推荐用函数的思想来分析物理过程 精品.docx
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用函数的思想来分析物理过程
摘要：
学习型社会是二十一世纪的基本特征。
法国前教育思想家埃德加·富尔在《学会生存》一文中精辟地指出：
“未来的文盲，不再是不识字的人，而是没有学会怎样学习的人”。
2018年9月4日，温总理在北京35中连续听了五节课后评课时强调的第一点是：
课堂教学一定要理论联系实际，教学生运用知识解决问题。
现实的一套套中高考物理试题从教学的三维目标来看，更加注重考查过程与方法，因此分析物理过程的方法尤为关键，本文先介绍了函数的一般知识，举例说明中高考物理试题中常见的函数类型后，主要以中考题为载体阐释了应用函数图象来分析物理过程的方法，阐述了用叙述法表示函数时怎样列式求解的过程与方法，力求使学生从学会转变为会学。
关键词：
函数 分析 物理过程 方法 自变量 因变量 变与不变 同与不同
一、函数的一般知识
1．1．函数的概念
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于主动变化的x的每一个确定的值，被动变化的y都有唯一确定的值与其相对应，我们就说x是自变量，y是x的函数，有时也称变量y为因变量。
1．2．变化与对应是函数思想的核心内涵
函数不仅是贯穿于初高中代数的一条主线，而且还是数学中最基础最核心的概念，也是自然科学和工程技术上普遍使用的一个数学概念，究其原因是世界上的万事万物都在不断地运动变化发展着的，函数是研究运动变化的极端重要的数学模型，“变化与对应”是函数思想的核心内涵，所谓“变化与对应”的思想包括两个基本意思：
（1）世界是变化的，客观事物中存在大量的变量；
（2）在同一个变化过程中，变量之间不是孤立的，而是相互联系的，一个变量的变化会引起其他变量的相应变化，这些变化之间存在着对应关系。
1．3．因果关系是自变量与因变量的核心关系
自变量是主动引起变化的原因，因变量是被动变化的，是变化后的结果，在用语言来叙述结论时要将因变量放在前。
例如在叙述电流、电压、电阻三者间的关系时由于电压、电阻是自变量，电流是因变量要这样叙述：
电阻一定时，导体中的电流与这段导体两端的电压成正比；电压一定时，导体中的电流与这段导体的电阻成反比。
由于引起因变量变化的自变量可能不只一个，这种情况下在研究自变量与因变量之间的关系时，数学分析上常用求偏导数的方法，物理上常用控制变量法，典型的如验证欧姆定律时就要用到控制变量法。
如下面一道中考物理题。
题例1（18湖北恩施）：
我们可以用如图1所示的实验来研究牛顿第一定律。
（1）指出实验中应控制不变的相关因素：
（注：
至少指出三个）
同一小车、同一斜面、同一高度、各板均保持水平
（2）实验中有两个变量，其中自变量是小车在水平面运动时所受到阻力 或 水平面的粗糙程度，因变量是小车运动的距离。
（3）想象如果图丁所示的水平板是绝对光滑的，且空气阻力为零，则小车的运动情况为：
作匀速直线运动 或 始终保持运动状态不变。
从题例1可以看出：
题目本身就出现了自变量与因变量的名词，顺便指出的是本题从初中阶段来看，属于研究牛顿第一定律的背景材料，从高中物理来看此题是探究功能关系的常见素材，物体的动能大小决定了物体能反抗阻力移动多远。
1．4．函数的表示方法：
（1）解析法（或称公式法）：
就是用常数和表示自变量的字母用一系列运算符号联接起来的数学符号。
（2）图象法：
用坐标平面上的特殊点集表示函数，横坐标约定代表自变量，纵坐标约定代表因变量，如小灯泡的伏安特性曲线。
需要指出的是有时自变量与因变量不好确定谁是自变量，谁又是因变量，则此时就有两种情况并存，如下两道道物理中考题：
题例2（18四川雅安）：
如图2是探究甲、乙两种物质质量跟体积关系的图像。
以下分析正确的是（ B ）
A．甲物质的质量跟体积的比值比乙物质大
B．甲物质的质量跟体积的比值比乙物质小
C．同种物质的质量跟体积的比值是不同的
D．不同物质的质量跟体积的比值是相同的．
