四边形 解答题专题训练.docx

四边形 解答题专题训练.docx

《四边形 解答题专题训练.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四边形 解答题专题训练.docx（36页珍藏版）》请在冰点文库上搜索。

四边形解答题专题训练

四边形解答题专题训练

一．解答题（共27小题）

1．（2012•雅安）如图，ABCD是平行四边形，P是CD上一点，且AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA．

（1）求∠APB的度数；

（2）如果AD=5cm，AP=8cm，求△APB的周长．

2．（2012•广西）如图，在▱ABCD中，BE交对角线AC于点E，DF∥BE交AC于点F．

（1）写出图中所有的全等三角形（不得添加辅助线）；

（2）求证：

BE=DF．

3．（2012•南平）如图，已知四边形ABCD是平行四边形，若点E、F分别在边BC、AD上，连接AE、CF，请再从下列三个备选条件中，选择添加一个恰当的条件．使四边形AECF是平行四边形，并予以证明，

备选条件：

AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD，

我选择添加的条件是：

　_________　．

（注意：

请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）

　4．（2012•鞍山）如图，点G、E、F分别在平行四边形ABCD的边AD、DC和BC上，DG=DC，CE=CF，点P是射线GC上一点，连接FP，EP．

求证：

FP=EP．

5．（2011•徐州）如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F．

（1）求证：

△ABE≌△CDF；

（2）若AC与BD交于点O，求证：

AO=CO．

6．（2011•凉山州）如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的点，CE=AF，请你猜想：

线段BE与线段DF有怎样的关系？

并对你的猜想加以证明．

7．（2011•昆明）在▱ABCD中，E，F分别是BC、AD上的点，且BE=DF．求证：

AE=CF．

8．（2013•莒南县二模）如图，在▱ABCD中，AC交BD于点O，点E、点F分别是OA、OC的中点，请判断线段BE、DF的关系，并证明你的结论．

9．（2013•红河州模拟）如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AF=CE，BE⊥AC于E，DF⊥AC于F．试判断DC与AB的位置关系，并说明理由．

10．（2013•营口）如图，△ABC中，AB=AC，AD是△ABC外角的平分线，已知∠BAC=∠ACD．

（1）求证：

△ABC≌△CDA；

（2）若∠B=60°，求证：

四边形ABCD是菱形．

11．（2012•吉林）如图，在△ABC中，AB=AC，D为边BC上一点，以AB，BD为邻边作▱ABDE，连接AD，EC．

（1）求证：

△ADC≌△ECD；

（2）若BD=CD，求证：

四边形ADCE是矩形．

12．（2012•恩施州）如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点．求证：

四边形AEDF是菱形．

13．（2011•肇庆）如图，在一正方形ABCD中．E为对角线AC上一点，连接EB、ED，

（1）求证：

△BEC≌△DEC：

（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°．求∠AFE的度数．

14．（2011•乌鲁木齐）如图，在平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2AD，点E、F分别是AB、CD的中点，过点A作AG∥BD，交CB的延长线于点G．

（1）求证：

四边形DEBF是菱形；

（2）请判断四边形AGBD是什么特殊四边形？

并加以证明．

15．（2010•海南）如图，四边形ABCD和四边形AEFG均为正方形，连接BG与DE相交于点H．证明：

△ABG≌△ADE．

16．（2012•深圳模拟）将一块三角板的直角顶点放在正方形ABCD的对角线交点位置，两边与对角线重合如图甲，将这块三角板绕直角顶点顺时针方向旋转（旋转角小于90°）如图乙．

（1）试判断△ODE和△OCF是否全等，并证明你的结论．

（2）若正方形ABCD的对角线长为10，试求三角板和正方形重合部分的面积．

17．（2012•衢州二模）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE=

BC=1．

（1）求证：

CE=CF；

（2）若G在AD上，连接GC，且∠GCE=45°，求∠GCF的度数；

（3）在

（2）的条件下，求GC的长度．

18．（2011•黄石）如图，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC．AB=DC，E是BC的中点，连接AE、DE，求证：

AE=DE．

19．（2010•广元）如图，在梯形ABCD中，AC平分∠BAD，在底边AB上截AE=CD．

（1）求证：

四边形AECD是菱形；

（2）若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．

20．（2013•河南模拟）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，延长BC到E，使CE=AD．

