第三章中值定理与导数的应用Word文档格式.docx
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（x）在闭区间［a.b］上连续在开区间（a
b）内可导.且
申（x）=f"
（x）—b~a,
根据罗尔定理.可知在开区间（ab）内至少有一点•.使「（）=0.即
f（b）-f⑻
f（）_b-a=0
f（b）-f（a）
由此得b—a二f（）
即f（b）_f（a）=f（）（bv）.
定理证毕，
f（b）-f（a）f（）（b-a）叫做拉格朗日中值公式.这个公式对于b<
a也成立
拉格朗日中值公式的其它形式：
设x为区间［a.b］内一点.x：
=x为这区间内的另一点（.：
x>
0或.：
x<
0）.则在［x.x7x］
Cx>
0）或［xixx］（.x<
0）应用拉格朗日中值公式.得
f（x+心x）-f（x）甘lx说x）‘Z（0<
日<
1）,
如果记f（x）为y.则上式又可写为
Lyf（xn：
x）lx（0<
t<
试与微分dyf（x）x比较：
dy=f（x）是函数增量冷的近似表达式.而
f（x-，x）是函数增量：
y的精确表达式.
作为拉格朗日中值定理的应用.我们证明如下定理：
定理如果函数f（x）在区间I上的导数恒为零.那么f（x）在区间I上是一个常数.
证在区间I上任取两点X1.X2（X1<
X2）.应用拉格朗日中值定理.就得
f（X2）斗（X1）斗"
（9（X2—xi）（xi<
-<
X2）.由假定f（）=0.所以f（X2）_f（Xi）=0.即
f（X2）=f（Xl）,
因为XiX2是I上任意两点.所以上面的等式表明:
f（x）在I上的函数值总是相等的.这就是说f（x）在区间I上是--个常数，
例2.证明当x0时
ln（1x）：
x
证设f（x）=ln（1x）.显然f（x）在区间［0.x］上满足拉格朗日中值定理的条件就有
f（x）—f（0）=f（勺（x-0）.0<
®
x。
f（x）1
由于f（0）=0.（X^1X.因此上式即为
ln（1x）=1—
又由0：
：
x.有
ln（1x）x
、柯西中值定理
设曲线弧C由参数方程
:
x=F（X）丫=f（x）（a空鱼）
表示.其中x为参数，如果曲线C上除端点外处处具有不垂直于横轴的切线.那么在曲线C
上必有一点X』..：
使曲线上该点的切线平行于连结曲线端点的弦AB.曲线C上点X」:
处的
切线的斜率为
dY_f（）
dX=F（）
弦AB的斜率为
F（b）-F⑻
于是
f（b）—f（a）=f（）
F（b）—F（a）^F（）
柯西中值定理如果函数f（x）及F（x）在闭区间［a.b］上连续.在开区间（a.b）内可导.且
F（x）在（ab）内的每一点处均不为零.那么在（ab）内至少有一点.使等式
F（b）-F（a）.
成立，
显然.如果取F（x）扌.那么F（b）-F（a）F（x）T.因而柯西中值公式就可以写成
f（b）—f（a）斗，（©
（bv）（a<
^b）.
这样就变成了拉格朗日中值公式了，
3.3泰勒公式
对于一些较复杂的函数.为了便于研究.往往希望用一些简单的函数来近似表达.由于
用多项式表示的函数.只要对自变量进行有限次加、减、乘三种运算.便能求出它的函数值.
因此我们经常用多项式来近似表达函数
在微分的应用中已经知道.当|x|很小时.有如下的近似等式：
e+x.In（1+x）sx.
这些都是用一次多项式来近似表达函数的例子，但是这种近似表达式还存在着不足之处：
首
先是精确度不高.这所产生的误差仅是关于x的高阶无穷小•其次是用它来作近似计算时.
