光明市的菜篮子工程.docx
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光明市的菜篮子工程
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的,如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）：
A
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：
参赛队员（打印并签名）：
1.
2.
3.
指导教师或指导教师组负责人（打印并签名）：
日期：
2012年8月21日
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2012高教社杯全国大学生数学建模竞赛
编号专用页
赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：
评
阅
人
评
分
备
注
全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：
全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
光明市的菜篮子工程
摘要
本文研究的是蔬菜市场为满足不同条件的最优调配方案问题，用了Froyd算法、线性规划建立了一系列数学规划模型，并用MATLAB和LINGO软件编程实现。
关于问题一：
用Froyd算法结合MATLAB编程求出收购点至个菜市场的最短距离，以用于蔬菜调运及预期的短缺损失为最小为目标建立线性规划模型。
用LINGO编程求得日均费用最少为4610元。
关于问题二：
在模型一的基础增加各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%的约束条件，用LINGO编程求得最少日均费用以及最优供应方案。
费用最少为4806元，供应方安见正文。
关于问题三：
在模型一的基础上，改为以供货充足、费用最小为目标，建立模型三，用LINGO编程求得日均费用为4770元，增产的蔬菜每天应分给C收购点8000Kg。
关键字：
蔬菜市场调配方案Froyd算法线性规划
一问题的重述
光明市是一个人口不到15万人的小城市。
根据该市的蔬菜种植情况，分别在花市（A），城乡路口（B）和下塘街（C）设三个收购点，再由各收购点分送到全市的8个菜市场，该市道路情况，各路段距离（单位：
100m）及各收购点，菜市场①
⑧的具体位置见图3.2.按常年情况，A,B,C三个收购点每天收购量分别为200，170和160（单位：
100kg）,各菜市场的每天需求量及发生供应短缺时带来的损失（元/100kg）见表3.设从收购点至各菜市场蔬菜调运费为1元/（100kg.100m）.
①7②
54837
A76B
⑥685
54711
74③
756
6⑤35④
866
10C10⑧
511
⑦
表3
菜市场
每天需求（100kg）
短缺损失（元/100kg）
①
75
10
②
60
8
③
80
5
④
70
10
⑤
100
10
⑥
55
8
⑦
90
5
⑧
80
8
（a）为该市设计一个从收购点至个菜市场的定点供应方案，使用于蔬菜调运及预期的短缺损失为最小；
（b）若规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%，重新设计定点供应方案；
（c）为满足城市居民的蔬菜供应，光明市的领导规划增加蔬菜种植面积，试问增产的蔬菜每天应分别向A,B,C三个采购点供应多少最经济合理。
二符号说明
从A到i（各个菜市场）的最短距离
从B到i（各个菜市场）的最短距离
从C到i（各个菜市场）的最短距离
从A到i（各个菜市场）的运货量
从B到i（各个菜市场）的运货量
从C到i（各个菜市场）的运货量
总调运费
短缺损失
总费用
三模型假设
1、假设日需求量与缺货损失费用不变。
2、假设在蔬菜调配的过程中无意外发生。
3、假设新增产的蔬菜能够满足缺货量。
四模型的建立与求解
4.1问题一
4.1.1问题的分析：
为了使用于蔬菜调运及预期的短缺损失为最小，即调运费用与缺货损失之和最小。
首先考虑调运费用P，P为距离与送货量的积，因为与送货距离相关，我们必须先求出A、B、C三个采购点至各个菜市场的最短距离。
采用Froyd算法，结合MATLAB编程实现。
其次考虑缺货损失Q，以题中要求为约束条件，损失最低位目标建立线性规划模型，用LINGO编程求解。
4.1.2模型的建立与求解：
由图和表格的信息知，建立一个线性规划模型，使得蔬菜调运及预期的短缺损失为最小。
调运总费用P为：
若使调运总费用最少，则应保证A、B、C三个收购点到8个菜市场的路程最短，最短路线的求解过程如图一：
图一：
求解过程图
分析上图可知，该路线为无向网络，就该图而言，网络弧集为：
E=[（v1,v2）,（v1,v4）,（v1,v5）,（v2,v1）,（v2,v3）,（v2,v5）,（v2,v6）,（v3,v2）,.（v3,v6）,（v3,v8）,（v3,v9）,（v4,v1）,（v4,v5）.（v4,v7）,（v4,v10）,（v5,v1）,（v5,v2）,（v5,v4）,（v5,v6）,（v5,v7）,（v5,v8）,（v6,v2）,（v6,v3）,（v6,v5）,
（v6,v8）,（v7,v4）,（v7,v5）,（v7,v8）,（v7,v11）,（v8,v3）,（v8,v5）,（v8,v6）,（v8,v7）,（v8,v9）,（v8,v11）,（v9,v3）,
（v9,v8）,（v9,v11）,（v9,v13）,（v9,v15）,（v10,v4）,（v10,v11）,（v10,v12）,（v10,v14）,（v11,v7）,（v11,v8）,（v11,v9）（v11,v10）,（v11,v12）,（v12,v10）,（v12,v11）,（v12,v13）,（v12,v14）,（v13,v9）,（v13,v12）,（v13,v14）,
（v14,v10）,（v14,v12）,（v14,v13）,（v15,v9）]
下面来确定网络权矩阵：
W=
其中
=
，当（
）属于E时，
为弧（
）的权
=0，i=1,2,3……n
=inf,当（
）不属于E时。
（inf为无穷大，n为网络结点个数）
按上述规定，该网络的权矩阵为：
07inf54infinfinfinfinfinfinfinfinfinf
707inf83infinfinfinfinfinfinfinfinf
inf70infinf6inf711infinfinfinfinfinf
5infinf06inf5infinf7infinfinfinfinf