（1）用尺规作图法，过点D作DM⊥BE，垂足为M（不写作法，保留作图痕迹）；

（2）判断BM、ME的大小关系，并说明理由．

21．（2012•雨花台区一模）已知：

如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，

，DN∥CM，交边AC于点N．

（1）求证：

MN∥BC；

（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？

并证明你的猜想．

22．（2012•浦东新区二模）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠BAD的平分线交BC于E，连接ED．

（1）求证：

四边形ABED是菱形；

（2）当∠ABC=60°，EC=BE时，证明：

梯形ABCD是等腰梯形．

23．（2012•响水县一模）已知：

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，∠BEA=∠DEA，连接AE、BD相交于点F，BD⊥CD．

（1）求证：

AE=CD；

（2）求证：

四边形ABED是菱形．

24．（2012•工业园区一模）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，延长CB到E，使BE=AD，连接AE、AC．

（1）求证：

△AEB≌△CAD；

（2）若AD=DC，∠BAD=100°，求∠E的大小．

25．（2010•五通桥区模拟）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD+BC=CD，M是AB的中点，试问：

DM是否为∠ADC的平分线？

说明理由．

26．（2008•白云区一模）如图所示，四边形ABCD中，E、F分别为AD、BC的中点．

（1）当AB∥CD而AD与BC不平行时，四边形ABCD称为　_________　形，线段EF叫做其　_________　，EF与AB+CD的数量关系为　_________　；

（2）当AB与CD不平行，AD与BC也不平行时，猜想EF与AB+CD的数量关系，并证明你的猜想．

27．如图所示，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，点P为BC边上任意一点，且PE⊥AB，PF⊥CD，BG⊥CD，垂足分别是E、F、G，请你探索PE、PF、BG的长度之间的关系，并证明你的结论．

