高中数学指导函数知识点总汇.docx

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高中数学指导函数知识点总汇

函数的性质与图像

一、单调性

设函数y＝f（x）在区间[a,b]上满足：

若x1,x2∈[a,b]且x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2）（f（x1）＞f（x2））成立，则称y＝f（x）在区间[a,b]上是单调递增（单调递减）函数，称区间[a,b]是函数y＝f（x）的单调递增区间（单调递减区间）.

（1）所谓函数的单调性是指函数在什么区间上是单调增的，什么区间是单调减的.单调函数是指函数在整个定义域上是单调增（或减）的.若函数在某区间上具有单调性且在两端有意义，这时单调区间应为闭区间.反之，则为开区间.

（2）设f（x）在区间I1和I2上都分别是单调递增（或递减），且I1∩I2≠Φ，则f（x）在I1∪I2上也是单调递增（或递减）的.【若I1∩I2＝Φ，则不一定成立.如y＝

在（0,+∞）和（-∞,0）上均为单调递减，但在（0,+∞）∪（-∞,0）上不是单调递减的.】

（3）设y＝f（x）在区间I上单调递增（单调递减）函数，且f（x）的值域为E，则它在I上必存在反函数，且反函数在E上必是单调递增（或递减）函数.

特别地，单调函数必有反函数，且反函数的单调性与原函数是一致的.

（4）关于复合函数y＝f（ψ（x））（u＝ψ（x））.

①若y＝f（u）与u＝ψ（x）单调性相同，则F（x）＝f（ψ（x））是增函数.

②若y＝f（u）与u＝ψ（x）单调性相反，则F（x）＝f（ψ（x））为减函数.

（5）若f（x）,g（x）是定义在同一区间上的两个函数.

①f（x）,g（x）是增函数（或减函数），则f（x）＋g（x）也必为增函数（或减函数）.

②若f（x）,g（x）恒大于零，且f（x）,g（x）都是单调增（或减）的，则f（x）·g（x）也为增函数（或减函数）.

二、奇偶性

若函数y＝f（x）对定义域内一切x，都有f（﹣x）＝f（x）（或f（﹣x）＝﹣f（x）），则称y＝f（x）为偶函数（或奇函数）.

（1）奇、偶函数的定义域必是关于数轴原点对称的区域.

（2）既是奇函数又是偶函数的函数是存在的，且有无数多个，其函数值均为0，定义域是关于原点对称的区域.

（3）在共同的定义域上，两个偶（奇）函数和、差仍为偶（奇）函数，一个奇函数与一个偶函数之积为奇函数，两个奇（偶）函数的积为偶函数.

（4）f（x）与

具有相同的奇偶性.

（5）偶函数必不存在反函数.

（6）定义域关于原点对称的任何一个函数，都可以表示成一个偶函数和一个奇函数之和.

三、周期性

函数y＝f（x）满足：

对定义域内任意ｘ，存在常数Ｔ≠０，使ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ＋Ｔ）恒成立，则称y＝f（x）为周期函数，Ｔ为y＝f（x）的周期

（1）周期函数的定义域是无界的.

（2）若T为y＝f（x）的周期，则nT（ｎ∈Ζ且ｎ≠０）均为y＝f（x）的周期.

（3）若函数y＝f（x）有最小正周期T，那么它除nT（ｎ∈Ζ且ｎ≠０）外，函数f（x）无其他周期.

（4）设f（x）的最小正周期T，则f（λx）（λ≠０，λ∈Ｒ）有最小正周期

.

（5）若函数u＝ψ（x）是周期函数，函数f（u）是任意函数，则f（ψ（x））是周期函数.

（6）设函数u＝ψ（x）在数集D上有最小正周期T0，函数f（u）在数集E＝﹛u|u＝ψ（x）,x∈D﹜上严格单调，则复合函数f（ψ（x））在D上也有最小正周期T0.

（7）若函数f（u）是Ｄ上的周期函数，u＝ψ（x）＝ax＋b（a≠0）是线性函数，则复合函数f（ax＋b）是Ｅ＝﹛x|ax＋b∈D,x∈R﹜上的周期函数，且当f（u）的最小正周期为Ｔ时，f（ax＋b）的最小正周期为

.

四、函数的图像

1.图像的对称性

若函数y＝f（x）对定义域内一切x，有：

（1）f（－x）＝f（x），则函数图像关于y轴对称.

（2）f（－x）＝－f（x），则函数图像关于原点对称

（3）f（x＋a）＝f（a－x）或f（x）＝f（2a－x）（a为常数），则函数图像关于x＝a对称

（4）y＝f（x）与y＝f（－x）关于y轴对称，y＝f（x）与y＝－f（x）关于x轴对称，y＝f（x）与y＝－f（－x）关于原点对称，y＝f（x）与x＝f（y）关于y＝x对称.

