=132，

解得：

x=12，或x=-5（不合题意，舍去），

∴BC=AB=12，

∴阴影部分的面积=

（AE+BC）•AB=

×

（7+12）×

12=114；

A．

本题考查了正方形的性质、勾股定理、以及梯形面积的计算；

熟练掌握正方形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键

8.如图，已知点E为正方形ABCD对角线BD上一点，且BE=BC，则∠DCE的度数为（　　）

A．30°

B．22.5°

C．15°

D．45°

∵正方形ABCD，

∴BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°

∵BE=BC，

∴∠BEC=∠BCE=67.5°

∴∠DCE=∠BCD-∠BCE=90°

-67.5°

=22.5°

由正方形的性质得到BC=CD，∠DBC=∠BDC=45°

，根据BE=BC，根据三角形的内角和定理求出∠BEC=∠BCE=67.5°

，根据∠DCE=∠BCD-∠BCE即可求出答案．

9.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连结BE交AD于点F，则∠DFE的度数为（　　）

A．45°

B．55°

C．60°

D．75°

∴AB=AD，∠BAS=90°

∵△AED是等边三角形，

∴∠AED=∠EAD=60°

，AE=AD，

∴∠BAE=150°

，AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB=

（180°

-150°

）=15°

∴∠DFE=∠AFB=90°

-15°

=75°

故选D．

根据正方形的性质得出AB=AD，∠BAS=90°

，根据等边三角形的性质得出∠AED=∠EAD=60°

，AE=AD，求出∠BAE=150°

，AB=AE，∠ABE=∠AEB=15°

，求出∠AFB即可

10.在正方形ABCD所在平面内找一点P，使P点与A、B、C、D中两点都连在一个等边三角形，那么这样的P点有（　　）

A．5个B．12个C．9个D．15个

在四条边垂直平分线上的点，与相邻的两个点连成一个等边三角形，共有8个点；

在两条对角线上的点，与相对的两个点连成一个等边三角形，共有4个点；

共有8+4=12个点满足条件．

B．

在四条边垂直平分线上，每一条可以找到两个点，与相邻的两个点连成一个等边三角形，共有8个点；

在两条对角线上，每一条可以找出2个点，与相对的两个点连成一个等边三角形，共有4个点；

由此得出共有8+4=12个点满足条件

11.如图，正方形ABCD的三边中点E、F、G．连ED交AF于M，GC交DE于N，下列结论：

①GM⊥CM；

②CD=CM；

③四边形MFCG为等腰梯形；

④∠CMD=∠AGM．其中正确的有（　　）

A．①②③B．①②④C．①③④D．①②③④

∵由已知，AG∥FC且AG=FC，

故四边形AGCF为平行四边形，

∴∠GAF=∠FCG又AE=BF，AD=AB，且∠DAE=∠ABF，

可知∠ADE=∠BAF

∴DE⊥AF，DE⊥CG．

又∵G点为中点，∴GN为△ADM的中位线，即CG为DM的垂直平分线，

可证CD=CM，∴∠CDG=∠CMG，即GM⊥CM．

又∠MGN=∠DGC=∠DAF（外角等于内对角），∴∠FCG=∠MGC．

故选A．

要证以上问题，需证CN是DN是垂直平分线，即证N点是DM中点，利用中位线定理即可

12.如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且BF=CE，连结BE、AF相交于点G，则下列结论：

