冀教版九年级数学下册第30章达标检测卷及答案.docx
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冀教版九年级数学下册第30章达标检测卷及答案
第三十章达标检测卷
（120分，90分钟）
题 号
一
二
三
总 分
得 分
一、选择题（每题3分，共48分）
1．下列函数中是二次函数的是（ ）
A．y＝3x－1B．y＝3x2－1C．y＝（x＋1）2－x2D．y＝
2．点A（2，3）在函数y＝ax2－x＋1的图像上，则a等于（ ）
A．1B．－1C．2D．－2
3．对于二次函数y＝3（x－2）2＋1的图像，下列说法正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线x＝－2
C．顶点坐标是（2，1）D．与x轴有两个交点
4．y＝x2－1可由下列哪一个函数的图像向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度得到？
（ ）
A．y＝（x－1）2＋1B．y＝（x＋1）2＋1
C．y＝（x－1）2－3D．y＝（x＋1）2＋3
5．二次函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴的交点个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
6．二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像上部分点的坐标满足下表：
x
…
－3
－2
－1
0
1
…
y
…
－3
－2
－3
－6
－11
…
则该函数图像的顶点坐标为（ ）
A．（－3，－3）B．（－2，－2）C．（－1，－3）D．（0，－6）
7．在同一坐标系中，与函数y＝2x2的图像关于x轴对称的函数为（ ）
A．y＝
x2B．y＝－
x2C．y＝－2x2D．y＝－x2
8．二次函数y1＝ax2－x＋1的图像与y2＝－2x2的图像形状、开口方向相同，只是位置不同，则二次函数y1＝ax2－x＋1的图像的顶点坐标是（ ）
A.
B.
C.
D.
9．若A
，B
，C
为二次函数y＝x2＋4x－5的图像上的三点，则y1，y2，y3的大小关系是（ ）
A．y1＞y2＞y3B．y2＞y1＞y3C．y3＞y1＞y2D．y1＞y3＞y2
10．函数y＝ax＋b和y＝ax2＋bx＋c在同一直角坐标系内的图像可能是（ ）
11．已知函数y＝x2＋bx＋c的部分图像如图所示，若y＜0，则x的取值范围是（ ）
A．－1＜x＜4B．－1＜x＜3C．x＜－1或x＞4D．x＜－1或x＞3
（第11题）
（第12题）
（第13题）
（第14题）
（第15题）
12．如图，从地面竖直向上抛出一个小球，小球的高度h（单位：
m）与小球运动时间t（单位：
s）之间的关系式为h＝30t－5t2，那么小球从抛出至回落到地面所需要的时间是（ ）
A．6sB．4sC．3sD．2s
13．如图，老师出示了小黑板上的题后，小华说：
过点（3，0）；小彬说：
过点（4，3）；小明说：
a＝1；小颖说：
抛物线被x轴截得的线段长为2.你认为四人的说法中，正确的有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
14．如图，Rt△OAB的顶点A（－2，4）在抛物线y＝ax2上，将Rt△OAB绕点O顺时针旋转90°，得到△OCD，边CD与该抛物线交于点P，则点P的坐标为（ ）
A．（
，
）B．（2，2）C．（
，2）D．（2，
）
15．如图，抛物线y＝－x2＋2x＋m＋1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D.下列四个判断：
①当x＞0时，y＞0；②若a＝－1，则b＝4；③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1＋x2＞2，则y1＞y2；④点C关于抛物线对称轴对称的点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6
.其中正确判断的序号是（ ）
A．①B．②C．③D．④
16．如图，已知△ABC为等边三角形，AB＝2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD＝x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图像是（ ）
（第16题）
二、填空题（每题3分，共12分）
17．如图，二次函数y＝x2－x－6的图像交x轴于A，B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为________．
18．已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴一个交点的坐标为（－1，0），则一元二次方程ax2－2ax＋c＝0的根为____________．
（第17题）
（第19题）
（第20题）
19．如图，已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0）与一次函数y2＝kx＋m（k≠0）的图像相交于点A（－2，4），B（8，2），则能使y1＞y2成立的x的取值范围是______________．
20．如图是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4m时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m，当水面下降1m时，水面的宽度为________．
三、解答题（21题6分，22、23题每题8分，26题每题14分，其余每题12分，共60分）
21．如图，已知二次函数y＝ax2－4x＋c的图像经过点A和点B.
