小学奥数思维04特殊思路Word文件下载.docx
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mn种方法。
这种运用乘法原理分析解题的思路，我们把它叫乘法原理思路。
例1小聪、小明、小英三人约好每人报名参加学校兴趣小组的唱歌、舞蹈、绘画、电脑四个组中的一个，问报名结果会出现多少种不同情形？
分析（运用乘法原理分析）：
三人报名参加兴趣小组，彼此不受影响，可看作分三步完成。
首先小聪报名，他可以报四个组中的任何一组，有4种不同情形；
第二步由小明报名，仍可报四个组中的任何一组，也有4种不同情形；
剩下第三步小英报名，同样有4种不同情形。
完成报名这件事，本题是分三步完成的，每一步都有4种不同情形，故最后可用乘法原理计数公式求出总数。
例2地图上有A、B、C、D四个国家（如图2.22），现用红、蓝、黄、绿四种颜料给地图染色，使相邻国家的颜色不同，问有多少种不同的染色方法？
分析（用乘法原理思路分析）：
此题表面看起来与乘法原理无关。
但只要仔细想一想，就会发现：
对于任何一种符合要求的染色方案，都是分步完成的。
比如：
A染红、B染绿、C染黄、D染红，可以看作是按A、B、C、D的顺序着色的，也就是说第一步给A染红色，第二步给B染绿色，第三步给C染黄色，第四步给D染红色。
所以我们可以把给地图染色分成四个步骤。
第一步给A染色有4种方法，第二步给B染色，因为A、B相邻，B只有3种方法，第三步给C染色，C与A、B相邻，只有2种方法，第四步给D染色，D与B、C相邻，也只有2种方法。
既然给地图染色是分步完成的，所以完全可以运用乘法原理去计数。
例3全国各地的电话纷纷升为7位，对于某市电话分为若干个分局，即前两位数字代表分局，后五位数字表示号码。
如4432367，表示44分局，号码是32367。
那么，对于44分局这个电话局来说，可以安装多少部电话？
分析（用乘法原理结合思路探讨）：
要解决这个问题，对于44分局来说，等于说用0、1、2、……8、9这十个数字来排五位的号码□□□□□，有多少不同的排法，就能有多少个不同的电话号码，也就能装多少部电话。
号码□□□□□中，分五步来完成：
第一步，第一个位置的□内，可由0、1、2……8、9十个数码中任选一个来排，有10种排法，第二步，第二个位置的□内，也可以由0、1、2、3、……8、9十个数码中任选一个来排。
同理，第三步、第四步、第五步分别填第三、第四、第五个位置的□内的数码，也各有10种排法。
因为每个电话号码的排定是分步完成的，因此本题可以通过乘法原理思路找到解题的途径。
【加法、乘法原理相结合的思路】在解决一些计数问题时，大多数情况下并不是单独运用加法原理或乘法原理，而是两者结合起来运用。
我们把这种结合起来考虑的思路，叫做加法、乘法原理结合思路。
例1数1339，1008，1761有一些共同的特征，它们都以1开头，含有两个相同的数字，且都是四位数，问这样的数共有多少个？
分析（运用加法、乘法原理结合思路来分析）：
什么情况下用加法原理，什么情况下用乘法原理，有些题目很分明，有些题目要两者结合起来使用。
一般说，凡是“分类”完成的事情，求方法总数应用加法原理；
凡是“分步”完成的事，求方法总数应用乘法原理。
因此分清“分步”与“分类”是解决这类问题的关键。
如果一个题中既有“分类”，又有“分步”，则要两者结合起来思考。
本题就属于此类题目。
首先我们看到满足要求的四位数可以分为两大类。
第一类相同数字是1；
第二类相同数字不是1。
那么要求这样的数共有多少个，就只要把第一类有多少个数，第二类有多少个数，先求出来。
适用“分类”完成的事情，应该用加法原理去计数就是了。
但是每一类的各个数都是四位数，组成一个四位数由4个不同的数字构成，先确定千位，再分别确定百位、十位、个位上的数，这就是说确定一个四位数要分四步才能完成，所以就要运用乘法原理了。
如第一类数，相同的数字是1，由于千位上数字必须是1，还有一个数字1可在百位、十位或个位上，这就有3种可能，剩下两个数位（比如可能是百位或个位）上数字不是1，应是其他两个不同数字（0、2、3、……9），就分别有9种与8种可能，这样根据乘法原理，这一类数就共有3×
9×
8＝216（个）；
第二类数，相同数字不是1，那么相同数字就应是除1以外的任何一个数（0、2、3……9），这就有9种可能，它们可以在百位与十位、十位与个位、个位与百位三种不同位置上，故有3种可能。
剩下一个数位上的数字有8种不同情形，这样根据乘法原理，这一类数就有9×
3×
8＝216（个）。
求出了每类数的具体个数后，就容易求出总数了。