不能具体估算出误差大小，因此.对于精确度要求较高且需要估计误差时候.就必须用高次
多项式来近似表达函数.同时给出误差公式，
设函数f（x）在含有xo的开区间内具有直到（n1）阶导数.现在我们希望做的是：
找出一个关于（x-xo）的n次多项式
2丄n
pn（x）=aoai（x-xo）a2（x-xo）an（x-xo）
来近似表达f（x）.要求pn（x）与f（x）之差是比（X-X0）n高阶的无穷小.并给出误差If（X）-Pn（X）|的具体表达式.
我们自然希望pn（x）与f（x）在X0的各阶导数（直到（n1）阶导数）相等.这样就有
pn（x）p0a1（X-X0）亠a2（X-X0）2an（X-X0）n.
pn（x）二a12a2（x-X0）nan（x-X0）n°
.
pn（x）=2a232a3（x刁0）亠亠n（n-1）an（^^0）n_2.
pn（x）=3!
a3432a4（x-x°
）亠亠n（n-1）（n-2）an（x-X0）n°
pn⑴（x）=n!
an.
pn（X0）=a0pn（X0）=a1pn（X0）=2!
a2pn（x）=3!
a3,.：
：
p/n）（x）=n!
an,
按要求有
f（X0）=pn（X0）=a0.f（X0）=pn（X0）=a1.f（X0）=pn（X0）=2!
a2.f（X0）=pn（X0）=3!
a3.
f（n）（xo）=pn⑺（X。
）=n!
an,
从而有
1a3二—《3!
fix。
）^評愉）
1”
ao=f（x。
）a1f（x。
）.22!
（冷）
ak1f（k）（x。
）
k!
（k=。
.1.2,』），
2El
于是就有
+-f"
（x。
）Pn（x）-f（x。
）f（X。
）（x-x。
）2!
（x-x。
）爲n!
泰勒中值定理如果函数f（x）在含有X0的某个开区间（a.b）内具有直到（n1）的阶导数.
则当x在（ab）内时f（x）可以表示为（x_x。
）的一个n次多项式与一个余项Rn（x）之和
f（x）=f（X。
）f（Sx-X。
）1f（Sx-X。
）2Vf（n）（Xo）（X-Xo）nRn（x）
2!
n!
（x-x°
）n1（•介于X0与X之间）.
fX（©
Rn（x）=
其中（n1）!
这里
多项式
Pn（X）=f（X。
）f（X°
）（X-X。
）扌f（X°
）2
称为函数f（x）按（X*。
）的幕展开的n次近似多项式.公式
f（X）=f（X。
）f（Xo）（x-X。
）2if（Xo）（x-x。
2•1^（x。
*-X。
）"
Rn（x）
n!
称为f（x）按（x—x。
）的幕展开的n阶泰勒公式.而Rn（x）的表达式
f（n卅）（©
」
FUx）丿H（x-初1
（介于X与X0之间）.
称为拉格朗日型余项.
当n=。
时.泰勒公式变成拉格朗日中值公式：
f（x）=f（x。
）f（）（x-x。
）（在X0与X之间）.
因此.泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广
如果对于某个固定的n.当x在区间（a.b）内变动时.|f（n41）（x）|总不超过一个常数M.则有
估计式：
lim^-=。
及Xfo（x-Xj）n_
可见.妆XrX。
时.误差|Rn（x）|是比（X-X°
）n高阶的无穷小.即Rn（X）P[（X-Xo）n].
2十f（n）（Xo）（X-x0）no[（x-Xo）n]
在不需要余项的精确表达式时n阶泰勒公式也可写成
f（X）=f（X。
）f（X3）（X-X。
）ffg）（X-x。
当X。
R时的泰勒公式称为麦克劳林公式.就是
XnRn（X）
f（x）f（0）f（o）xx2
-2Bx「0（xn）
或f（x>
f（O）f（0）x■f^!
0）x2-
f（n1）（）
R（x）=f口xn1其中（n1）!
f（x）、f（0）仁叽守好-n!
f（n）（O）xn
由此得近似公式：
误差估计式变为：
|Rn（x）U（nMi）!
|xn1
例1.写出函数f（x）=ex的n阶麦克劳林公式解:
因为f（x）=f（x）f（x）f（n）（x）=ex.
