全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题.docx

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全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题

2010年全国高中数学联赛新疆维吾尔自治区预赛试题

考试时间：

2010年5月23日10：

00－12：

00

一、填空题（每题10分，80分）

1、由曲线

所围成的几何图形的面积为。

2、设实数x，y满足

，则x＋y＝。

3、已知

且

，则存在整数

，使下列等式成立的有个。

①

②

③

④

4、已知平面上两定点A（－3，0），B（0，－4），P为曲线

上任意一点，过点P作PC⊥x轴，PD⊥y轴，垂足分别为C,D，则四边形ABCD面积S的最小值为。

5、已知

均为正实数，且满足

，则

＝。

6、已知

是互不相同的n个正整数，且满足

，则正整数n的最大值为。

7、已知函数

，若m＝

，n＝

，则m＋n＝。

8、已知半径为r的球和半径为R的两个相切的球都相切，且它们都与大小为60°的二面角的两个半平面相切，则

＝。

二、解答题（本大题共4小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤）

9、（本题15分）已知三棱锥S-ABC中，SC⊥平面ABC，AB=BC=CA=

，SC＝2，D,E分别为AB，BC的中点，若点P在SE上移动，求△PCD面积的最小值。

10、（本题20分）已知定点M（－3，0），P，Q分别是x轴及y轴上的动点，且使MP⊥PQ，点N在直线PQ上，

（1）求动点N的轨迹C的方程

（2）过点T（－1，0）作直线

交轨迹C于A,B两点，问在x轴上是否存在一点D使△ABD为等边三角形，若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。

11、（本题20分）已知数列

满足

（1）求

的通项公式，并证明对任意的x＞0，

（2）求证

12、（本题15分）平面上有n

个不共线的点

，在每个点

旁标注数字

，如果一条直线通过这些点中的两个或者更多个时，则这些点旁所标注的数字之和为零，证明：

所有标注的数字都为零。