四边形解答题专题训练

参考答案与试题解析

一．解答题（共27小题）

1．

解答：

解：

（1）∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥CB，AB∥CD

∴∠DAB+∠CBA=180°，

又∵AP和BP分别平分∠DAB和∠CBA，

∴∠PAB+∠PBA=

（∠DAB+∠CBA）=90°，

在△APB中，

∴∠APB=180﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；

（2）∵AP平分∠DAB，

∴∠DAP=∠PAB，

∵AB∥CD，

∴∠PAB=∠DPA

∴∠DAP=∠DPA

∴△ADP是等腰三角形，

∴AD=DP=5cm

同理：

PC=CB=5cm

即AB=DC=DP+PC=10cm，

在RT△APB中，AB=10cm，AP=8cm，

∴BP=

=6（cm）

∴△APB的周长是6+8+10=24（cm）．

2．

解答：

（1）解：

全等三角形有：

△ABE≌△CDF，△AFD≌△CEB，△ABC≌△CDA，

理由是：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AD=BC，

∵AC=AC，

∴△ABC≌△CDA（SSS）；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DAF=∠BCE，

∵DF∥BE，

∴∠AFD=∠CEB，

即∠AFD=∠CEB，∠DAF=∠BCE，AD=BC，

∴△AFD≌△CEB（AAS）；

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴∠BAE=∠DCF，

∵DF∥BE，

∴∠AFD=∠CEB，

∴∠AEB=∠DFC（等角的补角相等），

即∠BAE=∠DCF，∠AEB=∠CFD，AB=CD，

∴△ABE≌△CDF；

（2）证明：

∵由

（1）知：

△AFD≌△CEB，

∴BE=DF．

3．备选条件：

AE=CF，BE=DF，∠AEB=∠CFD，

我选择添加的条件是：

　BE=DF　．

（注意：

请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中，画出符合要求的示意图，并加以证明）

解：

添加的条件是BE=DF．证明如下：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∵BE=DF，

∴AF=CE，

即AF=CE，AF∥CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

故答案为：

BE=DF．

4．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠DGC=∠GCB（两直线平行，内错角相等），

∵DG=DC，

∴∠DGC=∠DCG，

∴∠DCG=∠GCB，

∵∠DCG+∠DCP=180°，∠GCB+∠FCP=180°，

∴∠DCP=∠FCP，

∵在△PCF和△PCE中

，

∴△PCF≌△PCE（SAS），

∴PF=PE．

5．

解答：

证明：

（1）∵BF=DE，

∴BF﹣EF=DE﹣EF，

即BE=DF，

∵AE⊥BD，CF⊥BD，

∴∠AEB=∠CFD=90°，

∵AB=CD，

∴Rt△ABE≌Rt△CDF（HL）；

（2）连接AC，

∵△ABE≌△CDF，

∴∠ABE=∠CDF，

∴AB∥CD，

∵AB=CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴AO=CO．

6．

解答：

猜想：

BE∥DF且BE=DF．

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CB=AD，CB∥AD，

∴∠BCE=∠DAF，

在△BCE和△DAF

，

∴△BCE≌△DAF，

∴BE=DF，∠BEC=∠DFA，

∴BE∥DF，

即BE∥DF且BE=DF．

7．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，∠B=∠D，

∵BE=DF，

∴△ABE≌△CDF，

∴AE=CF．

8．

解答：

解：

由题意得：

BE=DF，BE∥DF．理由如下：

连接DE、BF．

∵ABCD是平行四边形，

∴OA=OC，OB=OD，

∵E，F分别是OA，OC的中点，

∴OE=OF，

∴BFDE是平行四边形，

∴BE=DF，BE∥DF．

9．

解答：

解：

DC∥AB，理由如下：

∵AD∥BC，

∴∠DAF=∠BCE，

又∵BE⊥AC，DF⊥AC，

∴∠DFA=∠BEC=90°，

在△DFA和△BEC中

∵

，

∴△DFA≌△BEC（ASA），

∴AD=BC，

∵AD∥BC

∴四边形ABCD是平行四边形，

∴DC∥AB．

10．

解答：

证明：

（1）∵AB=AC，∴∠B=∠ACB，

∵∠FAC=∠B+∠ACB=2∠ACB，

∵AD平分∠FAC，

∴∠FAC=2∠CAD，

∴∠CAD=∠ACB，

∵在△ABC和△CDA中

，

∴△ABC≌△CDA；

（2）∵∠FAC=2∠ACB，∠FAC=2∠DAC，