所以f（0）f（0）=f（0）f（n）（0）=1.
”亠eXad+x」x2+…+1xn
并有2n!
Ix|n1
当x=1时.可得e的近似式
这时所产性的误差为
|Rn（X）|=|（n1）!
Xn1|<
（n1）!
亠<
丄
其误差为|Rn|<
（n1）!
.
例2.求f（x）=sinx的n阶麦克劳林公式，
解：
因为
f（x）=cosx.f（x）--sinxf（x）--cosx.
f（4）（x）二sinx...f叫x）=sin（xnR
f（0）=0f（0）=1f（0^0f（0^-1f（4）（0^0.
曰sinx=x2x?
专x5+"
^21）1!
x2m^+R2m（x）
'
丁•^是3.5（2m1）■”
当mH、2、3时.有近似公式
13131»
5
siix:
Xx3siix:
xx3x5
sinxx3!
3!
5!
3.4函数单调性与曲线的凹凸性
一、函数单调性的判定法
如果函数y斗（x）在［ab］上单调增加（单调减少）.那么它的图形是一条沿x轴正向上升
（下降）的曲线.这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）.即yV（x）0（/4（x）乞0）.由此可见.函数的单调性与导数的符号有着密切的关系
反过来.能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？
定理1（函数单调性的判定法）设函数y=f（x）在［a.b］上连续.在（ab）内可导
（1）如果在（a.b）内f（x）・0.那么函数y=f（x）在［ab］上单调增加-
⑵如果在（a.b）内f（x）：
0.那么函数y=f（x）在［ab］上单调减少.
证明只证
（1），在［ab］上任取两点xiX2（xi：
X2）.应用拉格朗日中值定理.得到
f（X2）-f（Xl）=f〔2）（x2点1）（Xi£
^<
x2）,
由于在上式中.X2莎0.因此.如果在（a.b）内导数f（x）保持正号.即f（x）.0.那么也有f（）0.于是
f（X2）」（X1）=f"
（©
（X2_X1）>
0.
即f（x1）：
f（X2）.
这函数y=f（x）在［ab］上单调增加，
注：
判定法中的闭区间可换成其他各种区间
例1判定函数y承-sinx在［0.2罚上的单调性，
解因为在（0.2H）内
yV-cosx0.
所以由判定法可知函数y=x_cosx在［0.2二］上的单调增加，例2讨论函数y=ex-x-1的单调性，（没指明在什么区间怎么办？
）
解y£
X-1.
函数y=ex$_1的定义域为（-二；
），因为在（；
.0）内y.所以函数y=ex-x-1在（二.0］上单调减少•因为在（0.；
）内y0.所以函数y二eX_x_1在［0.匚）上单调增加，
例3.讨论函数y=3x2的单调性，
函数的定义域为（-：
.；
）,当时.函数的导数为
*2
y3一
3/x（x勿）.函数在x=0处不可导,
当x=0时.函数的导数不存在，
因为x：
0时y：
0.所以函数在（-：
，0］上单调减少•因为x0时y0.所以函数在［0,：
）上单调增加.如果函数在定义区间上连续.除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续.那么只要
用方程f（x）=0的根及导数不存在的点来划分函数f（x）的定义区间.就能保证「（x）在各个部分
区间内保持固定的符号.因而函数f（x）在每个部分区间上单调.
例4.确定函数f（x）=2x3-9x212^3的单调区间.
解这个函数的定义域为：
（；
、；
），
函数的导数为:
f（x）=6x2-18x12二6（x-1）（x~2）.导数为零的点有两个：
X1=1、X2=2
列表分析：
（71]
[1:
2]
[2H）
「（X）
+
—
f（x）
/
函数f（x）在区间（严1］和［2.，七c）内单调增加.在区间［1.2］上单调减少
例5■讨论函数y^x3的单调性.
