高二数学上 94《三阶行列式》教案沪教版.docx
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高二数学上94《三阶行列式》教案沪教版
2019-2020年高二数学上9.4《三阶行列式》教案（沪教版）
一、教学内容分析
三阶行列式按一行（或一列）展开是三阶行列式计算的另外一种法则，学习这种法则有助于学生更好地理解二阶行列式、三阶行列式的内在联系，同时这个法则也是较复杂的行列式计算的常用方法，这个法则更是蕴涵了数学问题研究过程中将复杂问题转化为简单问题的研究方法．本节课的教学内容主要围绕代数余子式的符号的确定研究三阶行列式按一行（或一列）展开法则．
二、教学目标设计
⑴掌握余子式、代数余子式的概念；
⑵经历实验、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数学的一般方法；
（3）体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想．
三、教学重点及难点
三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定．
四、教学过程设计
一、情景引入
（1）将下列行列式按对角线展开：
______________________________
_______________
_______________
（2）对比、分析以上几个行列式的展开式，你能将三阶行列式
表示成含有几个二阶行列式运算的式子吗？
[说明]
（1）请学生展开几个行列式的主要目的是：
巩固复习前面学习的知识；同时，有意识地设计这几个行列式的展开，有助于学生发现三阶行列式
与相应的二阶行列式间的关系．
（2）将三阶行列式
表示成几个含有二阶行列式运算的式子，结果可能不唯一，可以有
等等．
二、学习新课
１．知识解析
在刚才的实验中，将三阶行列式
表示成了含有三个二阶行列式运算的式子，主要有：
等等．
请同学生选择其中的一个为例谈谈他们是如何发现这些等式的？
事实上，以
为例，先将展开式
变形为：
，然后分别提取公因式，可以得到
再利用已有的展开式
①
②
③
从而很容易就得到结果了．
其中二阶行列式①、②、③分别叫做元素，，的余子式，添上相应的符号（正号省略），如
，
、、分别叫做元素，，的代数余子式．于是三阶行列式可以表示为第一行的各个元素与其代数余子式的乘积之和：
象这样的展开，我们称之为三阶行列式按第一行展开．类似的，我们可以将三阶行列式按第二行或按列展开．从上述研究，我们不难发现这种展开方法的关键是要找到三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式．不难发现，要确定某元素的代数余子式，我们可以先确定其余子式，然后确定代数余子式符号，而最主要的就是其符号的确定．
为了让学生有较深刻的体会，教师可以组织学生完成
总结代数余子式的确定方法：
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
[说明]
（1）以上主要由学生合作完成，实验的目的主要是让学生经历实验、归纳、猜想、抽象并获得新知的过程；
（2）教师可以将学生分成数个学习小组，合作实验研究，并交流研究结果，最后由教师总结．
（3）通过上述研究，教师要引导学生发现：
确定某个元素的余子式其实就是将这个元素所在的行和列划去，将剩下的元素按照原来的位置关系所组成的二阶行列式；而这个元素的代数余子式与该元素所在行列式的位置（即第行，第列）有关，其代数余子式的正负号是“”．
一般地，三阶行列式可以按其任意一行（或一列）展开成该行（或该列）的各个元素与其代数余子式的乘积之和．其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式（尤其是其符号）．
２．例题解析
例题1按要求计算行列式：
（1）按第一行展开；
（2）按第一列展开．
[说明]
（1）一个三阶行列式可以按其任意一行（或一列）展开，其中，最关键的是确定三阶行列式某一行或某一列各个元素的代数余子式（尤其是其符号）；
（2）当一个三阶行列式的某一行（或某一列）元素中，0的个数较多，我们往往将行列式按照该行（或该列），这样计算往往比较方便．
例题2.计算：
〖参考答案〗0
描述:
教学目标⑴掌握余子式、代数余子式的概念；⑵经历实验、对比、分析的数学探究，逐步归纳和掌握代数余子式的符号的确定方法和三阶行列式按一行（或一列）展开方法，体验研究数学的一般方法；（3）体会用简单（二阶行列式）刻画复杂（三阶行列式）、将复杂问题简单化的数学思想．教学重点及难点三阶行列式按一行（或一列）展开、代数余子式的符号的确定．
四、课堂小结
（1）余子式、代数余子式的概念；
（2）三阶行列式按一行（或一列）展开方法．
五、作业布置
根据学生的具体情况，对习题册中的问题进行增减．
五、教学设计说明
本节课的教学内容是三阶行列式按一行（或一列）展开方法，从内容上看，这部分内容与上节课一样，同样概念性比较强，同样容易上成教师“一堂言”的枯燥无味的数学课，但是这部分内容却蕴涵了重要的数学思想方法．单纯的死记硬背不是好的学习方法，理解比记忆重要，能力比知识的本身重要．我把本节课的教学模式设计为通过实验探究、对比分析、大胆猜想、证实猜想，从而逐步获得新知，让学生体验数学学习的乐趣，感悟数学研究的一般方法．
2019-2020年高二数学上第7章《数列》学案
（1）沪教版
★★★高考在考什么
【考题回放】
1．设数列｛an｝的首项a1＝－7，且满足an＋1＝an＋2（n∈N），则a1＋a2＋……
＋a17＝153.