∴∠DAC=∠ACB，∴AD∥BC，

∵∠BAC=∠ACD，∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵∠B=60°，AB=AC，

∴△ABC是等边三角形，

∴AB=BC，

∴平行四边形ABCD是菱形．

11．

解答：

证明：

（1）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），

∴AB∥DE，AB=DE（平行四边形的对边平行且相等）；

∴∠B=∠EDC（两直线平行，同位角相等）；

又∵AB=AC（已知），

∴AC=DE（等量代换），∠B=∠ACB（等边对等角），

∴∠EDC=∠ACD（等量代换）；

∵在△ADC和△ECD中，

，

∴△ADC≌△ECD（SAS）；

（2）∵四边形ABDE是平行四边形（已知），

∴BD∥AE，BD=AE（平行四边形的对边平行且相等），

∴AE∥CD；

又∵BD=CD，

∴AE=CD（等量代换），

∴四边形ADCE是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形）；

在△ABC中，AB=AC，BD=CD，

∴AD⊥BC（等腰三角形的“三合一”性质），

∴∠ADC=90°，

∴▱ADCE是矩形．

12．

解答：

证明：

∵点D，E，F分别是BC，AB，AC的中点，

∴DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

又∵AD⊥BC，BD=CD，

∴AB=AC，

∴AE=AF，

∴平行四边形AEDF是菱形．

13．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴CD=CB，∠DCA=∠BCA，

∵CE=CE，

∴△BEC≌△DEC．

（2）解：

∵∠DEB=140°，

∵△BEC≌△DEC，

∴∠DEC=∠BEC=70°，

∴∠AEF=∠BEC=70°，

∵∠DAB=90°，

∴∠DAC=∠BAC=45°，

∴∠AFE=180°﹣70°﹣45°=65°．

答：

∠AFE的度数是65°．

14．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是平行四边形

∴AB∥CD且AB=CD，AD∥BC且AD=BC

E，F分别为AB，CD的中点，

∴BE=

AB，DF=

CD，

∴四边形DEBF是平行四边形

在△ABD中，E是AB的中点，

∴AE=BE=

AB=AD，

而∠DAB=60°

∴△AED是等边三角形，即DE=AE=AD，

故DE=BE

∴平行四边形DEBF是菱形．

（2）解：

四边形AGBD是矩形，理由如下：

∵AD∥BC且AG∥DB

∴四边形AGBD是平行四边形

由

（1）的证明知AD=DE=AE=BE，

∴∠ADE=∠DEA=60°，

∠EDB=∠DBE=30°

故∠ADB=90°

∴平行四边形AGBD是矩形．

15．

解答：

证明：

在正方形ABCD和正方形AEFG中，

∠GAE=∠BAD=90°，

且∠GAE+∠EAB=∠BAD+∠EAB，

即∠GAB=∠EAD，

在△ABG和△ADE中，

，

∴△ABG≌△ADE（SAS）．

16．

解答：

解：

（1）△ODE≌△OCF；

证明：

∵四边形ABCD为正方形，

∴∠DOC=90°，∠ODC=∠OCB，

∴∠DOE+∠EOC=∠COF+∠EOC=90°，

∴∠DOE=∠COF

∴在△ODE和△OCF中，

∴△ODE≌△OCF（ASA）

（2）根据题意分析可得：

无论正方形ABCD，OEFC位置关系如何，

因其EO⊥FO，

所以其重合的部分的面积不变，总是等于正方形ABCD面积的

；

故其面积为

×

×102=12.5．

17．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是正方形，

∴BC=CD，∠BCD=∠B=∠ADC=∠CDF=90°，

在△EBC和△FDC中

∵

，

∴△EBC≌△FDC（SAS），

∴CE=CF．

（2）解：

∵△EBC≌△FDC，

∴∠BCE=∠DCF，

∵∠BCD=90°，∠GCE=45°，

∴∠BCE+∠GCD=90°﹣45°=45°，

∴∠GCD+∠DCF=45°，

∴∠GCF=45°．

（3）解：

连接EG，

∠ECG=∠GCF=45°，

在△ECG和△FCG中

∵

，

∴△ECG≌△FCG，

∴EG=GF，

∵DF=BE=

BC=1，

∴BC=CD=AD=AB=4，

设AG=x，则DG=4﹣x，GF=4﹣x+1=5﹣x=EG，AE=4﹣1=3，

在Rt△AEG中，由勾股定理得：

32+x2=（5﹣x）2，

解得：

x=1.6，

DG=4﹣1.6=2.4，

在Rt△GCD中，由勾股定理得：

GC=

=

．

18．

解答：

证明：

∵四边形ABCD是等腰梯形，

∴AB=DC，∠B=∠C．

∵E是BC的中点，

∴BE=CE．

在△ABE和△DCE中，

，

∴△ABE≌△DCE（SAS）．

∴AE=DE．

19．

解答：

（1）证明：

∵四边形ABCD是梯形，

∴AB∥DC，

又∵AE=CD，

∴四边形AECD是平行四边形．

