实验二 应用FFT对信号进行频谱分析.docx
《实验二 应用FFT对信号进行频谱分析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《实验二 应用FFT对信号进行频谱分析.docx（15页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。
实验二应用FFT对信号进行频谱分析
实验二应用FFT对信号进行频谱分析
1、实验目的
1、加深对离散信号的DTFT和DFT的及其相互关系的理解。
2、在理论学习的基础上，通过本次实验，加深对快速傅里叶变换的理解，熟悉FFT算法及其程序的编写。
3、熟悉应用FFT对典型信号进行频谱分析的方法。
4、了解应用FFT进行信号频谱分析过程中可能出现的问题，以便在实际应用中正确应用FFT。
2、实验原理及方法
一个连续信号的频谱可以用它的傅里叶变换表示为
（2—1）
如果对信号进行理想采样，可以得到采样序列：
（2—2）
同样可以对该序列进行Z变换，其中T为采样周期
（2—3）
当Z=
的时候，我们就得到了序列的傅里叶变换
（2—4）
其中
成为数字频率，它和模拟频域的关系为
（2—5）
式中的
是采样频率，上式说明数字频率是模拟频率对采样频率的归一化。
同模拟域的情
况相似，数字频率代表了序列值变化的速率，而序列的傅里叶变换称为序列的频谱。
序列
的傅里叶变换和对应的采样信号频谱具有下式的对应关系。
（2—6）
即序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓。
从上式可看出，只要分析采样序列的频谱，
就可以得到相应的连续信号的频谱。
在各种信号序列中，有限长序列在数字信号处理中占有很重要的地位。
无限长序列
往往可以用有限长序列来逼近。
对于有限长的序列我们可以用离散傅里叶变换（DFT），这一变换可以很好的反映序列的频域特性，并且容易利用快速算法在计算机中实现当序列长度是N时，我们定义离散傅里叶变换为
（2—7）
其中
=
，它的反变换定义为：
（2—8）
根据以上两式，令Z=Z=
，则有
X（z）
=
=DFT[x（n）]（2—9）
可以得到X（k）=X（z）
，
是Z平面单位圆上幅角为
的点，就是将单位圆进行N等分以后第K个点。
所以是Z变换在单位圆上的等距采样，或者说是序列傅里叶变换的等距采样。
时域采样在满足Nyquist定理时，就不会发生频谱混淆；同样地，在频率域进行采样的时候，只要采样间隔足够小，也不会发生时域序列的混淆。
DFT时对序列傅里叶变换的等距采样，因此可以用于序列的频谱分析。
在运用DFT进行频谱分析的时候可能有三种误差，分析如下：
（1）混淆现象
序列的频谱是采样信号频谱的周期延拓，周期是，因此当采样速率不满足Nyquist定理，即采样频率小于两倍的信号频率时，经过采样就会发生频率混淆。
这导致采样后的信号序列不能真实地反映原信号的频谱。
所以，在利用DFT分析连续信号频谱的时候，必须注意一个问题。
在确定信号的采样频率之前，需要对频谱的性质有所了解。
在一般的情况下，为了保证高于折叠频率的分量不会出现，在采样之前，先用低通模拟滤波器对信号进行滤波。
（2）泄漏现象
实际中的信号序列往往很长，甚至是无限长序列。
为了方便，我们往往用截短的序列来近似它们。
这样可以使用较短的DFT来对信号进行频谱分析。
这种截短等价于给原始信号序列乘以一个矩形窗函数，而矩形窗函数的频谱不是有限带宽的，从而它和原信号的频谱进行卷积以后会扩展原信号的频谱。
值得一提的是，泄露是不能和混淆完全分离的，因为泄露导致频谱的扩展，从而造成混淆。
为了减小泄露的影响，可以选择适当的窗函数是频谱的扩散减到最小。
（3）栅栏效应
因为DFT是对单位圆上Z变换的均匀采样，所以它不可能将频谱视为一个连续函数。
这样就产生了栅栏效应，从某种角度来看，用DFT来观看频谱就好像通过一个栅栏来观看一幅景象，只能在离散点上看到真实的频谱。
这样的话就会有一些频谱的峰点或谷点被“栅栏”挡住，不能被我们观察到。
减小栅栏效应的一个方法是在源序列的末端补一些零值，从而变动DFT的点数。
这种方法的实质是人为地改变了对真实频谱采样的点数和位置，相当于搬动了“栅栏”的位置，从而使得原来被挡住的一些峰点或谷点显露出来。
从上面的分析可以看出，DFT可以用于信号的频谱分析，但必须注意可能产生的误差，在应用过程中要尽可能减小和消除这些误差的影响。
