初一数学三角形与全等三角形知识点大全经典练习含答案Word格式.docx

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三角形三个内角的和等于180度。

证明方法：

利用平行线性质

2、三角形的外角：

三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角

3、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和

4、三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角

5、三角形的外角和为360度

6、等腰三角形两个底角相等

三、多边形及其内角和

1、多边形：

在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形

2、N边形：

如果一个多边形由N条线段组成，那么这个多边形就叫做N边形。

3、内角：

多边形相邻两边组成的角叫做它的内角

4、外角：

多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角

5、对角线：

连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线

6、正多边形：

各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形

7、多边形的内角和：

n边形内角和等于（n-2）*180

8、多边形的外角和：

360度

注：

有些题，利用外角和，能提升解题速度

9、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，它们将n边形分成n-2个△

探索题型中，一定要注意是否是从N边形顶点出发，不要盲目背诵答案

10、从n边形的一个顶点出发，可以引n-3条对角线，n边形共有对角线

条。

全等三角形复习

一、全等三角形

能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。

一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。

2、全等三角形有哪些性质

（1）：

全等三角形的对应边相等、对应角相等。

（2）：

全等三角形的周长相等、面积相等。

（3）：

全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。

3、全等三角形的判定

边边边：

三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“SSS”）

边角边:

两边和它们的夹角对应相等两个三角形全等（可简写成“SAS”）

角边角:

两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“ASA”）

角角边:

两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可简写成“AAS”）

斜边.直角边：

斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“HL”）

4、证明两个三角形全等的基本思路：

二、角的平分线：

熟悉基本图形

1、（性质）角的平分线上的点到角的两边的距离相等.

2、（判定）角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

三、学习全等三角形应注意以下几个问题：

（1）要正确区分“对应边”与“对边”，“对应角”与“对角”的不同含义；

（2表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；

（3）“有三个角对应相等”或“有两边及其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；

（4）时刻注意图形中的隐含条件，如“公共角”、“公共边”、“对顶角”

轴对称

一、轴对称图形

1.把一个图形沿着一条直线折叠，如果直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形就叫做轴对称图形。

这条直线就是它的对称轴。

这时我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。

2.把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能与另一个图形完全重合，那么就说这两个图关于这条直线对称。

这条直线叫做对称轴。

折叠后重合的点是对应点,叫做对称点

3、轴对称图形和轴对称的区别与联系

4.轴对称的性质

①关于某直线对称的两个图形是全等形。

②如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

③轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。

④如果两个图形的对应点连线被同条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。

二、线段的垂直平分线熟悉基本图形比较区分角平分线模型

1.经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，也叫中垂线。

2.线段垂直平分线上的点与这条线段的两个端点的距离相等

3.与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上

三、用坐标表示轴对称小结：

在平面直角坐标系中，关于x轴对称的点横坐标相等,纵坐标互为相反数.关于y轴对称的点横坐标互为相反数,纵坐标相等.

点（x,y）关于x轴对称的点的坐标为______.

点（x,y）关于y轴对称的点的坐标为______.

2.三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等

四、（等腰三角形）知识点回顾

1.等腰三角形的性质

①.等腰三角形的两个底角相等。

（等边对等角）

②.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

（三线合一）

2、等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

（等角对等边）

五、（等边三角形）知识点回顾

1.等边三角形的性质：

等边三角形的三个角都相等，并且每一个角都等于600。

2、等边三角形的判定：

①三个角都相等的三角形是等边三角形。

②有一个角是600的等腰三角形是等边三角形。

3.在直角三角形中，如果一个锐角等于300，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

4.直角三角形，斜边上的中线等于斜边的一半、

全等三角形练习

一、填空题（每小题2分，共20分）

1.如图，△ABC≌△DEB，AB=DE，∠E=∠ABC，则∠C的对应角为，BD的对应边为.

2.如图，AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌△，理由是，△ABE≌△，理由是.

（第1题）（第2题）（第4题）

3.已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是

cm.

4.如图，AD、A´

D´

分别是锐角△ABC和△A´

B´

C´

中BC与B´

边上的高，且AB=A´

，AD=A´

，若使△ABC≌△A´

，请你补充条件（只需填写一个你认为适当的条件）

5.若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、或与另一个三角形完全重合.