解函数的定义域为：
（严宓）,
函数的导数为：
y=X2.除当x=0时.yN外.在其余各点处均有y—0.因此函数
y次3在区间（-岂0］及［0.；
）内都是单调增加的，从而在整个定义域：
（巴"
号内是单调增加的.在x=0处曲线有一水平切线.
一般地.如果f（x）在某区间内的有限个点处为零.在其余各点处均为正（或负）时.那
么f（x）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的
2奴>
3」
例6•证明：
当x1时.x.
证明：
令^"
"
-（记）.则
吶订十宅以*1'
因为当X1时.f（x）o.因此f（x）在［1,■：
）上f（X）单调增加.从而当X1时f（x）f
（1）.由于f
（1）P.故f（x）.f
（1）P.即
2.x-（3-1）0
X
、2/x》3_丄
也就是x（x1）,
二、曲线的凹凸与拐点
那么称f（x）在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）•如果恒有
f（为X2）f（X1）f（X2）
（2）2
那么称f（x）在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）.
定义.设函数y二f（x）在区间I上连续.如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的上方，则称该曲线在区间I上是凹的；
如果函数的曲线位于其上任意一点的切线的下方，则称该曲线在区间I上是凸的，
凹凸性的判定：
定理设f（x）在［a.b］上连续.在（ab）内具有一阶和二阶导数.那么
（1）若在（ab）内f“（x）>
0.则f（x）在［ab］上的图形是凹的•
⑵若在（a.b）内f“（x）<
0.则f（x）在［ab］上的图形是凸的，
x1x2Xo=
简要证明只证
（1）.设X1，X2X1.X2［a.b］.且X1：
X2.记2.
由拉格朗日中值公式.得
Xi：
1：
Xo
Xo:
2：
X
f（Xd-f（Xo）=f
（1）（X1-Xo）=f（f（X2）-f（Xo）=f
（2）（X2-Xo^f（
两式相加并应用拉格朗日中值公式得
f（xi）f（X2）-2f（xo）4f
（2）-f
（1）］X22Xl
f（）（2-1）宁。
■■
f（为）f区）f（X1X2）
即2
（2）.所以f（x）在［ab］上的图形是凹的.
拐点：
连续曲线y=f（x）上凹弧与凸弧的分界点称为这曲线的拐点确定曲线y=f（x）的凹凸区间和拐点的步骤：
（1）确定函数y=f（x）的定义域-
⑵求出在二阶导数厂（x）-
（3）求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点
（4）判断或列表判断.确定出曲线凹凸区间和拐点注：
根据具体情况
（1）（3）步有时省略，
y」
例1.判断曲线y=lnx的凹凸性，
因为在函数y=lnx的定义域（0.；
）内.y<
0.所以曲线y=lnx是凸的例2.判断曲线y=x3的凹凸性.
2
y=3xy=6x,
由y£
.得x=0.
因为当x<
0时.y“<
0.所以曲线在（-：
.0］内为凸的•
因为当x>
0时y、0.所以曲线在［0.；
）内为凹的，
32
例3.求曲线y=2x3x-2x14的拐点
y=6x6x-12
y:
J12x6T2（x｛）
x=—1
令厂£
.得2.
—丄_1_120丄
因为当X"
方时y：
0.当X时y..0所以点（-空2）是曲线的拐点例4.求曲线y=3x^4x31的拐点及凹、凸的区间
43
⑴函数y=3x-4x+1的定义域为（严讼）；
⑵y=12x3—12x2y£
6x2—24x=36x（x-2）
=2
⑶解方程厂£
.得x1=°
.X2乜.
（4）列表判断：
例5问曲线y决4是否有拐点？
解yNx3yT2x2.
当xP时.y“>
0.在区间（；
）内曲线是凹的.因此曲线无拐点.例6.求曲线y=3x的拐点.