（1）求该二次函数的表达式，写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；
（2）若点P（m，m）在该函数的图像上，求m的值．
（第21题）
22．如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以每秒2cm的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以每秒1cm的速度匀速运动（点P，Q中有一点到达矩形顶点，则运动停止）．设运动时间为x秒，△PBQ的面积为ycm2.
（1）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（2）求△PBQ的最大面积．
（第22题）
23．如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽为20m，如果水位上升3m，那么水面CD的宽是10m.
（1）建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的表达式；
（2）当水位在正常水位时，有一艘宽为6m的货船经过这里，船舱上有高出水面3.6m的长方体货物（货物与货船同宽）．此船能否顺利通过这座拱桥？
（第23题）
24．若两个二次函数图像的顶点、开口方向都相同，则称这两个二次函数为“同簇二次函数”．
（1）请写出两个为“同簇二次函数”的函数；
（2）已知关于x的二次函数y1＝2x2－4mx＋2m2＋1和y2＝ax2＋bx＋5，其中y1的图像过点A（1，1），若y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，求函数y2的表达式，并求出当0≤x≤3时，y2的最大值．
25．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，某环保节能设备生产企业的产品供不应求．若该企业的某种环保设备每月的产量保持在一定的范围，每套产品的生产成本不高于50万元，每套产品的售价不低于90万元．已知这种设备的月产量x（套）与每套的售价y1（万元）的关系是y1＝170－2x，月产量x（套）与生产总成本y2（万元）存在如图所示的函数关系．
（1）直接写出y2与x之间的函数表达式．
（2）求月产量x的范围．
（3）当月产量为多少时，这种设备的月利润最大？
最大月利润是多少？
（第25题）
26．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，直线y＝－2x－1与y轴交于点A，与直线y＝－x交于点B，点B关于原点的对称点为点C.
（1）求过A，B，C三点的抛物线对应的函数表达式．
（2）P为抛物线上一点，它关于原点的对称点为Q.
①当四边形PBQC为菱形时，求点P的坐标．
②若点P的横坐标为t（－1＜t＜1），当t为何值时，四边形PBQC的面积最大？
请说明理由．
（第26题）
答案
一、1.B 2.A 3.C 4.B 5.B
6．B 点拨：
因为x＝－3和x＝－1时的函数值相等，所以二次函数图像的对称轴为直线x＝－2，进而由表中数值得到图像的顶点坐标为（－2，－2）．
7．C 8.B 9.D
10．C 11.B 12.A 13.C
14．C 点拨：
将A（－2，4）的坐标代入y＝ax2，得4＝a×（－2）2，解得：
a＝1，∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2.
∵Rt△OAB的顶点A的坐标为（－2，4），∴OB＝OD＝2，CD∥x轴，∴点D和点P的纵坐标均为2.
令y＝2，得2＝x2，解得：
x＝±
.
∵点P在第一象限，∴点P的坐标为（
，2），故选C.
15．C 16.A
二、17.15 18.x1＝－1，x2＝3
19．x＜－2或x＞8 20.2
m
三、21.解：
（1）将A（－1，－1），B（3，－9）的坐标分别代入，得
解得
∴该二次函数的表达式为y＝x2－4x－6.
∵y＝x2－4x－6＝（x－2）2－10，
∴该抛物线的对称轴为x＝2，
顶点坐标为（2，－10）．
（2）∵点P（m，m）在该函数的图像上，
∴m2－4m－6＝m.
∴m1＝6，m2＝－1.
∴m的值为6或－1.
22．解：
（1）∵S△PBQ＝
PB·BQ，
PB＝AB－AP＝18－2x，BQ＝x，
∴y＝
（18－2x）x，
即y＝－x2＋9x（0＜x≤4）．
（2）由
（1）知y＝－x2＋9x，
∴y＝－
＋
，
∵当0＜x≤
时，y随x的增大而增大，而0＜x≤4，
∴当x＝4时，y最大值＝20，即△PBQ的最大面积是20cm2.