题例3（18四川遂宁）：
小明在探究甲、乙两种不同物质的质量和体积的关系时，得出了如图3所示的图像。
由图像可知，甲、乙两种物质中，_甲_物质的密度较大；相同体积的甲、乙两种物质，_甲_质量较大。
根据上列两道中考题的图象可知，物体的质量m和体积V之间的关系好比鸡与蛋的关系，究竟是先有鸡还是先有蛋，谁也说不清楚。
所以这两种关系图象并存。
（3）列表法：
用表格的形式表示函数的方法，典型如三角函数表，常用对数函数表等。
（4）叙述法：
用“一句或一段话”来描述，如反射定律中的“反射角等于入射角”。
1．5．中学物理中函数的常见类型：
常数函数；正比例函数；反比例函数；一次函数；二次函数；三角函数；反三角函数及其经过有限次的复合运算后的函数，也就是说这些函数都是初等函数。
1．6．初等函数的主要性质
性质1：
有界性，如正弦函数和余弦函数的界是
。
性质2：
单调性，如正弦函数
在闭区间
严格增加。
性质3：
奇偶性，如正弦函数
在定义域R是奇函数。
性质4：
周期性，如正弦函数
的周期是
。
二、中、高考物理试题中常见的函数类型
2．1．常数函数型
所谓常数函数就是指自变量在变化，而因变量却不变的函数。
在叙述相关结论时，则说因变量与自变量的变化无关，如果用图象法来表示则图象上有一线段和自变量所在轴（一般为横轴）相平行。
题例4（18湖南长沙）：
如图4是对冰加热时其温度随时间变化的图像，由图可知（ B ）
A．BC段是一个放热过程
B．冰的熔点是0℃
C．CD段该物质处于气态
D．DE段表示冰的熔化过程
从图4可看出：
BC段和DE段都和时间轴平行，这两段的物理意义是虽然物质（此题是冰和水）在不断地吸收热量，但它们的温度保持在熔点或沸点不变，换言之，晶体的熔点与液体的沸点与它吸收热量的多少无关。
与晶体熔化，液体沸腾相类似的图象还有如物体静止时路程—时间图象；匀速直线运动的速度—时间图象；物体浸没时所受浮力与其深度的关系图象等，图中都有一条线段与横轴平行。
2．2．正比例函数型
题例5（18山东潍坊）：
在图5的各图像中，能正确描述液体压强与深度关系的是（ B ）
分析：
此题选B，充分揭示了液体压强与其深度成正比的关系，与此相类似的图象如物重与其质量的关系；弹簧的伸长量与其所受的拉力的大小关系；导体中的电流与这段导体两端的电压之间的关系等等。
2．3．反比例函数型
题例6（18浙江义乌）：
如图6所示电路，电源电压不变，滑动变阻器上标有“2A 20Ω”字样。
在图7的四个图像中，能正确表示当开关S闭合后，通过小灯泡L的电流I与滑动变阻器连入电路的电阻R的关系的是（ D ）
此题根据欧姆定律和串联电路的特点可选出答案为D，与此相类似的图象如杠杆平衡条件中力和力臂的关系等。
2．4．一次函数型
题例7（18江苏扬州；18广西河池）：
如图8所示的电路，电源电压保持不变。
闭合开关S，调节滑动变阻器，两电压表的示数随电路中电流变化的图线如图9所示。
根据图线的信息
可知：
__甲_（选填“甲”或“乙”）是电压表V2示数变化的图线，电源电压为 6 V,电阻R1的阻值为
。
解析：
从图9可看出，根据物理问题的实际意义，甲图线是一次函数图象的一部分，乙图线是正比例函数图象的一部分，事实上当滑动变阻器R2的滑片置于最小阻值零时，电压表V1就是测电源电压，由图线乙的上端顶点坐标（6，0．6）可知此时R1两端的电压即电源电压为6V，通过R1的电流为0．6A，由欧姆定律可求得R1＝10
。
2．5．二次函数型
题例8（18四川内江）：
如图10所示，当开关S闭合后，若将滑动变阻器的滑片P从a端附近逐渐向b端附近移动的过程中，电流表的示数变化情况是（ ）
A．电流表的示数增大
B．电流表的示数减小
C．电流表的示数先变大，后变小
D．电流表的示数先变小，后变大
解析：
不妨设Rap=Rx、Rab=R0,则Rap和Rpb并联后的总电阻为：
由上式可看出当且仅当
时，
取得最大值且为
，根据欧姆定律可知在最大值时电路中的电流最小，于是选D。
2．6．三角函数型