解
（1）函数的定义域为（7佻=）-
卜1■■_2
⑵y%3x2.丫》9X3X2•
（3）无二阶导数为零的点•二阶导数不存在的点为x=0
⑷判断：
当x<
0当.y"
>
0；
当x>
0时.y"
<
0,因此.点（0:
0）曲线的拐点
3,5函数的极值与最大值最小值
一、函数的极值及其求法极值的定义：
定义设函数f（x）在区间（a,b）内有定义.xo三（a,b）,如果在xo的某一去心邻域内有f（x）：
f（xo）.则称f（xo）是函数f（x）的一个极大值•如果在xo的某一去心邻域内有f（x）.f（Xo）.则
称f（xo）是函数f（x）的一个极小值，
设函数f（x）在点xo的某邻域U（xo）内有定义.如果在去心邻域U（xo）内有f（x）<
f（xo）（或
f（x）f（xo））.
则称f（xo）是函数f（x）的一个极大值（或极小值），
函数的极大值与极小值统称为函数的极值.使函数取得极值的点称为极值点，
函数的极大值和极小值概念是局部性的.如果f（xo）是函数f（x）的一个极大值.那只是就
xo附近的一个局部范围来说.f（xo）是f（x）的一个最大值•如果就f（x）的整个定义域来说.f（xo）不一定是最大值，关于极小值也类似，
极值与水平切线的关系：
在函数取得极值处.曲线上的切线是水平的，但曲线上有水平
切线的地方.函数不一定取得极值.
定理1（必要条件）设函数f（x）在点xo处可导.且在xo处取得极值.那么这函数在xo处的导数为零.即f（xo）£
证为确定起见.假定f（xo）是极大值（极小值的情形可类似地证明）.根据极大值的定义.在Xo的某个去心邻域内.对于任何点xf（x）:
f（xo）均成立，于是
当x：
xo时
f（x）—f（xo）>
o
X-Xo
=limf（x）-f（xo）知因此f（xo）x旳一X-Xo
当X>
f（x）—f（Xo）oX-Xo
‘f（x）-f（x）/
因此X%X-Xo
.在Xo的某个去心邻域内有f（x）：
从而得到f"
（Xo）=o,
假定f（xo）是极大值，根据极大值的定义
f（xo）=fglim
f（X）-f（Xo）
-x_Xo
f（xo），于是
、tf（x）-f（xo）”
同时
f（Xo）"
（Xo）=lim-_o
xjxoX—Xo
从而得到f（X。
）=o,
驻点：
使导数为零的点（即方程f（x）=o的实根）叫函数f（x）的驻点，定理1就是说：
可导函数f（x）的极值点必定是函数的驻点，但的过来.函数f（x）的驻点却不一定是极值点，
考察函数f（x）=x3在x=o处的情况•
定理2（第一种充分条件）设函数f（x）在点xo的一个邻域内连续.在Xo的左右邻域内可导
（1）如果在xo的某一左邻域内f"
（x）>
o.在Xo的某一右邻域内f"
（x）<
o.那么函数f（x）在Xo
处取得极大值-
（2）如果在xo的某一左邻域内f"
€.那么函数f（x）在Xo处取得极小值•
⑶如果在xo的某一邻域内f"
（X）不改变符号.那么函数f（x）在Xo处没有极值.
定理2•（第一种充分条件）设函数f（x）在含xo的区间（a,b）内连续.在（a,Xo）及（xo,b）内可导•
（1）如果在（a,xo）内f（x）o.在（xo,b）内f（x）：
o.那么函数f（x）在xo处取得极大值
（2）如果在（a,xo）内f（x）.在（xo,b）内f（x）o.那么函数f（x）在xo处取得极小值-
（3）如果在（a,xo）及（xo,b）内f（x）的符号相同.那么函数f（x）在xo处没有极值，定理2（第一充分条件）设函数f（x）在xo连续.且在xo的某去心邻域（xo「.xo）一（xo.xo,.）
内可导.
（1）如果在（xo-xo）内f（x）o.在（xo.xo•、：
）内f（x）：
0.那么函数f（x）在xo处取得极大值⑵如果在（Xo_「.Xo）内f（x
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