快速傅里叶变换FFT并不是与DFT不相同的另一种变换，而是为了减少DFT运算次数的一种快速算法。
它是对变换式（2—7）进行一次次的分解，使其成为若干小点数DFT的组合，从而减小运算量。
常用的FFT是以2为基数。
它的运算效率高，程序比较简单，使用也十分方便。
当需要进行变换的序列的长度不是2的整次方的时候，为了使用以2为基的FFT，可以用末位补零的方法，以使其长度延长至2的整数次方。
三实验内容及步骤
（一）编制实验用主程序及相应子程序
1、高斯序列
n=0:
15;
p=?
;q=?
;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
closeall;subplot（2,1,1）;stem（x）;title（'高斯序列'）;
subplot（2,1,2）;stem（abs（fft（x）））;title（'幅频特性'）;
2、衰减正弦序列
n=0:
15;
a=?
;f=?
;x=exp（-a*n）.*sin（2*pi*f*n）;
closeall;subplot（2,1,1）;stem（x）;title（'衰减正弦序列'）;
subplot（2,1,2）;stem（abs（fft（x）））;title（'幅频特性'）;
3、三角波序列
fori=1:
4
x（i）=i;
end
fori=5:
8
x（i）=9-i;
end
closeall;subplot（2,1,1）;stem（x）;title（'三角波序列n=8'）
subplot（2,1,2）;stem（abs（fft（x,8）））;title（'幅频特性n=8'）;
4、反三角序列
fori=1:
4
x（i）=5-i;
end
fori=5:
8
x（i）=i-4;
end
closeall;subplot（2,1,1）;stem（x）;title（'反三角序列n=16'）
subplot（2,1,2）;stem（abs（fft（x,16）））;title（'幅频特性n=16'）;
（2）上机实验内容
1、观察高斯序列的时域和频域特性
（1）固定信号xa（n）的参数p=8，改变q的值，使q分别等于2,4,8。
观察它们的时域和幅频特性，了解q取不同值的时候，对信号时域特性和幅频特性的影响。
n=0:
15;
p=8;q=2;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
closeall;subplot（3,2,1）;stem（x）;title（'高斯序列xa（n），p=8，q=2'）;
subplot（3,2,2）;stem（abs（fft（x）））;title（'幅频特性p=8，q=2'）;
p=8;q=4;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
subplot（3,2,3）;stem（x）;title（'高斯序列xa（n），p=8，q=4'）;
subplot（3,2,4）;stem（abs（fft（x）））;title（'幅频特性p=8，q=4'）;
p=8;q=8;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
subplot（3,2,5）;stem（x）;title（'高斯序列xa（n），p=8，q=8'）;
subplot（3,2,6）;stem（abs（fft（x）））;title（'幅频特性p=8，q=8'）;
（2）固定q=8，改变p，使p分别等于8,13,14，观察参数p变化对信号序列时域及幅频特性的影响。
注意p等于多少时，会发生明显的泄露现象，绘制相应的时域序列和幅频特性曲线。
n=0:
15;
p=8;q=8;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
closeall;subplot（3,2,1）;stem（x）;title（'高斯序列xa（n），p=8，q=8'）;
subplot（3,2,2）;stem（abs（fft（x）））;title（'幅频特性p=8，q=8'）;
p=13;q=8;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
subplot（3,2,3）;stem（x）;title（'高斯序列xa（n），p=13，q=8'）;