题例9（18宁夏高考物理第21题）：
水平地面上有一木箱，木箱与地面之间的动摩擦因数为
。
现对木箱施加一拉力F，使木箱做匀速直线运动。
设F的方向与水平面夹角为
，如图，在
从0逐渐增大到90°的过程中，木箱的速度保持不变，则（ ）
A．F先减小后增大 B．F一直增大
C．F的功率减小 D．F的功率不变
解析：
由于木箱的速度保持不变，不妨设木箱所受的摩擦力为f,支持力为N，匀速直线运动时的速度为
，
因为木箱始终处于平衡状态，受力分析如图12所示，则由平衡条件得：
，
两式联立解得：
，
可见F有最小值，所以F先减小后增大，所以A正确；
F的功率
，
可见在
从0逐渐增大到90°的过程中tan
逐渐增大，则功率P逐渐减小，所以C正确。
于是综合起来答案为AC。
2．7．初等函数综合型
题例10（18四川攀枝花）：
如图13所示的滑轮组，每个滑轮等重。
不计绳重和摩擦，物体重G从200N开始逐渐增加，直到绳子被拉断。
每次均匀速拉动绳子将物体提升同样的高度。
图乙记录了在此过程中滑轮组的机械效率随物体重力的增加而变化的图像。
（1）每个滑轮重多少N？
（2）绳子能承受的最大拉力是多少N？
（3）当滑轮组的机械效率为80％时，物体重多少N？
分析：
此题要用到计算滑轮机械效率的专用公式，即
，当动滑轮重
一定时，可以证明（也可用一阶导数证明）
是关于
的增函数，且是一个以幂函数为主的初等复合函数。
三、应用函数图象来分析物理过程的方法
函数的图象从定义域的范围内来看，也就是在自变量的取值范围内，绝对的任意性描述因变量的变化趋势，在图象上取点的相对固定性列式求解，下面以上述的题例10为例来说明．
从图14的自变量
即横坐标的取值范围来看，
的最小值为200N，最大值为1800N，从因变量
即横坐标的取值范围来看，当且仅当
取最小值200N时，
取得最小值为50％，当
取最大值1800N时，
取得待求的最大值。
因此因变量机械效率的变化趋势是随着自变量
的增大而增大，也应证了它是增函数。
这便是在自变量的取值范围内，绝对的任意性描述因变量的变化趋势。
在图14的图线找到其最下端，其坐标为（200，50％），根据
，便可求出
，这便是在图象上取点的相对固定性列式求解。
下面再举一道应用函数图象来分析物理过程的方法：
题例11（18四川攀枝花）：
如图16，某同学用两个滑轮组成的滑轮组，在同一种绕绳方式下匀速提升不同质量的重物，得到了多组竖直作用在绳子自由端的拉力F与重物所受重力G的大小关系，并绘制出如图17的F—G图象（不计绳重与摩擦）。
（1）试根据图象计算出动滑轮所受重力G动；
（2）在图甲中画出该同学的绕绳方法；
（3）用该滑轮组提起重为65N的重物时，
（4）滑轮组的机械效率是多大？
解析：
此题对匀速提升的滑轮组进行受力分析可得：
，当动滑轮的重力和承担物重的绳子段数一定时，绳端的拉力F就成了关于
的一次函数关系式，这便是在自变量
的取值范围内，绝对的任意性描述因变量F的变化趋势是随物重的增加而增大。
从图17中可取的点至少有如图18所示的A、B、C、D、E这五个点，不妨取B、D这两个点，即两个有序实数对（30，20）；（70，40）则
根据
，有如下的方程组：
联解方程
（1）
（2）得：
；到此便是在图象上取点的相对固定性列式求解。
再应用
时即可求出当
＝65N时，
四、用叙述法表示函数时求解物理问题的一般方法性步骤
第一步：
抓出“变与不变、同与不同”的物理量分别是哪些，分析变化的或不同的物理量的关系，认清谁是主动引起变化的原因（自变量），谁是被动变化的结果（因变量）。
第二步：
分析变化与不变的物理量（或不同与相同物理量）之间的关系，确定原因与结果之间的函数关系式。
第三步：
根据已确立的函数关系式列式求解．
下面列举两例来说明这个方法性步骤：
题例12（18安顺）：
如图19所示，设电源电压保持不变，R0=10Ω。
当闭合开关S，滑动变阻器的滑片P在中点c时，电流表的示数为0．3A，移动滑片P至b端时，电流表的示数为0．2A，则电源电压U与滑动变阻器的最大阻值R分别为：