6.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝___________度

（第6题）（第7题）（第8题）

7．已知：

如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，则DN＋MN的最小值为__________．

8．如图，在△ABC中，∠B＝90o，D是斜边AC的垂直平分线与BC的交点，连结AD，若∠DAC：

∠DAB＝2：

5，则∠DAC＝___________．

9．等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90o，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB＋AD＝8cm，则底边BC上的高为___________．

10．锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝__________度．

（第9题）（第10题）（第13题）

二、选择题（每小题3分，共30分）

11．已知在△ABC中，AB=AC，∠A=56°

，则高BD与BC的夹角为（）

A．28°

B．34°

C．68°

D．62°

12．在△ABC中，AB=3，AC=4，延长BC至D，使CD=BC，连接AD，则AD的长的取值范围为（）

A．1＜AD＜7B．2＜AD＜14C．2.5＜AD＜5.5D．5＜AD＜11

13．如图，在△ABC中，∠C=90°

，CA=CB，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AB=6，则△DEB的周长为（）

A．4B．6C．8D．10

14．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下，则说明

∠A′O′B′＝∠AOB的依据是

A．（S．S．S．）B．（S．A．S．）

C．（A．S．A．）D．（A．A．S．

15.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（）

A.∠α=60º

，∠α的补角∠β=120º

，∠β>

∠α

B.∠α=90º

，∠α的补角∠β=900º

，∠β=∠α

C.∠α=100º

，∠α的补角∠β=80º

，∠β<

D.两个角互为邻补角

16.△ABC与△A´

中，条件①AB=A´

，②BC=B´

，③AC=A´

，④∠A=∠A´

，⑤∠B=∠B´

，⑥∠C=∠C´

，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A´

的是（）

A.①②③　　B.①②⑤C.①③⑤D.②⑤⑥

17．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（）

A．7对B．6对C．5对D．4对

18．如图，在△ABC中，∠C=90°

，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△DEB的周长为10cm，则斜边AB的长为（）

A．8cmB．10cmC．12cmD．20cm

19．如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，AB＜BD，若△ABC不动，将△BDE绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）

A．AE=CDB．AE＞CDC．AE＜CDD．无法确定

20．已知∠P=80°

，过不在∠P上一点Q作QM，QN分别垂直于∠P的两边，垂足为M，N，则∠Q的度数等于（）

A．10°

B．80°

C．100°

D．80°

或100°

三、解答题（每小题5分，共30分）

21.如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为，

你得到的一对全等三角形是

.

（第21题）

22.如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明.①AB=AC，②DE=DF，③BE=CF，

已知：

EG∥AF，=，=，

求证：

证明：

（第22题）

23.如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.

①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF

（第23题）

24.如图，四边形ABCD中，点E在边CD上.连结AE、BF，给出下列五个关系式：

①AD∥BC；

②DE=CE③.∠1=∠2④.∠3=∠4.⑤AD+BC=AB将其中的三个关系式作为假设，另外两个作为结论，构成一个命题.

（1）用序号写出一个真命题，书写形式如：

如果……，那么……，并给出证明；

（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）；

（3）真命题不止以上四个，想一想就能够多写出几个真命题

25.已知，如图，D是△ABC的边AB上一点,DF交AC于点E,DE=FE,AB∥FC.问线段AD、CF的长度关系如何？

请予以证明.

（第25题）

26.如图，已知ΔABC是等腰直角三角形，∠C=90°

.

（1）操作并观察，如图，将三角板的45°

角的顶点与点C重合，使这个角落在∠ACB的内部，两边分别与斜边AB交于E、F两点，然后将这个角绕着点C在∠ACB的内部旋转，观察在点E、F的位置发生变化时，AE、EF、FB中最长线段是否始终是EF？

写出观察结果.

（2）探索：

AE、EF、FB这三条线段能否组成以EF为斜边的直角三角形？

如果能，试加以证明.

四、探究题（每题10分，共20分）

27.如图①，OP是∠MON的平分线，请你利用该图形画一对以OP所在直线为对称轴的全等三角形.请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：

（1）如图②，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°

，AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，AD、CE相交于点F.请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；

（2）如图③，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而

（1）中的其它条件不变，请问，你在

（1）中所得结论是否仍然成立？

若成立，请证明；

若不成立，请说明理由.

28.如图a，△ABC和△CEF是两个大小不等的等边三角形，且有一个公共顶点C，连接AF和BE.

（1）线段AF和BE有怎样的大小关系?

请证明你的结论；

（2）将图a中的△CEF绕点C旋转一定的角度，得到图b，

（1）中的结论还成立吗?

作出判断并说明理由；

　　（3）若将图a中的△ABC绕点C旋转一定的角度，请你画山一个变换后的图形（草图即可），

（1）中的结论还成立吗?

作出判断不必说明理由；

（4）根据以上证明、说理、画图，归纳你的发现）.

