离散数学必备知识点总结Word文件下载.docx

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②这几个子集相交为空，相并为全（A）；

6.集合的分划与覆盖的比较：

分划：

每个元素均应出现且仅出现一次在子集中；

覆盖：

只要求每个元素都出现，没有要求只出现一次；

第五章关系

1.若集合A有m个元素，集合B有n个元素，则笛卡尔A×

B的基数为mn，A到B上可以定义

种不同的关系；

2.若集合A有n个元素，则|A×

A|=

，A上有

个不同的关系；

3.全关系的性质：

自反性，对称性，传递性；

空关系的性质：

反自反性，反对称性，传递性；

全封闭环的性质：

自反性，对称性，反对称性，传递性；

4.前域（domR）：

所有元素x组成的集合；

后域（ranR）：

所有元素y组成的集合；

5.自反闭包：

r（R）=RU

;

对称闭包：

s（R）=RU

传递闭包：

t（R）=RU

U

U……

6.等价关系：

集合A上的二元关系R满足自反性，对称性和传递性，则R称为等价关系；

7.偏序关系：

集合A上的关系R满足自反性，反对称性和传递性，则称R是A上的一个偏序关系；

8.covA={<

x,y>

|x,y属于A，y盖住x}；

9.极小元：

集合A中没有比它更小的元素（若存在可能不唯一）；

极大元：

集合A中没有比它更大的元素（若存在可能不唯一）；

最小元：

比集合A中任何其他元素都小（若存在就一定唯一）；

最大元：

比集合A中任何其他元素都大（若存在就一定唯一）；

10.前提：

B是A的子集

上界：

A中的某个元素比B中任意元素都大，称这个元素是B的上界（若存在，可能不唯一）；

下界：

A中的某个元素比B中任意元素都小，称这个元素是B的下界（若存在，可能不唯一）；

上确界：

最小的上界（若存在就一定唯一）；

下确界：

最大的下界（若存在就一定唯一）；

第六章函数

1.若|X|=m,|Y|=n,则从X到Y有

种不同的关系，有

种不同的函数；

2.在一个有n个元素的集合上，可以有

种不同的函数，有n!

种不同的双射；

3.若|X|=m,|Y|=n，且m<

=n，则从X到Y有

种不同的单射；

4.单射：

f:

X-Y，对任意

属于X,且

≠

，若f（

）≠f（

）；

满射：

X-Y，对值域中任意一个元素y在前域中都有一个或多个元素对应；

双射：

X-Y，若f既是单射又是满射，则f是双射；

5.复合函数：

fº

g=g（f（x））;

6.设函数f:

A-B，g:

B-C，那么

①如果f,g都是单射，则fº

g也是单射；

②如果f,g都是满射，则fº

g也是满射；

③如果f,g都是双射，则fº

g也是双射；

④如果fº

g是双射，则f是单射，g是满射；

第七章代数系统

1.二元运算：

集合A上的二元运算就是

到A的映射；

2.集合A上可定义的二元运算个数就是从A×

A到A上的映射的个数，即从从A×

A到A上函数的个数，若|A|=2,则集合A上的二元运算的个数为

=16种；

3.判断二元运算的性质方法：

①封闭性：

运算表内只有所给元素；

②交换律：

主对角线两边元素对称相等；

③幂等律：

主对角线上每个元素与所在行列表头元素相同；

④有幺元：

元素所对应的行和列的元素依次与运算表的行和列相同；

⑤有零元：

元素所对应的行和列的元素都与该元素相同；

4.同态映射：

A,*>

<

B,^>

满足f（a*b）=f（a）^f（b）,则f为由<

到<

的同态映射；

若f是双射，则称为同构；

第八章群

1.广群的性质：

封闭性；

半群的性质：

封闭性，结合律；

含幺半群（独异点）：

封闭性，结合律，有幺元；

群的性质：

封闭性，结合律，有幺元，有逆元；

2.群没有零元；

3.阿贝尔群（交换群）：

封闭性，结合律，有幺元，有逆元，交换律；

4.循环群中幺元不能是生成元；

5.任何一个循环群必定是阿贝尔群；

第十章格与布尔代数

1.格：

偏序集合A中任意两个元素都有上、下确界；

2.格的基本性质：

1）自反性

a≤a对偶:

a≥a

2）反对称性

a≤b^b≥a=>

a=b

对偶:

a≥b^b≤a=>

3）传递性

a≤b^b≤c=>

a≤c

a≥b^b≥c=>

a≥c

4）最大下界描述之一

a^b≤a对偶avb≥a

A^b≤b对偶avb≥b

5）最大下界描述之二

c≤a,c≤b=>

c≤a^b

对偶c≥a,c≥b=>

c≥avb

6）结合律

a^（b^c）=（a^b）^c

对偶av（bvc）=（avb）vc

7） 

等幂律

a^a=a对偶ava=a

8）吸收律

a^（avb）=a对偶av（a^b）=a

9） 

a≤b<

=>

a^b=aavb=b

10）a≤c,b≤d=>

a^b≤c^davb≤cvd

11）保序性

b≤c=>

a^b≤a^cavb≤avc

12）分配不等式

av（b^c）≤（avb）^（avc）

对偶a^（bvc）≥（a^b）v（a^c）

13）模不等式

a≤c<

av（b^c）≤（avb）^c

3.分配格：

满足a^（bvc）=（a^b）v（a^c）和av（b^c）=（avb）^（avc）；

4.分配格的充要条件：

该格没有任何子格与钻石格或五环格同构；

5.链格一定是分配格，分配格必定是模格；

6.全上界：

集合A中的某个元素a大于等于该集合中的任何元素，则称a为格<

A,<

的全上界，记为1；

（若存在则唯一）

全下界：

集合A中的某个元素b小于等于该集合中的任何元素，则称b为格<

的全下界，记为0；

7.有界格：

有全上界和全下界的格称为有界格，即有0和1的格；

8.补元：

在有界格内，如果a^b=0,avb=1，则a和b互为补元；

9.有补格：

在有界格内，每个元素都至少有一个补元；

10.有补分配格（布尔格）：

既是有补格，又是分配格；

11.布尔代数：

一个有补分配格称为布尔代数；

第十一章图论

1.邻接：

两点之间有边连接，则点与点邻接；

2.关联：

两点之间有边连接，则这两点与边关联；

3.平凡图：

只有一个孤立点构成的图；

4.简单图：

不含平行边和环的图；

5.无向完全图：

n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单无向图；

有向完全图:

n个节点任意两个节点之间都有边相连的简单有向图；

6.无向完全图有n（n-1）/2条边，有向完全图有n（n-1）条边；

7.r-正则图：

每个节点度数均为r的图；

8.握手定理：

节点度数的总和等于边的两倍；

9.任何图中，度数为奇数的节点个数必定是偶数个；

10.任何有向图中，所有节点入度之和等于所有节点的出度之和；

11.每个节点的度数至少为2的图必定包含一条回路；

12.可达：

对于图中的两个节点

，若存在连接

到

的路，则称

与

相互可达，也称

是连通的；

在有向图中，若存在

可达；

13.强连通：

有向图章任意两节点相互可达；

单向连通：

图中两节点至少有一个方向可达；

弱连通：

无向图的连通；

（弱连通必定是单向连通）

14.点割集：

删去图中的某些点后所得的子图不连通了，如果删去其他几个点后子图之间仍是连通的，则这些点组成的集合称为点割集；

割点：

如果一个点构成点割集，即删去图中的一个点后所得子图是不连通的，则该点称为割点；

15.关联矩阵：

M（G），

是

关联的次数，节点为行，边为列；

无向图：

点与边无关系关联数为0，有关系为1，有环为2；

有向图：

点与边无关系关联数为0，有关系起点为1终点为-1，

关联矩阵的特点：

无向图：

①行：

每个节点关联的边，即节点的度；

②列：

每条边关联的节点；

有向图：

③所有的入度

（1）=所有的出度（0）;

