昆明理工大学上机安排3符号计算讲解.docx
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昆明理工大学上机安排3符号计算讲解
符号计算学习要点
MATLAB的符号数学工具箱（SymbolicMathToolbox）将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境中。
符号数学工具箱是以Maple软件内核为符号运算的引擎，当MATLAB进行符号运算时，就转入Maple去计算并将结果返回到MATLAB的命令窗口。
符号数学工具箱与其它工具箱不同，它不针对特殊专业或专业分支，而适用于广泛的用途；它使用字符串来进行符号分析，而不是数值分析。
它涉及微积分、简化、复合、求解代数方程及微分方程等，有丰富的线性代数工具，支持Fourier，Laplace，z变换及逆变换。
符号计算是数字运算的自然扩展，其特点包括：
不受计算误差的困扰；
计算可以给出完全正确的封闭解或任意精度的数值解；
计算的指令比较简单，所需要的时间较长。
自然科学理论分析中的公式、关系式及其推导是符号计算要解决的问题。
数值计算与符号计算的区别：
MATLAB数值计算的对象是数值，而符号计算的对象则是非数值的符号字符串。
例：
下面的代数方程的的根推导说明了符号计算的特点：
（以下例子要在计算机上运行，分析其结果；有些程序可能标点符号是在中文状态下输入的，请复制时改为英文状态下的标点）
一符号对象的创建
函数sym（）和命令syms创建符号常量、变量、函数以及表达式，函数class（）检验符号对象类型。
sym函数的用处之一是创建单个的符号变量。
这种创建方式不需要在前面有任何说明，使用非常快捷。
正因如此，此创建过程中，包含在表达式内的符号变量并未得到说明，也就不存在于工作空间。
syms函数与sym相反，它需要在具体创建一个符号表达式之前，将这个表达式所包含的全部符号变量创建完毕。
1符号对象的生成
符号计算工具箱定义了一种新的MATLAB数据类型，叫做符号对象。
在MATLAB内部，符号对象的数据存储格式是符号字符串。
sym函数用于创建符号对象，包括符号常量、符号变量和符号表达式。
【调用格式】
f=sym（arg）把数值、字符串或者表达式arg转换为符号对象f
f=sym（argn,flagn）把数值或者数值表达式argn转换为flagn格式的符号对象
f=sym（'argv',flagv）把字符串'argv'按照flagv的格式转换为符号对象
symsargv1argv2...定义argv1、argv2等为符号对象
symsarg1arg2...flagv定义arg1、arg2等为flagv格式的符号对象
【说明】
1.对于数值或者数值表达式argn，flagn可以取以下值：
'd'最接近的十进制浮点精度表示
'e'带估计误差的有理表示
'f'十六进制浮点数表示
'r'最接近的有理表示，MATLAB的缺省表示方法
2.对于字符串变量名argv，flagv可以取以下“限定”项：
'positive'“正实数”符号变量
'real'“实数”符号变量
'unreal'“非实数”符号变量
3.syms是sym函数的简化书写方式，各符号对象之间只能用空格分开。
2符号常量
用sym函数可以定义符号常量对象，包括符号标量对象和符号常量数组对象，定义符号常量对象的同时也可以指定数值常量的表示方法。
例符号常量的定义
>>a=[1/3,sqrt（5）,pi+sqrt
（2）]；%定义数值数组
>>s1=sym（[1/3,sqrt（5）,pi+sqrt
（2）],'d'）；%用十进制方式表示符号常量
>>s2=sym（[1/3,sqrt（5）,pi+sqrt
（2）]）；%用最接近的有理方式表示符号常量
>>s3=sym（'[1/3,sqrt（5）,pi+sqrt
（2）]'）；%绝对准确的符号数值表示，输入为字符串
3符号变量与符号表达式
1.定义符号变量和符号表达式
例符号变量和符号表达式的定义
>>x=sym（'x','real'）;%定义实数符号变量x
>>symyreal;%定义实数符号变量y
>>z=x+i*y；%定义符号表达式对象z
>>conj（z）%符号变量求共轭复转置
>>f=z*conj（z）；%符号表达式对象
>>f=simple（f）%符号表达式对象化简