①BE=AF；

②∠DAF=∠BEC；

③∠AFB+∠BEC=90°

；

④AF⊥BE中正确的有（　　）

A．①②③B．②③④C．①②③④D．①②④

∴∠ABF=∠C=90°

，AB=BC，

∵BF=CE，

∴△ABF≌△BCE．

∴AF=BE．（①正确）

∠BAF=∠CBE，∠BFA=∠BEC，（③错误）

∵∠BAF+∠DAF=90°

，∠BAF+∠BFA=90°

∴∠DAF=∠BEC．（②正确）

∵∠BAF=∠CBE，∠BAF+∠AFB=90°

∴∠CBE+∠AFB=90°

∴AF⊥BE．（④正确）

所以正确的是①②④．

分析图形，根据正方形及三角形性质找到各角边的关系就很容易求解

13.如图，正方形ABCD的对角线BD长为2

①点D到直线l的距离为

②A、C两点到直线l的距离相等．

则符合题意的直线l的条数为（　　）

如图，连接AC与BD相交于O，

∴直线l∥AC并且到D的距离为

同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，

故共有2条直线l．

，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．

14.平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是（　　）

A．对角线互相平分B．对角线互相垂直

C．对角线相等D．对角线互相垂直且相等

A.对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；

B.对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；

C.对角线相等是矩形和正方形具有的性质；

D.对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．

本题主要依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断

15.如图，正方形ABCD中，AE=AB，直线DE交BC于点F，则∠BEF=（　　）

A．35°

B．45°

C．55°

D．60°

∴AB=AD，∠BAD=90°

∵AE=AB，

∴AE=AB=AD，

∴∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，∠ABE+∠AEB+∠BAE=180°

，∠AED+∠ADE+∠DAE=180°

∵∠BAE+∠DAE=∠BAD=90°

∴∠ABE+∠AEB+∠AED+∠ADE=270°

∴∠AEB+∠AED=135°

即∠BED=135°

∴∠BEF=180°

-135°

=45°

．

由正方形的性质得出AB=AD，∠BAD=90°

，再根据等腰三角形的性质得出∠ABE=∠AEB，∠AED=∠ADE，然后由三角形内角和定理求出∠AEB+∠AED=135°

，即可得出∠BEF

二、填空题（共5题）

16.如图，四边形ABCD为矩形，添加一个条件：

_________，可使它成为正方形

AB=AD

∵四边形ABCD是矩形，

∴当AB=AD或AC⊥BD时，矩形ABCD是正方形．

故答案为：

AB=AD．

由四边形ABCD是矩形，根据邻边相等的矩形是正方形或对角线互相垂直的矩形是正方形，即可求得答案

17.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°

，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是

_________（只填写序号）

②③或①④

有6种选法：

（1）①②：

由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；

（2）②③：

由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；

（3）①③：

由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；

（4）②④：

由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；

（5）①④：

由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误；

（6）③④：

由③得对角线相等的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确；

综上所述：

错误的是：

②③或①④；

②③或①④．

分析：

要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形

18.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA=90°

，对角线AC与BD相交于点O．若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是______

答案不唯一如：

AB=BC，或AC⊥BD等

由题意可确定，ABCD为一四个角都是90°

的四边形，即可能存在矩形的情况，

若使AB=AC．可进一步确定其为正方形，

AB=AC．

要使四边形ABCD是正方形，由题意可知其四个角都是直角，所以还有可能是矩形，使AB=AC，即可满足题意

19.如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，能证明四边形BECF为正方形的是________

①BC=AC；

②CF⊥BF；

③BD=DF；

④AC=BF．

①②③

∵EF垂直平分BC，

∴BE=EC，BF=CF，

∵BF=BE，

∴BE=EC=CF=BF，

∴四边形BECF是菱形；

当①BC=AC时，

∵∠ACB=90°

则∠A=45°

时，菱形BECF是正方形．

∵∠A=45°

，∠ACB=90°

∴∠EBC=45°

∴∠EBF=2∠EBC=2×

45°

=90°

∴菱形BECF是正方形．

故选项①正确；

当CF⊥BF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项②正确；

当BD=DF时，利用正方形的判定得出，菱形BECF是正方形，故选项③正确；

当AC=BF时，无法得出菱形BECF是正方形，故选项④错误．

①②③．

根据中垂线的性质：

中垂线上的点到线段两个端点的距离相等，有BE=EC，BF=FC进而得出四边形BECF是菱形；

由菱形的性质知，以及菱形与正方形的关系，进而分别分析得出即可

20.如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列四种说法：

①四边形AEDF是平行四边形；

②如果∠BAC=90°

，那么四边形AEDF是矩形；

③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；

④如果∠BAC=90°

，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形．

其中，正确的有_________（只填写序号）

①②③④

∵DE∥CA，DF∥BA，

∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；

∵四边形AEDF是平行四边形，∠BAC=90°

∴四边形AEDF是矩形，故②正确；

∵AD平分∠BAC，四边形AEDF是平行四边形，

∴四边形AEDF是菱形，故③正确；

∵若AD平分∠BAC，则平行四边形AEDF是菱形，

∴若∠BAC=90°

，则平行四边形AEDF是正方形，故④正确．

①②③④．

分别根据平行四边形的判定定理、菱形的判定定理、矩形的判定定理及正方形的判定定理对四个小题进行逐一判断即可

三、解答题（共5题）

21.如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，BC的垂直平分线DE交BC于点D，交AB于点E，点F在DE的延长线上，且AF=CE．

