矩阵分析期末考试2012文档格式.doc

矩阵分析期末考试2012文档格式.doc

《矩阵分析期末考试2012文档格式.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《矩阵分析期末考试2012文档格式.doc（4页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

三

四

五

六

总分

得分

一、（共30分，每小题6分）完成下列各题：

（1）设空间中的向量，，，，

，，分别求和的维数.

解：

和的维数为3和1

（2）设，是酉空间中两向量，求内积及它们的长度（）.（0，2,2）；

（3）求矩阵的满秩分解.

（4）设矩阵，求的Smith标准形及其行列式因子.

（5）设是矩阵范数，给定一个非零向量，定义，验证是向量范数.

二、（10分）设中的线性变换在基下的矩阵表示为，

（1）（5分）求的值域的维数及一组基；

（2）（5分）求的核的维数及一组基.

（1）由题意知T[ε1,ε2,ε3]=

线性变换T的值域为T（V）=

所以A（V）的维数为2，基为

（2）矩阵A的核为AX=0的解空间。

不难求得AX=0的基础解系是[2,-1,1]T,

因此的维数为1，基为.

三、（8分）求矩阵的正交三角分解，其中是酉矩阵，是正线上三角矩阵.

=

四、（8分）设，求矩阵范数，，，.（这里）.

，（2分）

，（2分）

（2分）

，（2分）

（2分）

五、（共24分，每小题8分）证明题：

（1）设是正定Hermite矩阵，是反Hermite矩阵，证明是可逆矩阵.

（2）设是阶正规矩阵，证明是Hermite矩阵的充要条件是的特征值为实数.

（3）若，证明为非奇异矩阵，且，这里是诱导范数.

六、（共20分，每小题5分）设，

（1）求的Smith标准形（写出具体步骤）；

（2）求的初等因子、最小多项式及Jordan标准形；

（3）求相似变换矩阵及其逆矩阵阵；

（4）求.

解

，

初等因子，；

最小多项式；

Jordan标准

4