16.邻接矩阵：

A（G），

邻接到

的边的数目，点为行，点为列；

17.可达矩阵：

P（G），至少存在一条回路的矩阵，点为行，点为列；

P（G）=A（G）+

（G）+

（G）

可达矩阵的特点：

表明图中任意两节点之间是否至少存在一条路，以及在任何节点上是否存在回路；

A（G）中所有数的和：

表示图中路径长度为1的通路条数；

（G）中所有数的和：

表示图中路径长度为2的通路条数；

表示图中路径长度为3的通路条数；

表示图中路径长度为4的通路条数；

P（G）中主对角线所有数的和：

表示图中的回路条数；

18.布尔矩阵：

B（G），

有路为1，无路则为0，点为行，点为列；

19.代价矩阵：

邻接矩阵元素为1的用权值表示，为0的用无穷大表示，节点自身到自身的权值为0；

20.生成树：

只访问每个节点一次，经过的节点和边构成的子图；

21.构造生成树的两种方法：

深度优先；

广度优先；

深度优先：

①选定起始点

②选择一个与

邻接且未被访问过的节点

③从

出发按邻接方向继续访问，当遇到一个节点所有邻接点均已被访问时，回到该节点的前一个点，再寻求未被访问过的邻接点，直到所有节点都被访问过一次；

广度优先：

②访问与

邻接的所有节点

……,

这些作为第一层节点；

③在第一层节点中选定一个节点

为起点；

④重复②③，直到所有节点都被访问过一次；

22.最小生成树：

具有最小权值（T）的生成树；

23.构造最小生成树的三种方法：

克鲁斯卡尔方法；

管梅谷算法；

普利姆算法；

（1）克鲁斯卡尔方法

①将所有权值按从小到大排列；

②先画权值最小的边，然后去掉其边值；

重新按小到大排序；

③再画权值最小的边，若最小的边有几条相同的，选择时要满足不能出现回路，然后去掉其边值；

④重复③，直到所有节点都被访问过一次；

（2）管梅谷算法（破圈法）

①在图中取一回路，去掉回路中最大权值的边得一子图；

②在子图中再取一回路，去掉回路中最大权值的边再得一子图；

③重复②，直到所有节点都被访问过一次；

（3）普利姆算法

①在图中任取一点为起点

，连接边值最小的邻接点

②以邻接点

为起点，找到

邻接的最小边值，如果最小边值比

邻接的所有边值都小（除已连接的边值），直接连接，否则退回

，连接

现在的最小边值（除已连接的边值）；

③重复操作，直到所有节点都被访问过一次；

24.关键路径

例2求PERT图中各顶点的最早完成时间,最晚完成时间,缓冲时间及关键路径.

解：

最早完成时间

TE（v1）=0

TE（v2）=max{0+1}=1

TE（v3）=max{0+2,1+0}=2

TE（v4）=max{0+3,2+2}=4

TE（v5）=max{1+3,4+4}=8

TE（v6）=max{2+4,8+1}=9

TE（v7）=max{1+4,2+4}=6

TE（v8）=max{9+1,6+6}=12

最晚完成时间

TL（v8）=12

TL（v7）=min{12-6}=6

TL（v6）=min{12-1}=11

TL（v5）=min{11-1}=10

TL（v4）=min{10-4}=6

TL（v3）=min{6-2,11-4,6-4}=2

TL（v2）=min{2-0,10-3,6-4}=2

TL（v1）=min{2-1,2-2,6-3}=0

缓冲时间

TS（v1）=0-0=0

TS（v2）=2-1=1

TS（v3）=2-2=0

TS（v4）=6-4=2

TS（v5=10-8=2

TS（v6）=11-9=2

TS（v7）=6-6=0

TS（v8）=12-12=0

关键路径:

v1-v3-v7-v8

25.欧拉路：

经过图中每条边一次且仅一次的通路；

欧拉回路：

经过图中每条边一次且仅一次的回路；

欧拉图：

具有欧拉回路的图；

单向欧拉路：

经过有向图中每条边一次且仅一次的单向路；

欧拉单向回路：

经过有向图中每条边一次且仅一次的单向回路；

26.