f=
x^2+y^2
例符号变量与符号矩阵
>>symsabc;%定义符号变量a，b，c
>>A=[a,b,c;b,c,a;c,a,b]；%定义符号矩阵A
>>sum（A（:
1））；%求矩阵A第一列的元素的和
>>sum（A（1,:
））==sum（A（:
2））%符号对象的关系运算
>>det（A）；%矩阵求行列式
>>symsalphabeta;%定义符号变量alpha和beta
>>A（1,3）=beta;%矩阵元素赋值
>>A=subs（A,a,alpha）%符号表达式的替换操作，矩阵A中的a用alpha代替
以上例子可以看出:
元素是符号对象的矩阵叫做符号矩阵;符号表达式是由以下部分组成的符号对象：
a.符号常量；
b.符号变量；
c.符号运算符；
d.专用函数。
4符号表达式中自变量的确定
在数学表达式或者数学函数中，一般都含有自变量。
为了便于进行数学运算，通常要显示指定表达式中的自变量，如果不指定自变量，MATLAB会根据上下文关系，识别表达式中默认的自变量（独立自由的符号变量）。
识别表达式中自变量的基本原则是：
按照字母表中靠近小写字母x的顺序识别，最靠近字母x的变量被第一个识别为自变量。
MATLAB还提供了自变量识别函数findsym。
【调用格式】
findsym（exp）识别表达式exp中所有的自由符号变量
findsym（exp,n）识别表达式exp中最靠近x的n个独立自由变量
【说明】
1.表达式可以是符号矩阵，此时变量识别是对整个矩阵进行的。
2.函数识别的是“独立的”“自由的”符号变量，符号常量或者非独立的符号变量无法被识别。
3.识别次序是按照靠近x的远近进行的，区分大小写，总认为大写字母距离x的距离大于所有小写字母。
例符号表达式中自变量的识别
>>symsabxXY;%定义符号变量
>>k=sym（2.5）;
>>z=sym（'c*sqrt（alpha）+y*sin（beta）'）;%定义符号表达式对象（变量）z
>>exp=a*z*X+k*Y+b^x%定义符号表达式变量exp
exp=
a*（c*alpha^（1/2）+y*sin（beta））*X+5/2*Y+b^x
>>findsym（exp）%自动识别所有自由独立变量，k为常量，z为非独立
>>findsym（exp,3）%识别exp中前3个靠近x的独立自由变量
5符号数学函数
在MATLAB中，可以定义表示数学函数的符号对象，既能建立具有详细运算关系的函数，又能建立抽象数学函数。
定义符号数学函数有2种方法：
1.用符号表达式
2.用函数M文件（在函数M文件中用符号变量作为输入变量）
例用符号表达式定义符号数学函数
>>symsxyz%定义函数自变量
>>r=sqrt（x^2+y^2+z^2）;%定义函数r
>>t=atan（y/x）;%定义函数t
>>f=sin（x*y）/（x*y）;%定义函数f
例用函数M文件来定义符号数学函数，下列代码定义了函数sin（x）=sinc（x）/x。
创建M函数文件如下：
functionz=sinc（x）
%SINC符号函数
%sin（x）/x数学计算公式
%接受符号变量作为输入变量
ifisequal（x,sym（0））%如果自变量值为符号0，则函数值为1
z=1;
else
z=sin（x）/x;
end
例建立抽象的符号数学函数（可用help命令查看subs、limit函数的用法）
>>f=sym（'f（x）'）%建立抽象函数f（x）
>>symsxh;
>>df=（subs（f,x,x+h）-f）/h%建立抽象函数df，表示f（x）的导数表达式
df=
（f（x+h）-f（x））/h
>>g=subs（df,'f','sin'）%建立sin（x）的导数函数的定义
g=
（（sin）（x+h）-（sin）（x））/h
>>limit（g,h,0）%根据导数定义，求sin（x）的导数
ans=
cos（x）
二符号计算
符号计算有：
代数运算、函数运算、微积分运算、极限运算、级数求和、方程（组）求解等。
A代数运算
符号对象的基本代数运算
符号对象的基本代数运算和普通数值变量一样，可以使用算术运算符、关系运算符（仅能用==和！
=），其运算符的定义和数值运算相同。
例符号矩阵的基本代数运算，查看结果
>>symst;
>>G=[cos（t）,sin（t）;-sin（t）,cos（t）]；
>>A=G*G；%符号矩阵的乘法