2．设Sn是等差数列｛an｝的前n项和，若
＝
，则
＝（A）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．已知数列、都是公差为1的等差数列，其首项分别为、，且
，．设（），则数列的前10项和等于（ C ）
（A）55 （B）70 （C）85 （D）100
4．在等比数列中，，前项和为，若数列也是等比数列，则等于（C）
（A）（B）（C）（D）
5.若干个能唯一确定一个数列的量称为该数列的“基本量”．设{an}是公比为q的无穷等比数列，下列{an}的四组量中：
①S1与S2；②a2与S3；③a1与an；④q与an．
其中一定能成为该数列“基本量”的是第①④组．（写出所有符合要求的组号）
6．设数列{an}的首项，且
，记．
（I）求a2，a3；
（II）判断数列{bn}是否为等比数列，并证明你的结论；
（III）（理）求．
【专家解答】
（I）a2＝a1+=a+，a3=a2=a+；
（II）∵a4=a3+=a+，∴a5=a4=a+，
所以b1=a1－=a－，b2=a3－=（a－），b3=a5－=（a－），
猜想：
{bn}是公比为的等比数列．证明如下：
因为bn+1＝a2n+1－=a2n－=（a2n－1－）=bn，（n∈N*）
所以{bn}是首项为a－，公比为的等比数列·
（III）（理）
．
★★★高考要考什么
【考点透视】
本专题主要涉及等差（比）数列的定义、通项公式、前n项和及其性质，数列的极限、无穷等比数列的各项和．
【热点透析】
高考对本专题考查比较全面、深刻，每年都不遗漏．其中小题主要考查
间相互关系，呈现“小、巧、活”的特点；大题中往往把等差（比）数列与函数、方程与不等式，解析几何等知识结合，考查基础知识、思想方法的运用，对思维能力要求较高，注重试题的综合性，注意分类讨论．
★★★突破重难点
【范例1】已知等差数列前三项为a，4，3a，前n项和为Sn，Sk=2550．
（Ⅰ）求a及k的值；（Ⅱ）求（…）．
解析（Ⅰ）设该等差数列为｛an｝，则a1=a，a2=4，a3=3a，Sk=2550．
由已知得a＋3a=2×4，解得a1=a=2，公差d=a2－a1=2．
由得，解得k=50．
∴a=2，k=50．
（Ⅱ）由得Sn=n（n＋1），
∴
，
∴
．
【点睛】错位相减法、裂项相消法等等是常用的数列求和方法．
【文】是等差数列的前n项和，已知的等比中项为，的等差中项为1，求数列的通项．
解析由已知得
，即
，
解得或
或
经验证或均满足题意，即为所求．
【点睛】若是等差数列的前n项和，则数列也是等差数列．本题是以此背景设计此题．
【范例2】已知正项数列{an}，其前n项和Sn满足10Sn=an2+5an+6且a1,a3,a15成等比数列，求数列{an}的通项an.
解析∵10Sn=an2+5an+6，①∴10a1=a12+5a1+6，解之得a1=2或a1=3．
又10Sn－1=an－12+5an－1+6（n≥2），②
由①－②得10an=（an2－an－12）+6（an－an－1），即（an+an－1）（an－an－1－5）=0
∵an+an－1>0，∴an－an－1=5（n≥2）．
当a1=3时，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴an=5n－3．
【点睛】求数列的通项公式是数列的基本问题，一般有三种类型：
（1）已知数列是等差或等比数列，求通项，破解方法：
公式法或待定系数法；
（2）已知Sn，求通项，破解方法：
利用Sn-Sn-1=an，但要注意分类讨论，本例的求解中检验必不可少，值得重视；（3）已知数列的递推公式，求通项，破解方法：
猜想证明法或构造法。
【文】已知等比数列的前项和为，且．
（1）求、的值及数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和．
解析
（1）当时，．
而为等比数列，得，即，从而．
又
．
（2），
两式相减得
，
因此，．
【范例3】下表给出一个“三角形数阵”：
，
，，
…………
已知每一列的数成等差数列；从第三行起，每一行的数成等比数列，每一行的公比都相等．记第i行第j列的数为aij（i≥j，i，j∈N*）．
（1）求a83；
（2）试写出aij关于i，j的表达式；
（3）记第n行的和为An，求
解析
（1）由题知成等差数列，且，所以公差。
又成等比数列，且．又公比都相等，∴每行的公比是．
∴．
（2）由
（1）知，，∴
．
（3）
．
【点睛】在新颖背景——数表中运用数列知识．
【文】在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am，am+2，am+1成等差数列
（1）写出这个命题的逆命题；
（2）判断逆命题是否为真，并给出证明
解析（１）逆命题：
在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am，am+2，am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列
（２）设{an}的首项为a1，公比为q.由已知得2am+2=am+am+1
∴2a1qm+1=a1+a1qm∵a1≠0q≠0，∴2q2－q－1=0，∴q=1或q=－
当q=1时，∵Sm=ma1，Sm+2=（m+2）a1，Sm+1=（m+1）a1，
∴Sm+Sm+1≠2Sm+2，∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列
当q=－时，
，
∴Sm+Sm+1=2Sm+2，∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列
综上得：
当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真
【点睛】逆命题中证明需分类讨论是本题的亮点和灵活之处．
【范例4】已知数列
在直线x-y+1=0上．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若函数
求函数f（n）的最小值；
（3）设表示数列{bn}的前n项和．试问:
是否存在关于n的整式g（n），使得
对于一切不小于2的自然数n恒成立?