（1）无向图中存在欧拉路的充要条件：

①连通图；

②有0个或2个奇数度节点；

（2）无向图中存在欧拉回路的充要条件：

②所有节点度数均为偶数；

（3）连通有向图含有单向欧拉路的充要条件：

①除两个节点外，每个节点入度=出度；

②这两个节点中，一个节点的入度比出度多1，另一个节点的入；

度比出度少1；

（4）连通有向图含有单向欧拉回路的充要条件：

图中每个节点的出度=入度；

27.哈密顿路：

经过图中每个节点一次且仅一次的通路；

哈密顿回路：

经过图中每个节点一次且仅一次的回路；

哈密顿图：

具有哈密顿回路的图；

28.判定哈密顿图（没有充要条件）

必要条件：

任意去掉图中n个节点及关联的边后，得到的分图数目小于等于n；

充分条件：

图中每一对节点的度数之和都大于等于图中的总节点数；

29.哈密顿图的应用：

安排圆桌会议；

方法：

将每一个人看做一个节点，将每个人与和他能交流的人连接，找到一条经过每个节点一次且仅一次的回路（哈密顿图），即可；

30.平面图：

将图形的交叉边进行改造后，不会出现边的交叉，则是平面图；

31.面次：

面的边界回路长度称为该面的次；

32.一个有限平面图，面的次数之和等于其边数的两倍；

33.欧拉定理：

假设一个连通平面图有v个节点，e条边，r个面，则

v-e+r=2；

34.判断是平面图的必要条件：

（若不满足，就一定不是平面图）

设图G是v个节点，e条边的简单连通平面图，若v>

=3，则e<

=3v-6；

35.同胚：

对于两个图G1,G2，如果它们是同构的，或者通过反复插入和除去2度节点可以变成同构的图，则称G1，G2是同胚的；

36.判断G是平面图的充要条件：

图G不含同胚于K3.3或K5的子图；

37.二部图：

①无向图的节点集合可以划分为两个子集V1，V2；

②图中每条边的一个端点在V1，另一个则在V2中；

完全二部图：

二部图中V1的每个节点都与V2的每个节点邻接；

判定无向图G为二部图的充要条件：

图中每条回路经过边的条数均为偶数；

38.树：

具有n个顶点n-1条边的无回路连通无向图；

39.节点的层数：

从树根到该节点经过的边的条数；

40.树高：

层数最大的顶点的层数；

41.二叉树：

①二叉树额基本结构状态有5种；

②二叉树内节点的度数只考虑出度，不考虑入度；

③二叉树内树叶的节点度数为0，而树内树叶节点度数为1；

④二叉树内节点的度数=边的总数（只算出度）；

握手定理“节点数=边的两倍”是在同时计算入度和出度的时成立；

⑤二叉树内节点的总数=边的总数+1；

⑥位于二叉树第k层上的节点，最多有

个（k>

=1）；

⑦深度为k的二叉树的节点总数最多为

-1个，最少k个（k>

⑧如果有

个叶子，

个2度节点，则

+1；

42.二叉树的节点遍历方法：

先根顺序（DLR）；

中根顺序（LDR）；

后根顺序（LRD）；

43.哈夫曼树：

用哈夫曼算法构造的最优二叉树；

44.最优二叉树的构造方法：

①将给定的权值按从小到大排序；

②取两个最小值分支点的左右子树（左小右大），去掉已选的这两个权值，并将这两个最小值加起来作为下一轮排序的权值；

③重复②，直达所有权值构造完毕；

45.哈夫曼编码：

在最优二叉树上，按照左0右1的规则，用0和1代替所有边的权值；

每个节点的编码：

从根到该节点经过的0和1组成的一排编码；