（1）四边形ACEF是平行四边形吗？

说明理由；

（1）四边形ACEF是平行四边形；

∵DE垂直平分BC，

∴D为BC的中点，ED⊥BC，

又∵AC⊥BC，

∴ED∥AC，

∴E为AB中点，

∴ED是△ABC的中位线．

∴BE=AE，FD∥AC．

∴BD=CD，

∴Rt△ABC中，CE是斜边AB的中线，

∴CE=AE=AF．

∴∠F=∠5=∠1=∠2．

∴∠FAE=∠AEC．

∴AF∥EC．

又∵AF=EC，

∴四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B的大小满足什么条件时，四边形ACEF为菱形？

请说明你的结论；

（2）当∠B=30°

时，四边形ACEF为菱形；

理由：

，∠B=30°

∴AC=

AB，

由

（1）知CE=

AB，∴AC=CE

又四边形ACEF为平行四边形

∴四边形ACEF为菱形；

（3）四边形ACEF有可能是正方形吗？

为什么？

（3）四边形ACEF不可能是正方形，

∴∠ACE＜∠ACB，

即∠ACE＜90°

，不能为直角，

所以四边形ACEF不可能是正方形

本题考查了平行四边形的判定，菱形的判定，垂直平分线的性质，本题中根据特殊角的正弦函数值求∠B的度数是解题的关键

22.如图，在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，AO=CO，BO=DO，∠ABC=∠DCB．

（1）求证：

四边形ABCD是矩形；

解答：

（1）证明：

∵AO=CO，BO=DO，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥DC，

∴∠ABC+∠DCB=180°

∵∠ABC=∠DCB，

∴∠ABC=90°

∴四边形ABCD是矩形；

（2）要使四边形ABCD是正方形，请写出AC、BD还需要满足的条件

（2）AC⊥BD

（2）要使四边形ABCD是正方形，AC、BD还需要满足的条件是：

AC⊥BD

（1）利用平行四边形的判定方法得出四边形ABCD是平行四边形，进而得出∠ABC=90°

，即可得出答案；

（2）利用正方形的判定得出矩形的对角线互相垂直进而得出答案

23.如图，AB是CD的垂直平分线，交CD于点M，过点M作ME⊥AC，MF⊥AD，垂足分别为E、F．

∠CAB=∠DAB；

（2）若∠CAD=90°

，求证：

四边形AEMF是正方形

见解答

∵AB是CD的垂直平分线，

∴AC=AD，

又∵AB⊥CD

∴∠CAB=∠DAB（等腰三角形的三线合一）；

（2）证明：

∵ME⊥AC，MF⊥AD，∠CAD=90°

即∠CAD=∠AEM=∠AFM=90°

∴四边形AEMF是矩形，

又∵∠CAB=∠DAB，ME⊥AC，MF⊥AD，

∴ME=MF，

∴矩形AEMF是正方形．

本题考查正方形的判定，线段的垂直平分线的性质及等腰三角形的判定与性质的知识，综合性较强

24.如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．

（1）求证：

BE=CE．

∵四边形ABCD为正方形

∴AB=AD=CD，∠BAD=∠ADC=90°

∵三角形ADE为正三角形

∴AE=AD=DE，∠EAD=∠EDA=60°

∴∠BAE=∠CDE=150°

在△BAE和△CDE中

AB＝CD

∠BAE＝∠CDE

AE＝DE

∴△BAE≌△CDE

∴BE=CE；

（2）求∠BEC的度数

∠BEC=30°

（2）∵AB=AD，AD=AE，

∴AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

又∵∠BAE=150°

∴∠ABE=∠AEB=15°

同理：

∠CED=15°

∴∠BEC=60°

2=30°

本题考查了正方形的性质，

（1）利用了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质；

（2）利用了等腰三角形的判定与性质，角的和差．

25.如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C顺时针旋转90°

至CE位置，连接AE．

AB⊥AE．

∴∠BCD+∠ACD=90°

∵∠DCE=90°

，∴∠ACD+∠ACE=90°

∴∠BCD=∠ACE，

在△CBD与△CAE中，

CB＝CA

∠BCD＝∠ACE

CD＝CE

∴△CBD≌△CAE（SAS），

∴∠B=∠CAE，

∵∠B+∠BAC=90°

，∴∠BAC+∠EAC=90°

，∴AB⊥AE；

（2）若点D为AB中点，求证：

四边形ADCE是正方形

（2）证明：

∵点D为AB中点，

∴∠ADC=90°

，∠BAE=90°

∴四边形ADCE是矩形，

∴CD=CE，∴四边形ADCE是正方形

此题主要考查了正方形的判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出∠BCD=∠ACE是解题关键