48inf60748infinfinfinfinfinfinf
inf36inf70inf5infinfinfinfinfinfinf
infinfinf54inf04infinf7infinfinfinf
infinf7inf85406inf5infinfinfinf
infinf11infinfinfinf60inf3inf6inf5
infinfinf7infinfinfinfinf068inf10inf
infinfinfinfinfinf753606infinfinf
infinfinfinfinfinfinfinfinf860105inf
infinfinfinfinfinfinfinf6infinf10011inf
infinfinfinfinfinfinfinfinf10inf5110inf
infinfinfinfinfinfinfinf5infinfinfinfinf0
因为上述网络有15个结点，故网络的权矩阵均为15阶矩阵。
现在给出网络最短路线的Froyd算法：
（1）d1=w.（w为所给网络的n阶权矩阵）
（2）dk=
k=2,3,…,p.
其中
=min[
+
i,j=1,2,…,n.
计算次数的确定：
当
0时，p由下式确定：
p
ln（n-1）/ln2，这样的dp就确定了网络各点间的最短距离。
此处n=15,解出p
3.8074
故只需要取p=4即可，即算到d4即可。
按照Froyd算法：
d1=d,d2=fld（15,d1）,d3=fld（15,d2）,
d4=（fld（15,d3）,算的d4为：
0714541081218121520242223
707128312814191319202419
14701613611711181218172316
512160613591571215211720
48136074814131117202219
103613709511161016172116
81211549041012713161815
128798540611511121611
18141115141110609396145
1219187131612119068151014
1513121211107536069118
2019181517161311986010514
242017212017161261591001111
2224231722211816141011511019
231916201916151151481411190
d4即为该网络的距离矩阵，距离矩阵的第i行指明了
到其他各点的最短距离。
根据上述矩阵，分别找出A,B,C到①、②、③、④、⑤、⑥、⑦、⑧的最短距离，见表一：
表一：
收购点到菜市场的最短距离
最短距离（单位：
100千米）
①
②
③
④
⑤
⑥
⑦
⑧
A
4
8
8
19
11
6
22
20
B
14
7
7
16
12
16
23
17
C
20
19
11
14
6
15
5
10
调运量的限制：
短缺损失费为：
总费用为：
由以上约束条件，用LINGO软件进行线性规划求解（源程序及完整运行结果见附录），部分运行结果如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
4610.000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
10
ModelClass:
LP
Totalvariables:
26
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
22
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
124
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
P3890.0000.000000
Q720.00000.000000
SA175.000000.000000
SA20.0000000.000000
SA30.0000000.000000
SA40.0000002.000000
SA570.000000.000000
SA655.000000.000000
SA70.00000012.00000
SA80.0000005.000000
SB10.00000011.00000
SB260.000000.000000
SB380.000000.000000
SB430.000000.000000
SB50.0000002.000000
SB60.00000011.00000
SB70.00000014.00000
SB80.0000003.000000
SC10.00000021.00000
SC20.00000016.00000
SC30.0000008.000000
SC40.0000002.000000
SC530.000000.000000
SC60.00000014.00000
SC790.000000.000000
SC840.000000.000000
从上述运行结果中可以得出调运方案为：
在此种方案下，蔬菜调运及预期的短缺损失为最小，最小金额为4610元。
4.1.3模型的评价与分析：
本模型用Froyd算法快捷的求出了A、B、C三个收购点到8个菜市场的最短路程，用线性规划模型使得费用最低，并给出了上图所示的调配方案。
在所得方案中每日只需4610元。
4.2问题二
4.2.1问题的分析：
若按规定各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%，则只需要在模型一的基础上在增加一个约束条件：
每个菜市场的供应量必须不低于需求量的80%即可。
即得到满足条件的模型二。
4.2.2模型的建立与求解：
各菜市场短缺量一律不超过需求量的20%，为满足这一条件，现对方案一进行调整。
只需在方案一中加一限制条件：
同理可用LINGO编程（源程序及完整运行结果见附录），部分运行结果如下：
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
4806.000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
13
ModelClass:
LP
Totalvariables:
26
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
30
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
148