2.平移变换

（1）y＝f（x－a）（a＞0）是将y＝f（x）的图像向右平移a个单位

（2）y＝f（x＋a）（a＞0）是将y＝f（x）的图像向左平移a个单位

（3）y＝f（x）＋b（b≠0,b∈R）是将y＝f（x）的图像向上（b＞0）或向下（b＜0）平移|b|个单位

3.翻折变换

（1）y＝|f（x）|的图像可以看作y＝f（x）的图像在x轴上方不变，x轴下方沿x轴向上翻折后所得.

（2）y＝f（|x|）的图像可以看作y＝f（x）的图像在y轴右方不变，并将y轴右方的图像沿y轴向左翻折后所得.

（3）x＝f（y）的图像可以看作y＝f（x）的图像关于y＝x翻折后所得.

4.压缩变换

（1）y＝f（ax）（a＞0）的图像可以看作函数y＝f（x）的图像沿x轴方向向y轴压缩（a＞1）或伸长（0＜a＜1）到原来的

倍后所得.

（2）y＝bf（x）（b＞0）的图像可以看作函数y＝f（x）的图像沿y轴方向向x轴伸长（b＞1）或压缩（0＜b＜1）到原来的b倍后所得

五、反函数

从A到B的映射f，满足对B中的每个元素，在A中都有唯一的元素是它的原象，则把这样的映射叫做从集合A到集合B的一一映射.

我们称从B到A的映射叫做f的逆映射，记作f-1：

B→A，由此确定的函数x＝f-1（y）叫做函数y＝f（x）的反函数.一般记作y＝f-1（x）.

（1）反函数的定义域和值域分别为原函数的值域和定义域，其图像关于y＝x对称

（2）单调函数一定具有反函数，任何函数在某一单调区间上都存在反函数

（3）f-1（f（x））＝x,f（f-1（y））＝y.

三角函数

一、三角函数线及其应用

在单位圆中（如图所示），设单位圆与x轴正向交于A点,与y轴正向交于B点，并设α角与单位圆交于P点，过P点作PM⊥x轴与M点，过A点作AT⊥x轴交α终边或其延长线（α在二三象限）于T点，过B点作BS⊥y轴交α终边或其延长线（α在三四象限）于S点，则

sinα＝

的数量，cosα＝

的数量

tanα＝

的数量，cotα＝

的数量

y

三角函数用三角函数线表示，即可以实现数向形的转化，由单位圆中函数线不难看出：

（1）|sinα|≤1，|cosα|≤1；

（2）sinα＜α＜tanα,α∈（0,

）（实质为SΔOPM＜S扇形OPA＜SΔOAT）

二、三角函数值

1.三角函数的诱导公式（不列出，参照课本）

2.八个基本关系

平方关系：

sin²α＋cos²α＝1,tan²α＋1＝sec²α,

cot²α＋1＝csc²α.

商的关系：

tanα＝

cotα＝

.

倒数关系：

cscα＝

secα＝

cotα＝

.

三、三角函数的性质

1.正、余弦函数的有界性2.三角函数的单调性3.三角函数的奇偶性

4.三角函数的周期性

三角恒等变形

一、基本公式

为了叙述方便，我们不妨用Sα,Cα,Tα分别代表sinα,cosα,tanα.

二、一些常用的结果

（1）（sinα±cosα）²＝1±sin2α.

（2）

＝

＝tan（α＋

）,（α≠kπ＋

kπ＋

k∈Ζ）

（3）tanα＋cotα＝

（α≠

k∈Ζ）,

tanα－cotα＝－2cot2α,（α≠

k∈Ζ）.

（4）sin（α＋β）sin（α－β）＝sin²α－sin²β＝cos²β－cos²α,

cos（α＋β）cos（α－β）＝cos²α－sin²β

（5）tan²α－sin²α＝tan²α·sin²α,（α≠kπ＋

k∈Ζ）,

cot²α－cos²α＝cot²αcos²α,（α≠kπ,k∈Ζ）.

（6）α＋β＋γ＝kπ（k∈Ζ）等价

tanα＋tanβ＋tanγ＝tanαtanβtanγ（α,β,γ≠nπ＋

n∈Ζ）

（7）α＋β＝kπ＋

（k∈Ζ）等价于

（1＋tanα）（1＋tanβ）＝2,（α,β≠nπ＋

n∈Ζ）.

（8）注：

下列结果个人认为比较少用：

cos3θ＝4cos（60°－θ）cosθcos（60°＋θ）,

sin3θ＝4sin（60°－θ）sinθsin（60°＋θ）,

tan3θ＝tan（60°－θ）tanθtan（60°＋θ）.