>>A=simple（A）；%化简为最简表达式
>>I=G'.*G；%符号数组乘法
>>I=simple（I）；%化简为最简表达式
>>F=[cos（t）,-sin（t）;sin（t）,cos（t）]；
>>（F+G）/2；%符号矩阵加法和符号矩阵与标量的除法
B函数运算
数值计算使用的函数基本上也可以用于符号计算，包括三角函数（atan2除外）、指数函数、对数函数（log2、log10除外）、复数函数（angle除外）、线性代数函数和矩阵函数。
例符号矩阵的函数运算，运行下面语句查看结果（去掉分号）
>>H=hilb（3）；%生成3×3的希尔伯特数值矩阵
>>H=sym（H）；%将数值矩阵转为符号常数矩阵
>>inv（H）；%符号矩阵求逆
>>det（H）%符号矩阵求行列式的值
>>symss
>>H（1,1）=s；%将符号元素赋值为符号变量s，使矩阵变为非奇异矩阵
>>Z=det（H）%带有符号变量的符号矩阵求行列式的值
>>sol=solve（Z）%求行列式的根
>>H=subs（H,s,sol）；%将矩阵行列式的根代入符号矩阵，使矩阵变为奇异矩阵
>>det（H）；%奇异矩阵的行列式值
>>inv（H）；%奇异矩阵求逆
>>eig（H）；%符号矩阵的特征值
C符号表达式分解、展开与化简
MATLAB提供了符号表达式的因式分解、展开和化简函数。
【调用格式】
collect（expr,v）合并符号表达式expr中符号对象v的同类项系数
expand（expr）对表达式expr进行多项式、三角函数、指数对数等函数展开
factor（expr）对符号表达式expr做因式分解
horner（expr）把多项式expr分解为嵌套形式
[n,d]=numden（expr）提取表达式最小分母公因子d和相应的分子多项式n
simplify（expr）用多种恒定变换对表达式expr进行综合化简
simple（expr）把expr化简为最简表达式
【说明】上述表达式expr可以是符号矩阵，此时函数对符号矩阵的每个元素进行相应操作。
例符号表达式的展开和分解
>>f=sym（'（x^3-6*x^2+10*x-5）+（x-1）'）；%定义原始的符号表达式
>>fc=collect（f）；%符号表达式合并同类项
>>ff=factor（f）；%符号表达式因式分解
>>fh=horner（f）；%符号表达式的嵌套分解
>>fe=expand（fh）；%符号表达式的展开
>>factor（1025）；%正整数的质数分解，1025＝5×5×41
例写出矩阵
各元素的分子多项式和分母多项式
>>symsx;
>>A=[1/4,1/（2*x-1）+1/（x+1）;2/（x^2-1）,3*x+2];
>>[n,d]=numden（A）；%提取表达式最小分母公因子d和相应的分子多项式n
>>pretty（simplify（n./d））；
例化简
解：
用simplify进行多次化简也得不到最简结果，用simple化简可以得到最简结果
>>symsx;
>>f=（1+3/x+3/x^2+1/x^3）^（1/3）;
>>sfy1=simplify（f）；
>>sfy2=simplify（sfy1）；
>>sp1=simple（f）；
>>sp2=simple（sp1）
D符号表达式的置换操作
MATLAB提供了子表达式的置换函数。
通常在这几种情况下使用子表达式的置换函数：
第一，符号计算结果中多次出现同一个表达式，为了阅读方便，可以把这个表达式用符号变量来置换；第二，可以用符号常量对象置换表达式中的自变量，实现表达式求值；第三，通过置换某些表达式可以生成新的表达式。
1.自动置换函数
【调用格式】
[RS,vn]=subexpr（S,vn）用符号变量vn置换S中的子表达式，并重写S为RS。
[RS,vn]=subexpr（S,'vn'）
例对一元三次方程
的符号解进行子表达式的置换。
>>t=solve（'a*x^3+b*x^2+c*x+d=0'）;
>>[r,s]=subexpr（t,'s'）
2.通用置换函数
【调用格式】
RS=subs（S,old,new）用new置换S中old，生成RS
【说明】
（1）old是被替换的子表达式，可以是符号变量，也可以是字符串表达式。
（2）new是替换old的值，可以是符号常量、符号变量、符号表达式，也可以是数值。