若存在，写出g（n）的解析式，并加以证明;若不存在，说明理由．
解析
（1）在直线x-y+1=0上
（2）
，
，
．
（3）
，
．
……………………………………
故存在关于n的整式使等式对于一切不小2的自然数n恒成立．
【点睛】点在直线上的充要条件是点的坐标满足直线的方程，即得递推式．第（3）小题的探索性设问也是本题的升华．
【变式】设数列是等差数列，．
（Ⅰ）当时，请在数列中找一项，使得成等比数列；
（Ⅱ）当时，若满足
，
使得是等比数列，求数列的通项公式．
解析（Ⅰ）设公差为，则由，得
∵成等比数列，∴解得．故成等比数列．
（Ⅱ），∴，故
．
又是等比数列，
则，∴，
又，∴，∴
【点睛】等差数列中寻找等比子数列是数列的重要内容．
★★★自我提升
1．在等差数列中，，则（A）
（A）（B）（C）（D）-1或1
2．（理）已知数列
的值为（C）
（A）（B）（C）1（D）－2
（文）直角三角形三边成等比数列，公比为，则的值为（D）
（A）（B）（C）（D）
3．设{an}为等差数列，a1>0，a6+a7>0，a6a7<0，则使其前n项和Sn>0成立的最大自然数n是（B）
（A）11（B）12（C）13（D）14
4．三个数成等比数列，且，则的取值范围是（D）
（A）（B）（C）（D）
5．令an为
的展开式中含xn项的系数，则数列{an}的前n项和为__________．
6．这是一个计算机程序的操作说明：
（1）初始值为x=1，y=1，z=0，n=0；
（2）n＝n+1（将当前n+1的值赋予新的n）
（3）x=x+2（将当前的x=2的值赋予新的x）
（4）y=2y（将当前2y的值赋予新的y）
（5）z=z+xy（将当前z+xy的值赋予新的z）
（6）如果z>7000，则执行语句（7），否则回语句
（2）继续进行；
（7）打印n，z；
（8）程序终止．
由语句（7）打印出的数值为 n=8，z=7682 ．
7．已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；
解析（Ⅰ）设二次函数f（x）＝ax2+bx（a≠0），则=2ax+b，又=6x－2，得a=3，b=－2，所以f（x）＝3x2－2x．
又因为点均在函数的图像上，所以＝3n2－2n．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝（3n2－2n）－＝6n－5．
当n＝1时，a1＝S1＝3×12－2＝6×1－5，所以，an＝6n－5（）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知＝＝，
故Tn＝＝
＝（1－）．
因此，要使（1－）<（）恒成立的m，必须且仅须满足≤，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m为10．
【文】设等差数列{an}的首项a1及公差d都为整数，前n项和为Sn..
（Ⅰ）若a11=0,S14=98,求数列｛an｝的通项公式；
（Ⅱ）若a1≥6，a11＞0，S14≤77，求所有可能的数列｛an｝的通项公式.
解析：
（Ⅰ）由S14=98得2a1+13d=14,又a11=a1+10d=0,故解得d=－2,a1=20.
因此，{an}的通项公式是an=22－2n,n=1,2,3…
（Ⅱ）由
得
即
由①+②得－7d＜11。
即d＞－.由①+③得13d≤－1，即d≤－.
于是－＜d≤－，又d∈Z,故d=－1，将④代入①②得10＜a1≤12.
又a1∈Z,故a1=11或a1=12.
所以，所有可能的数列{an}的通项公式是an=12-n和an=13-n,n=1,2,3,…
8．（理）数列{}的前项和满足：
（1）求数列{}的通项公式；
（2）数列{}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？
若存在，请求出一组适合条件的项；若不存在，请说明理由．
解析：
（1）当时有：
两式相减得：
∴数列{}是首项6，公比为2的等比数列．
从而
（2）假设数列{}中存在三项，它们可以构成等差数列，
因此只能是，
即
、、均为正整数，
∴（*）式左边为奇数右边为偶数，不可能成立。
因此数列{}中不存在可以构成等差数列的三项。
【文】在等差数列中，，前项和满足，
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）记，求数列的前项和．
解析（Ⅰ）设等差数列的公差为，由得，
所以，即，所以．
（Ⅱ）由，得．故
，
当时，；
当时，
，
即
．
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