∴∠DCA=∠EAC，

∵AC平分∠BAD，

∴∠BAC=∠DAC，

∴∠DAC=∠DCA，

∴AD=CD，

∴四边形AECD是菱形；

（2）解：

∵若点E是AB的中点，

∴AE=BE，

∵CE=AE，

∴CE=BE，

∴∠EBC=∠ECB，∠EAC=∠ECA

∴∠ECB+∠ECA=90°

∴△ABC为直角三角形．

20．

解答：

解：

（1）如图：

（2）BM=ME．

证明：

∵AD∥BC，

∴∠A+∠ABC=180°，

∵AB=CD，

∴∠ABC=∠DCB，

∵∠DCE+∠DCB=180°，

∴∠D=∠DCE，

∵AD=CE，AB=CD，

∴△ABD≌△CDE（SAS），

∴DB=DE，

∵DM⊥BE，

∴BM=ME．

21．

解答：

（1）证法一：

取边BC的中点E，连接ME．

∵M是边AB的中点，

∴BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．

∴∠MEC=∠NCD．

∵

，∴CD=CE．

∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．

∴△MEC≌△NCD．

∴CM=DN．

又∵CM∥DN，

∴四边形MCDN是平行四边形．

∴MN∥BC．

证法二：

延长CD到F，使得DF=CD，连接AF．

∵

，CD=DF，

∴BC=CF．

∵BM=AM，

∴MC∥AF．

∵MC∥DN，

∴ND∥AF．

又∵CD=DF，

∴CN=AN．

∴MN∥BC．

（2）答：

当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．

证明：

∵MN∥BD，BM与DN不平行，

∴四边形BDNM是梯形，

∵∠ACB=90°

M是边AB的中点，

∴BM=AM，

∵CM是Rt△ABC的中线，

∴CM=BM=AM，

∵CM=DN，

∴BM=DN，

∴四边形BDNM是等腰梯形．

22．

解答：

（1）证明：

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

又∵∠ABD=∠DBC，

∴∠ABD=∠ADB，

∴AB=AD，

同理：

AB=BE，

∴AD=BE，

又∵AD∥BE，

∴四边形ABED为平行四边形，

又∵AB=BE，

∴平行四边形ABED为菱形．

（2）证明：

∵AB=BE，∠ABC=60°，

∴△ABE为等边三角形，

∴AB=AE．

又∵AD=BE=EC，AD∥EC．

∴四边形AECD为平行四边形，

∴AE=DC，

∴AB=DC，

∴梯形ABCD是等腰梯形．

23．

解答：

证明：

（1）∵BD⊥CD，

∴∠BDC=90°，

∵E是BC的中点，

∴BE=DE=EC，

∵∠BEA=∠DEA，

∴EF⊥BD，

∴∠BFE=90°，

∴EA∥CD，

∵AD∥BC，

∴四边形AECD是平行四边形，

∴AE=CD．

（2）∵四边形AECD是平行四边形，

∴AD=EC，

∴AD=BE，又AD∥BE，

∴四边形ABED是平行四边形，

∵BE=DE，

∴四边形ABED是菱形．

24．

解答：

（1）证明：

∵等腰梯形ABCD中，AD∥BC，

∴AB=CD，∠DCB=∠ABC，∠D+∠DCB=180°，

∵∠ABE+∠ABC=180°，

∴∠D=∠ABE，

∵在△AEB和△CAD中

，

∴△AEB≌△CAD；

（2）解：

∵四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，

∴∠D=∠BAD=100°，

∵AD=DC，

∴∠DCA=∠DAC=

（180°﹣∠D）=40°，

∵由

（1）知：

△AEB≌△CAD，

∴∠E=∠DAC=40°．

25．

解答：

解：

DM，CM分别是∠ADC和∠DCB的平分线．理由如下：

证明：

延长DM交CB延长线于N．

∵AD∥BC，

∴ADM=∠N，

又∵AM=BM，∠AMD=∠NMB，

∴△AMD≌△BMN，

∴DM=MN，AD=BN．

∵CD=AD+BC=BN+BC，

∴CD=CN，

∴∠CDN=∠N=∠ADN，

∴MD是∠ADC的平分线．

26．

解答：

解：

（1）梯形，（1分）中位线，（2分）

2EF=AB+CD；（4分）

（2）AB+CD＞2EF．（7分）

证明如下：

连接AC，取AC的中点M，（8分）

连接EM、FM．

在△ACD中，

∵E为AD中点，M为AC中点，

则EM为△ACD的中位线，∴EM=

DC；（9分）

在△ABC中，∵F为BC中点，M为AC中点，则FM为△ABC的中位线，∴FM=

AB．（10分）

在△EFM中，∵EM+FM＞EF，（11分）

即

DC+

AB＞EF，

两边同乘以2，得AB+CD＞2EF．（12分）

27．

解答：

解：

结论：

BG=PE+PF，

证明如下：

过点P作PH⊥BG，垂足为H，

∵PF⊥CD，BG⊥CD

∴四边形PFGH为矩形．

∴PF=HG．

∵PH∥CD，

∴∠BPH=∠C，而∠C=∠ABP，

∴∠EBP=∠HPB，

又PE⊥AB，PH⊥BG，

∴∠BEP=∠HBP，且BP=BP，

∴△BPE≌△PHB，

∴PE=BH，

∴BG=PE+PF．