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
P4208.0000.000000
Q598.00000.000000
SA175.000000.000000
SA210.000000.000000
SA30.0000000.000000
SA40.0000002.000000
SA560.000000.000000
SA655.000000.000000
SA70.00000012.00000
SA80.0000005.000000
SB10.00000011.00000
SB250.000000.000000
SB364.000000.000000
SB456.000000.000000
SB50.0000002.000000
SB60.00000011.00000
SB70.00000014.00000
SB80.0000003.000000
SC10.00000021.00000
SC20.00000016.00000
SC30.0000008.000000
SC40.0000002.000000
SC524.000000.000000
SC60.00000014.00000
SC772.000000.000000
SC864.000000.000000
从上述运行结果得知调整后的方案为：
调整后的总损失为：
4806元。
4.2.3模型的评价与分析：
在增加了供货量的限制条件后，只需在模型一的基础上再增加约束条件即得到模型二。
在本模型下日均花费最低为4806元。
新的调配方案如上图所示。
4.3问题三
4.3.1问题的分析：
本题的目标有二：
一、要满足每个菜市场的供货量充足；二、要使得总费用最低。
所以我们在模型一的基础上增加了上述两个限制条件，即得到模型三。
使得在供货量充足的情况下最小化日均费用。
4.3.2模型的建立与求解：
要足城市居民的蔬菜供应，增加蔬菜种植面积，则需要保证所有的菜市场都满足日需求量，在问题一得基础上作出以下调整：
同理，用LINGO编程求解（源程序及完整运行结果见附录），部分运行结果如下:
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
4770.000
Infeasibilities:
0.000000
Totalsolveriterations:
12
ModelClass:
LP
Totalvariables:
26
Nonlinearvariables:
0
Integervariables:
0
Totalconstraints:
22
Nonlinearconstraints:
0
Totalnonzeros:
124
Nonlinearnonzeros:
0
VariableValueReducedCost
P4770.0000.000000
Q0.0000000.6250000
SA175.000000.000000
SA240.000000.000000
SA30.0000000.000000
SA40.0000002.000000
SA530.000000.000000
SA655.000000.000000
SA70.00000012.00000
SA80.0000005.000000
SB10.00000011.00000
SB220.000000.000000
SB380.000000.000000
SB470.000000.000000
SB50.0000002.000000
SB60.00000011.00000
SB70.00000014.00000
SB80.0000003.000000
SC10.00000021.00000
SC20.00000016.00000
SC30.0000008.000000
SC40.0000002.000000
SC570.000000.000000
SC60.00000014.00000
SC790.000000.000000
SC880.000000.000000
从结果中可以的知：
故新增的蔬菜8000Kg全部运向C地，这样既能满足城市居民的蔬菜供应，又能使总损失最小，最小为：
4770元。
4.3.3模型的评价与分析：
本模型以供货充足和费用最低为目标，利用题中的约束条件解得：
在供货量充足的情况下日均花费最低为4770元。
并得到了全新的调配方案如上图所示，而且新增蔬菜8000Kg，且全部运向C地。
五模型的及评价与改进
5.1模型的评价
5.1.1模型的优点：
模型简单易懂，主要用了Froyd算法与线性规划，使问题的求解变得十分方便，能适应更重新的要求。
5.1.2模型的缺点：
上述模型第三问只考虑了运输费用最小，却没有考虑到供过于求造成的货物积压问题。
5.2模型的改进:
由于上述模型第三问只考虑了运输费用最小，却没有考虑到供过于求造成的货物积压问题。
可将存货损失计算进去，这样会使这个模型更加完善。
六参考文献
[1]姜启源，数学模型，北京，高等教育出版社，2003
[2]黄雍检、赖明勇，MATLAB语言在运筹学中的应用，长沙，湖南大学出版社，2005
七附件
问题一：
MATLAB新建m文件：
functiony=fld（n,x）
forr=1:
n
fori=1:
n
forj=1:
n
p（j）=x（i,j）+x（j,r）;
end
y（r,i）=min（p）;
end
end
输入命令：
d=[07inf54infinfinfinfinfinfinfinfinfinf;
707inf83infinfinfinfinfinfinfinfinf;
inf70infinf6inf711infinfinfinfinfinf;
5infinf06inf5infinf7infinfinfinfinf;
48inf60748infinfinfinfinfinfinf;
inf36inf70inf5infinfinfinfinfinfinf;
infinfinf54inf04infinf7infinfinfinf;
infinf7inf85406inf5infinfinfinf;
infinf11infinfinfinf60inf3inf6inf5;
infinfinf7infinfinfinfinf068inf10inf;
infinfinfinfinfinf753606infinfinf;
infinfinfinfinfinfinfinfinf860105inf;
infinfinfinfinfinfinfinf6infinf10011inf;
infinfinfinfinfinfinfinfinf10inf5110inf;
inf
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