（3）如果要替换多个子表达式，则old和new为细胞数组。
例通用置换函数。
>>symsax;
>>f=a*cos（x）+1;
>>f1=subs（f,'cos（x）',sym（'y'））；%用符号变量替换
>>f2=subs（f,{a,x},{3,sym（'pi/4'）}）%用符号常量替换，
>>f3=subs（f,{a,x},{3,pi/4}）；%用双精度数替换
>>f4=subs（f,{a,x},{0:
3,0:
pi/3:
pi}）；%用双精度数组替换
>>f5=subs（f,x,sym（'exp（-t）'））%用符号表达式替换
E符号函数的反函数
【调用格式】
g=finverse（f,v）求指定自变量为v的函数f（v）的反函数g（v）
g=finverse（f）求函数f对缺省的自变量（由findsym确定）的反函数g
例求
的反函数。
>>symsx;f=（x^2+1）^（1/2）;
>>g=finverse（f）；
F符号函数的复合函数
【调用格式】
fg=compose（f,g,x,y,z）对f（x）和g（y）求复合函数fg（z）=f（g（y））|y=z
fg=compose（f,g）对f（⋅）和g（⋅）求复合函数fg=（fg（⋅）），自变量由findsym确定
例求复合函数。
>>symsxyztu;
>>f=1/（1+x^2）;g=sin（y）;h=x^t;p=exp（-y/u）;
>>compose（f,g）；
>>compose（f,g,t）；
>>compose（h,g,x,z）
>>compose（h,g,t,z）；
>>compose（h,p,x,y,z）；
>>compose（h,p,t,u,z）
G符号微分和雅可比矩阵
求导数、高阶导数、偏导数是常见的数学运算，MATLAB提供这方面的符号微分函数。
【调用格式】
df=diff（f,v,n）求
，即求函数f（v）对的n阶导数
R=jacobian（f,v）求多元向量函数f（v）的雅可比矩阵，即
例
求
和
>>symsatx;
>>f=[a,t^2;t*sin（x）,log（x）];
>>dfx=diff（f,x）%矩阵f对x的一阶导数，也可写为diff（f）
>>df2t=diff（f,t,2）；%矩阵f对t的二阶导数
>>dfxt=diff（diff（f,x）,t）
例
，求其雅可比矩阵
>>symsxyz;
>>f=[x*y*z;y;x+z];
>>v=[x,y,z];
>>R=jacobian（f,v）
H函数极限
函数的极限是通过导数来定义的，limit函数用于求函数极限。
【调用格式】
limit（f,x,a）求
limit（f,x,a,'right'）求
limit（f,x,a,'left'）求
例求极限运算。
>>limit（sin（x）/x,x,0）；
>>limit（1/x,x,0,'right'）；
>>limit（1/x,x,0,'left'）；
>>limit（（sin（x+h）-sin（x））/h,h,0）%sin（x）导函数的定义
>>v=[（1+a/x）^x,exp（-x）];
>>limit（v,x,inf）
I符号积分
int函数用于求定积分、不定积分和多重积分的符号解。
【调用格式】
S=int（f,v）求不定积分∫f（v）dv，符号计算结果不带积分常数
S=int（f,v,a,b）求定积分
rsums（f,ra,rb）用Riemann和求符号函数f（x）在[ra,rb]区间上的近似积分
【说明】
1.当f为矩阵时，将对矩阵的每个元素做积分运算。
2.v缺省时，积分对findsym确认的变量进行。
3.积分上下限a和b可以是任何数值和表达式
4.rsums函数绘制求积分的曲线，根据用户的选择来确定最终的近似积分值
例计算
>>symsat;
>>f=[exp（t）,t^4;1,sin（a*t）];
>>int（f,t）
例求多重积分
>>symsxyz;
>>V=int（int（int（x^2+y^2+z^2,z,sqrt（x*y）,x*y）,y,sqrt（x）,x^2）,x,1,2）
>>vpa（V）
J符号级数求和
symsum函数实现符号级数的求和运算。
【调用格式】
s=symsum（f,v,a,b）求
，a和b为整数，b可以取无穷大
例计算
和
>>symstkx;
>>f1=[t,k^2];
>>f2=x^k/sym（'k!