23．解：
（1）设抛物线的表达式为y＝ax2.
∵抛物线关于y轴对称，AB＝20，
∴点B的横坐标为10.设点B（10，n），
则点D（5，n＋3）．
将B，D两点的坐标分别代入表达式，
得
解得
∴y＝－
x2.
（2）当x＝3时，y＝－
×9＝－
.
∵点B的纵坐标为－4，又|－4|－
＝3.64>3.6，
∴在正常水位时，此船能顺利通过这座拱桥．
24．分析：
（1）根据“同簇二次函数”的定义写出即可，答案不唯一．
（2）因为y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，所以其顶点坐标相同，可利用顶点式分别表示出y1＋y2和y1的表达式．根据y1＋y2与y1为“同簇二次函数”求出y2的表达式，然后根据其图像的特点，可知当x＝3时，有最大值，可以求出其最大值．
解：
（1）答案不唯一，如y1＝2x2，y2＝x2.
（2）∵函数y1的图像经过点A（1，1），
∴2－4m＋2m2＋1＝1，解得m＝1.
∴y1＝2x2－4x＋3＝2（x－1）2＋1.
方法一：
∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴可设y1＋y2＝k（x－1）2＋1（k>0），
则y2＝k（x－1）2＋1－y1＝（k－2）（x－1）2.
由题可知函数y2的图像经过点（0，5），则（k－2）×12＝5，
∴k－2＝5.∴y2＝5（x－1）2＝5x2－10x＋5.
当0≤x≤3时，根据函数y2的图像可知，y2的最大值＝5×（3－1）2＝20.
方法二：
y1＋y2＝（a＋2）x2＋（b－4）x＋8（a＋2>0），
∵y1＋y2与y1为“同簇二次函数”，
∴－
＝1，化简得b＝－2a.又
＝1，将b＝－2a代入，解得a＝5或－2（舍去），∴b＝－10.∴y2＝5x2－10x＋5.
当0≤x≤3时，根据函数y2的图像可知，y2的最大值＝5×32－10×3＋5＝20.
点拨：
本题为创新型综合性试题，解决本题的关键是结合题意并根据二次函数的图像和性质进行解答．
25．解：
（1）y2与x之间的函数表达式为y2＝500＋30x.
（2）依题意，得
解得25≤x≤40.
（3）设这种设备的月利润为w元，则w＝xy1－y2＝x（170－2x）－（500＋30x）＝－2x2＋140x－500，
∴w＝－2（x－35）2＋1950.
∵25<35<40,
∴当x＝35时，w最大＝1950.
即当月产量为35套时，这种设备的月利润最大，最大月利润是1950万元．
26．解：
（1）联立
解得
∴B点坐标为（－1，1）．
又C点为B点关于原点的对称点，
∴C点坐标为（1，－1）．
∵直线y＝－2x－1与y轴交于点A，
∴A点坐标为（0，－1）．
设抛物线对应的函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，
把A，B，C三点的坐标分别代入，得
解得
∴抛物线对应的函数表达式为y＝x2－x－1.
（2）①当四边形PBQC为菱形时，PQ⊥BC，
∵直线BC对应的函数表达式为y＝－x，
∴直线PQ对应的函数表达式为y＝x.
联立
解得
或
∴P点坐标为（1－
，1－
）或（1＋
，1＋
）．
②当t＝0时，四边形PBQC的面积最大．理由如下：
如图，过P作PD⊥BC，垂足为D，过P作x轴的垂线，交直线BC于点E，
则S四边形PBQC＝2S△PBC＝2×
BC·PD＝BC·PD.
∵线段BC的长固定不变，
∴当PD最大时，四边形PBQC的面积最大．
又∠PED＝∠AOC（固定不变），
∴当PE最大时，PD也最大．
∵P点在抛物线上，E点在直线BC上，
∴P点坐标为（t，t2－t－1），
E点坐标为（t，－t）．
∴PE＝－t－（t2－t－1）＝－t2＋1.
∴当t＝0时，PE有最大值1，此时PD有最大值，即四边形PBQC的面积最大．
（第26题）
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