A．U=3V，R=5Ω； B．U=6V，R=20Ω；
C．U=6V，R=10Ω； D．U=3V，R=15Ω。
解析步骤：
第一步：
抓出此题中不变的物理量是电源电压U，定值电阻R0；滑动变阻器连入的阻值发生变化是原因（自变量），电路中的电流是变化的结果（因变量）。
第二步：
分析出变阻器连入阻值后总电阻与电路中电流的关系是成反比，即
。
第三步：
分步列出当
和
时对应电流与其总电阻乘积的表达式。
即：
当滑片P在中点c，电流表的示数为0．3A时，有
当滑片P移至b端，电流表的示数为0．2A时，有
联解
（1）
（2）两个方程式即得：
U=6V，R=20Ω，于是选B。
题例13（18广西玉林、防城港）：
赵军同学在家里想知道某种食用油的密度，于是他利用学过的物理知识设计了一种求食用油密度的方法。
他找来一支直径均匀、一端封闭的玻璃管，往玻璃管里放入适量的铁砂，管口朝上放入水里，玻璃管竖直浮在水中，静止后测出玻璃管露出水面的长度为总长度的
；再把玻璃管放入待测的食用油里，玻璃管竖直浮在油中，静止后测出玻璃管露出油面的长度为总长度的
。
通过计算他知道了这种食用油的密度。
问这种食用油的密度是多少？
解析步骤：
第一步：
抓出此题中不变的物理量是玻璃管的总长及其总重，当玻璃管漂浮在不同液体中时所受的浮力相同（始终等于重力）；液体的密度不同是原因（自变量），玻璃管排开液体的体积不同从而导致露出液面的长度不同是变化的结果（因变量）。
第二步：
分析出液体的密度与排开液体的体积的关系是成反比，即有如下关系式
。
第三步：
分步列出当
和
时对应的表达式。
即当玻璃管竖直浮在水中静止后玻璃管露出水面的长度为总长度的
时，有
即当玻璃管竖直浮在油中静止后玻璃管露出水面的长度为总长度的
时，有
联解
（1）
（2）两个方程式即得
。
从应用函数图象来分析物理过程的方法和用叙述法表示函数时求解物理问题的一般方法性步骤中可得出这样的结论：
物理过程的分析要首先将它抽象为函数模型，然后再进行列式求解，也就是说不但最终解决物理问题要依赖于数学，而且分析物理过程时也要应用函数的思想，这是解决物理问题的关键所在，否则即使最终计算对了也是劳而无功。
可喜的是，人民教育出版社出版的初中数学教材在八年级上册第十四章开始介绍一次函数，而八年级秋期物理中还不涉及关于函数的计算，更可喜的是人教版的初中数学教材在七年级下册第六章就介绍了平面直角坐标系及有序数对，从而为研究应用函数图象来分析物理过程创造了条件，显然人教版的这套数学教材是设身处地地考虑了物理教学需要的。
其实，从函数概念的发展史告诉我们：
十七世纪伽俐略（G．Galileo，意，1564－1642）在《两门新科学》一书中，几乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的关系。
1673年前后笛卡尔（Descartes，法，1596－1650）在他的解析几何中，已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系，1687年牛顿发表的《自然哲学的数学原理》中早就大量地在物理学应用了函数，只是当时没叫作函数罢了，牛顿指的自然哲学是今天物理学的原名，即physics．
因此，不管从物理学的发展史，还是从函数模型的深刻性与应用的广泛性来看，用函数的思想来分析物理过程都是十分必要而中用的，这一方面凸现了分析物理问题的灵魂是要抓住变与不变（或同与不同）的物理量分别有哪些，然后再分析这些物理量之间的函数关系，另一方面物理以一个个具体的实例提供了一个个具体的函数模型，物理以事实证明了数学的重要性与应用的广泛性。
正如杨振林教授所指出的那样：
数学与物理犹如两个树叶，一个向这边，一个向那边。
两个叶子大多不重叠，只是末端有一小块重叠，只占每个领域的5%、10%。
重叠处比较奇怪，它是这两个领域享有的共同观点，所以说数学和物理在根源上的关系十分密切。
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