subplot（3,2,4）;stem（abs（fft（x）））;title（'幅频特性p=13，q=8'）;
p=14;q=8;x=exp（-1*（n-p）.^2/q）;
subplot（3,2,5）;stem（x）;title（'高斯序列xa（n），p=14，q=8'）;
subplot（3,2,6）;stem（abs（fft（x）））;title（'幅频特性p=14，q=8'）;
2、观察衰减正弦序列的时域和幅频特性
（1）令a=0.1，并且f=0.0625，检查谱峰出现的位置是否正确，注意谱峰的形状，绘制幅频特性曲线。
n=0:
15;
a=0.1;f=0.0625;x=exp（-a*n）.*sin（2*pi*f*n）;
closeall;subplot（2,1,1）;stem（x）;title（'衰减正弦序列xb（n），a=0.1，f=0.0625'）;
subplot（2,1,2）;stem（abs（fft（x）））;title（'幅频特性a=0.1，f=0.0625'）;
（2）改变f=0.4375,再变化f=0.5625,观察这两种情况下，频谱的形状和谱峰出现的位置，有无混淆和泄露现象发生？
说明产生现象的原因。
f=0.4375;x=exp（-a*n）.*sin（2*pi*f*n）;
subplot（2,1,1）;stem（x）;title（'衰减正弦序列xb（n），a=0.1，f=0.4375'）;
subplot（2,1,2）;stem（abs（fft（x）））;title（'幅频特性a=0.1，f=0.4375'）;
f=0.5625;x=exp（-a*n）.*sin（2*pi*f*n）;
subplot（2,1,1）;stem（x）;title（'衰减正弦序列xb（n），a=0.1，f=0.5625'）;
subplot（2,1,2）;stem（abs（fft（x）））;title（'幅频特性a=0.1，f=0.5625'）;
3、观察三角波序列和反三角波序列的时域和幅频特性
（1）用8点FFT分析信号xc（n）和xd（n）的幅频特性，观察两者的序列形状和频谱曲线有什么异同？
绘制两者的序列和幅频特性曲线。
fori=1:
4
x（i）=i;
end
fori=5:
8
x（i）=9-i;
end
closeall;subplot（2,1,1）;stem（x）;title（'三角波序列xc（n），n=8'）
subplot（2,1,2）;stem（abs（fft（x,8）））;title（'幅频特性n=8'）;
fori=1:
4
x（i）=5-i;
end
fori=5:
8
x（i）=i-4;
end
closeall;subplot（2,1,1）;stem（x）;title（'反三角序列xd（n），n=8'）
subplot（2,1,2）;stem（abs（fft（x,8）））;title（'幅频特性n=8'）;
（2）在xc（n）和xd（n）末尾补零，用16点FFT分析这两个信号的幅频特性，观察幅频特性发生了什么变化？
两个信号之间的FFT频谱还有没有相同之处？
这些变化说明了什么？
fori=1:
8
x（i）=i;
end
fori=9:
16
x（i）=17-i;
end
closeall;subplot（2,1,1）;stem（x）;title（'三角波序列xc（n），n=16'）
subplot（2,1,2）;stem（abs（fft（x,16）））;title（'幅频特性n=16'）;
fori=1:
8
x（i）=9-i;
end
fori=9:
16
x（i）=i-8;
end
closeall;subplot（2,1,1）;stem（x）;title（'反三角序列xd（n），n=16'）
subplot（2,1,2）;stem（abs（fft（x,16）））;title（'幅频特性n=16'）;
4、思考题
1、实验中的信号序列Xc（n）和Xd（n），在单位圆上的Z变换频谱会相同吗？
如果不同，你能说出那一个低频分量更多一些吗？
为什么？
2、对一个有限长序列进行离散傅里叶变换，等价于将该序列周期延拓后进行傅里叶级数展开。
因为DFS也只是取其中一个周期来运算，所以FFT在一定条件下也可以分析周期信号序列。
如果正弦信号sin（2πfn）,f=0.1,用16点的FFT来做DFS运算，得到的频谱是信号本身的真实谱吗？
升级会员 