课时作业47直线平面平行的判定及其性质Word格式文档下载.docx

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l⊥α时，直线l上有两个点到α距离相等；

l与α斜交时，也只能有两个点到α距离相等．故选D.

3．已知不重合的两条直线l，m和不重合的两个平面α，β，下列命题正确的是（　　）

A．l∥m，l∥β，则m∥β

B．α∩β＝m，l⊂α，则l∥β

C．α⊥β，l⊥α，则l∥β

D．l⊥m，m⊥β，l⊥α，则α⊥β

对于选项A，m可能在β内，故A错；

对于选项B，l可能与β相交，故B错；

对于选项C，l可能在β内，故C错，所以选D.

4．已知l、m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（　　）

A．若l∥α，m∥α，则l∥m

B．若l⊥m，m∥α，则l⊥α

C．若l⊥m，m⊥α，则l∥α

D．若l∥α，m⊥α，则l⊥m

A选项，l与m可能平行，异面或相交，A错；

B选项，l与α可能平行，相交或l在α内，B错；

C选项，l有可能在α内，C错，故选D.

5．已知α，β是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，给出下列命题：

①若m⊥α，m⊂β，则α⊥β；

②若m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β；

③如果m⊂α，n⊄α，m，n是异面直线，那么n与α相交；

④若α∩β＝m，n∥m，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β.

其中正确的命题是（　　）

A．①②B．②③

C．③④D．①④

由面面垂直的判定定理得①正确，若m∥n时，α，β有可能相交，所以②错误．对③来说，n可能与α平行，则③错．α∩β＝m，∴m⊂α，m⊂β，n⊄α，n∥m，则n∥α，同理n∥β，选D.

6．如图，正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，CC1的中点，在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线（　　）

A．有无数条

B．有2条

C．有1条

D．不存在

因为平面D1EF与平面ADD1A1有公共点D1，所以两平面有一条过D1的交线l，在平面ADD1A1内与l平行的任意直线都与平面D1EF平行，这样的直线有无数条．

A

二、填空题

7．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系为________．

如图，连接AC，BD交于O点，连接OE，因为OE∥BD1，而OE⊂平面ACE，BD1⊄平面ACE，所以BD1∥平面ACE.

平行

8．α、β、γ是三个平面，a、b是两条直线，有下列三个条件：

①a∥γ，b⊂β；

②a∥γ，b∥β；

③b∥β，a⊂γ.如果命题“α∩β＝a，b⊂γ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________（把所有正确的题号填上）．

①中，a∥γ，a⊂β，b⊂β，β∩γ＝b⇒a∥b（线面平行的性质）．③中，b∥β，b⊂γ，a⊂γ，β∩γ＝a⇒a∥b（线面平行的性质）．

①③

9．在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足条件________时，有平面D1BQ∥平面PAO.

假设Q为CC1的中点，因为P为DD1的中点，所以QB∥PA.连接DB，因为P，O分别是DD1，DB的中点，所以D1B∥PO，又D1B⊄平面PAO，QB⊄平面PAO，所以D1B∥平面PAO，QB∥平面PAO，又D1B∩QB＝B，所以平面D1BQ∥平面PAO.故Q满足条件Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.

Q为CC1的中点

三、解答题

10．如图，已知四棱锥P—ABCD的底面为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°

，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝DC＝

AB＝1，M是PB的中点．

（1）求证：

AM＝CM；

（2）若N是PC的中点，求证：

DN∥平面AMC.

证明：

（1）∵在直角梯形ABCD中，AD＝DC＝

AB＝1，

∴AC＝

，BC＝

，

∴BC⊥AC，又PA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，

∴BC⊥PA，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，

∴BC⊥PC.

在Rt△PAB中，M为PB的中点，则AM＝

PB，

在Rt△PBC中，M为PB的中点，则CM＝

∴AM＝CM.

（2）如图，连接DB交AC于点F，

∵DC綊

AB，∴DF＝

FB.

取PM的中点G，连接DG，FM，则DG∥FM，

∴又DG⊄平面AMC，FM⊂平面AMC，

∴DG∥平面AMC.

连接GN，则GN∥MC，GN⊄平面AMC，MC⊂平面AMC.

∴GN∥平面AMC，又GN∩DG＝G，

∴平面DNG∥平面AMC，

又DN⊂平面DNG，

∴DN∥平面AMC.

11．如右图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF＝3，G和H分别是CE和CF的中点．

AC⊥平面BDEF；

（2）求证：

平面BDGH∥平面AEF.

解：

（1）因为四边形ABCD是正方形，所以AC⊥BD.

又因为平面BDEF⊥平面ABCD，平面BDEF∩平面ABCD＝BD，且AC⊂平面ABCD，所以AC⊥平面BDEF.

（2）在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，

又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，所以GH∥平面AEF.

设AC∩BD＝O，连接OH，

在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，

又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，所以OH∥平面AEF.

又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，

所以平面BDGH∥平面AEF.

1．下列四个正方体图形中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（　　）

A．①③B．②③

C．①④D．②④

对于图形①：

平面MNP与AB所在的对角面平行，即可得到AB∥平面MNP，对于图形④：

AB∥PN，即可得到AB∥平面MNP，图形②，③都不可以，故选C.

C

2．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M满足条件________时，有MN∥平面B1BDD1.

如图，连接FH，HN，FN，

由题意知HN∥面B1BDD1，FH∥面B1BDD1.

且HN∩FH＝H，

∴面NHF∥面B1BDD1.

∴当M在线段HF上运动时，有MN∥面B1BDD1.

M∈线段HF

3．如图1，已知⊙O的直径AB＝4，点C、D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°

，∠DAB＝60°

，F为弧BC的中点，将⊙O沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直（如图2）．

OF∥AC；

（2）在弧BD上是否存在点G，使得FG∥平面ACD？

若存在，试指出点G的位置；

若不存在，请说明理由．

解法1：

（1）证明：

如右图，连接CO，

∵∠CAB＝45°

，∴CO⊥AB，

又∵F为弧BC的中点，∴∠FOB＝45°

，∴OF∥AC.

（2）取弧BD的中点G，连接OG，FG，

则∠BOG＝∠BAD＝60°

，故OG∥AD

由

（1）OF∥AC，知OF∥平面ACD，故平面OFG∥平面ACD，则FG∥平面ACD，因此，在弧BD上存在点G，使得FG∥平面ACD，且点G为弧BD的中点．

解法2：

（1）如下图，以AB所在的直线为y轴，以OC所在的直线为z轴，以O为原点，作空间直角坐标系O—xyz，则A（0，－2，0），C（0,0,2）

＝（0,0,2）－（0，－2,0）＝（0,2,2），

∵点F为弧BC的中点，∴点F的坐标为（0，

），

＝（0，

∴

＝

，即OF∥AC.

（2）设在弧BD上存在点G，使得FG∥平面ACD，

由

（1）OF∥AC，知OF∥平面ACD，∴平面OFG∥平面ACD，则有OG∥AD.

设

＝λ

（λ>

0），∵

＝（

，1,0），∴

＝（3λ，λ，0）．又∵|

|＝2，∴

＝2，解得λ＝±

1（舍去－1），∴

，1,0），则G为弧BD的中点．

因此，在弧BD上存在点G，使得FG∥平面ACD，且点G为弧BD的中点．