'）;
>>simple（symsum（f1,t,0,t））
>>simple（symsum（f2,k,0,inf））
K符号代数方程组的解
代数方程包括线性、非线性和超越方程等，solve函数用于符号代数方程求解。
【调用格式】
g=solve（'eq1','eq2',...,'eqn','var1','var2',...,'varn'）
g=solve（exp1,exp2,...,expn,var1,var2,...,varn）
【说明】
1.'eq1','eq2',...,'eqn'是字符串表达式的方程，或者是字符串表达式，如果它们是不含等号的字符串表达式，则相当于方程'eqi＝0'
2.'var1','var2',...,'varn'是用字符串表示的方程中的变量名
3.exp1,exp2,...,expn只能是符号表达式，不能是带有等号的表达式方程。
4.var1,var2,...,varn只能是符号变量。
5.返回值g是一个结构体数据，方程组的解用g.var1，g.var2，...，g.varn表示。
6.在无法求得解析解的时候，给出数值解。
例方程组
，分别求其关于y，z和关于u，v,w的解
>>s1=solve（'u*y+v*z^2+w=0','y+z+v=0','y','z'）；%方程组关于的解，从结果来看方程有2组解:
s1=
y:
[2x1sym]
z:
[2x1sym]
>>y=s1.y；z=s1.z；
%方程组关于u,v,w的解，2个方程3个变量，方程有无穷多组解，其中w为自由变量,
>>s2=solve（'u*y+v*z^2+w=0','y+z+v=0','u','v','w'）；
>>u=s2.u；v=s2.v；w=s2.w；
L符号微分方程的解
【调用格式】
g=dsolve（'eq1','eq2',...,'eqn','cond1','cond2',...,'condn','v'）
【说明】
1.'eq1','eq2',...,'eqn'是微分方程，只能用字符串形式。
微分方程是函数必须的输入变量。
2.'cond1','cond2',...,'condn'是初始条件，也只能用字符串形式。
3.'v'定义了微分方程的独立变量名（微分方程解中的自变量名），只能用字符串形式。
默认的独立变量名为t。
4.微分方程字符串中，Dny表示y的n阶导数，Dy表示y的一阶导数。
5.返回值g是一个结构体变量，要引用其成员才能得到方程的解。
例求微分方程组
的解。
>>s=dsolve（'Dx=y,Dy=-x'）;
>>x=s.x
x=
-C1*cos（t）+C2*sin（t）
>>y=s.y
y=
C1*sin（t）+C2*cos（t）
例求微分方程
的解y（x），初始条件为y（0）=0,y
（1）=1
>>s=dsolve（'x*D2y-3*Dy=x^2','y（0）=0,y
（1）=1','x'）
s=
4/3*x^4-1/3*x^3
例求微分方程y”+y2=1的解，初始条件为y（0）=0
>>y=dsolve（'（Dy）^2+y^2=1','y（0）=0'）
y=
sin（t）
-sin（t）
M积分变换
MATLAB的符号计算支持积分变换，对傅氏变换、拉氏变换和Z变换都提供了相应的符号计算函数。
1傅立叶变换及其反变换
【调用格式】
Fw=fourier（ft,t,w）求时域函数ft的傅氏变换Fw
ft=ifourier（Fw,w,t）求频域函数Fw的傅立叶反变换ft
【说明】
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