　　图a图b

参考答案

一、1.∠DBE，CA2.△ACE，SAS，△ACD，ASA（或SAS）3.6

4.CD=C´

（或AC=A´

，或∠C=∠C´

或∠CAD=∠C´

A´

）5.平移，翻折6.90

7.108.20º

9.

10.45

二、11.A12.D13.B14.A15.C16.C17.A18.B19.A20.D

三、21.可选择

等条件中的一个.可得到△ACE≌△ADE或△ACB≌△ADB等.

22.结合图形，已知条件以及所供选择的3个论断，认真分析它们之间的内在联系

可选①AB=AC，②DE=DF，作为已知条件，③BE=CF作为结论；

推理过程为：

∵EG∥AF，∴∠GED=∠CFD，∠BGE=∠BCA，∵AB=AC，∴∠B=∠BCA，

∴∠B=∠BGE∴BE=EG，在△DEG和△DFC中，∠GED=∠CFD，DE=DF，∠EDG=∠FDC，∴△DEG≌△DFC，∴EG=CF，而EG=BE，∴BE=CF；

若选①AB=AC，③BE=CF为条件，同样可以推得②DE=DF，

23.结合图形，认真分析所供选择的4个论断之间的内在联系

由④BE=CF还可推得BC=EF，根据三角形全等的判定方法，可选论断：

①AB=DE，②AC=DF，④BE=CF为条件，根据三边对应相等的两个三角形全等可以得到：

△ABC≌△DEF，进而推得论断③∠ABC=∠DEF，

同样可选①AB=DE，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF为条件，根据两边夹角对应相等的两个三角形全等可以得到：

△ABC≌△DEF，进而推得论断②AC=DF.

24.

（1）如果①②③，那么④⑤

证明：

如图，延长AE交BC的延长线于F因为AD∥BC所以∠1=∠F

又因为∠AED=∠CEF，DE=EC所以△ADE≌△FCE，所以AD=CF,AE=EF

因为∠1=∠F,∠1=∠2所以∠2=∠F所以AB=BF.所以∠3=∠4

所以AD+BC=CF+BC=BF=AB

（2）如果①②④，那么③⑤;

如果①③④，那么②⑤;

如果①③⑤，那么②④.

（3）如果①②⑤，那么③④;

如果②④⑤，那么①③;

如果③④⑤，那么①②.

25.

（1）观察结果是：

当45°

角的顶点与点C重合，并将这个角绕着点C在重合，并将这个角绕着点C在∠ACB内部旋转时，AE、EF、FB中最长的线段始终是EF.

（2）AE、EF、FB三条线段能构成以EF为斜边的直角三角形，证明如下：

在∠ECF的内部作∠ECG=∠ACE，使CG=AC，连结EG，FG，∴ΔACE≌ΔGCE，∴∠A=∠1，同理∠B=∠2，∵∠A+∠B=90°

，∴∠1+∠2=90°

，

∴∠EGF=90°

，EF为斜边.

四、27.

（1）FE与FD之间的数量关系为FE=FD

（2）答：

（1）中的结论FE=FD仍然成立

图①图②

证法一：

如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG

∵∠1=∠2，AF=AF，AE=AG∴△AEF≌△AGF

∴∠AFE=∠AFG，FG=FE∵∠B=60°

且AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线

∴∠2+∠3=60°

，∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°

∴∠CFG=60°

∵∠4=∠3，CF=CF，

图⑤

∴△CFG≌△CFD∴FG=FD∴FE=FD

证法二：

如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H

∵∠B=60°

∴∠GEF=60°

+∠1,FG=FH

∵∠HDF=∠B+∠1∴∠GEF=∠HDF∴△EGF≌△DHF∴FE=FD

28.

（1）AF=BE.　　

　证明：

在△AFC和△BEC中，　∵△ABC和△CEF是等边三角形，

∴AC=BC，CF=CE，∠ACF=∠BCE=60.∴△AFC≌△BEC.∴AF=BE.　　

（2）成立.　理由：

在△AFC和△BEC中，∵△ABC和△CEF是等边三角形，

　∴AC=BC，CF=CE，∠ACB=∠FCE=60°

.∴∠ACB-∠FCB=∠FCE-∠FCB.

　　即∠ACF=∠BCE.∴△AFC≌△BEC.∴AF=BE.　

（3）此处图形不惟一，仅举几例.　　　

如图，

（1）中的结论仍成立.　　

　　　　　（4）根据以上证明、说明、画图，归纳如下：

如图a，大小不等的等边三角形ABC和等边三角形CEF有且仅有一个公共顶点C，

则以点C为旋转中心，任意旋转其中一个三角形，都有AF=BE.