例2如右图（图2．23），从A走到B，要求从左至右、从下至上，从左下至右上，问有多少种不同的走法？
分析（运用加法与乘法原理结合思路分析）：
此题乍看只能运用乘法原理，因为从A到B是分步完成的。
好像无从分类，用不着加法原理。
其实我们把此题的线路作如下分解后（如（图2.24），就会发现从A到B的路线可以分成两类。
一类经过C点，一类不经过C点，这样求两类的总数就是应用加法原理了。
而每一类的各种走法因为是分步完成的，所以又要应用乘法原理。
先看第一类经过C点的，从图上（如图2.25）可以看出，从A到C有4种走法，从C到B有4种走法，所以应用乘法原理可知从A经C到B的走法共有4×
4＝16种。
再看第二类不经过C点的，应用加法原理（因为直接从A到B），从图上可以数出有4种走法（如图2.26）。
然后再运用一次加法原理，就可以求出这两类的走法的总数了。
例3燕山小学的乒乓球代表队由10名男队员和8名女队员组成。
（1）在校际乒乓球对抗赛上，燕山小学要从这些队员中挑选1名男队员和1名女队员合成一组去参加男女混合双打比赛，问有多少种不同的搭配方式？
（2）燕山小学荣获了区乒乓球比赛团体总分第一，领队要选派一名男队员或女队员去登台领奖，问有多少种不同的选法？
分析（运用加法、乘法原理结合的思路去分析）：
（1）题中，挑选男女混合双打的一组队员是“分步”完成的。
第一步从10名男队员中挑选一名，第二步从8名女队员中挑选1名，配成一组，所以属于乘法原理。
第一步有10种可能，第二步有8种可能，总共有多少种可能就显而易见是运用乘法原理了。
（2）题中，挑选1名队员去领奖是“分类”完成的。
即第一类从男队员中去选派，10名队员，每1名队员都有可能被选上，这就有10种可能，另一类是从女队员中去选派，同样的道理8名队员就有8种可能，所以本题求总数就应该用加法原理。
【容斥原理思路】当几个计数部分有重复时，为了不重复地计数，应从它们的和中减去重复部分。
解决这类有关重叠方面的计数问题，就要沿着计数中的一个重要原理——容斥原理去思考。
什么是容斥原理？
“容”是“相容、包含”的意思，“斥”是“相斥、排除”的意思，由于容斥原理的内容是“相容与排斥”关系的阐述，故得名为容斥原理，它有三个基本原理。
容斥原理1如图2.27，设有两个集合A和B，把A和B合并在一起组成集合C，则C的元素个数等于A与B元素个数的和，减去A与B的公共元素的个数。
容斥原理2如图2.28，设有一个集合M，M内有集合A与B，把A与B合并在一起的是集合C，则C以外的集合N的元素个数，等于M的元素个数减去C的元素个数。
容斥原理3如图2.29，设有一个集合M，M内有集合A、B、C，把A、B、C合并在一起的集合是D，则D以外的集合N的元素个数等于M的元素个数减去D的元素个数。
容斥原理的基本精神，用一句通俗的话来说就是减足了再加，加足了再减。
运用容斥原理分析解题的思路，我们把它叫容斥原理思路。
例1．英才小学组织学生参加区田径运动会，其中参加径赛的有21人，参加田赛的有25人，既参加径赛又参加田赛的有9人，求英才小学组织了多少名学生参加区田径运动会？
分析（运用容斥原理思路思索）：
这是一道典型的重叠计数问题，所以应沿着容斥原理思路去考虑。
我们可以根据容斥原理1画出下图（图2．30）。
参加径赛的21人，田赛的25人，求总人数，我们不能简单地把两者加起来，因为有9人既参加了径赛，又参加了田赛，这就是说，这9人既包含在径赛的21人中，又包含在田赛的25人中，重复计算了两次，因此应减去重复计算的那一次，本题的解题思路可以沿着容斥原理1去思考。
即c＝a＋b－（ab）
例2一年级实验班有46人，在期终考试中，每人至少有一门语文或一门数学得100分，其中语文得100分的有34人，数学得100分的有39人，语文数学得双百分的有多少人？
分析（运用容斥原理分析）：
此题和例1，除了一个条件和问题对换以外，其他结构是一样的，所以仍可用容斥原理分析。
语文得百分的有34人，数学得百分的有39人，两者相加为73人，比该班人数46人多，为什么会多呢，如图2·
31，因为这当中语文得百分的34人中包含了得双百分的人数，数学得百分的39人中也包含了得双百分的人数。
全班人数由三部分人数构成：
即
（1）只有语文得百分的；
（2）只有数学得百分的；
（3）语数都得百分的。
所以求语数都得百分的人数，可根据容斥原理c＝a＋b－（ab）变形为（ab）＝a＋b－c。
即可。
这里a＝34b＝39c＝46。
例3在1——1000的自然数中，既不是4的倍数，也不是6的倍数的数共有多少个？
分析（用容斥原理思路分析）：
如何求1000以内既不是4的倍数，也不是6的倍数的数共有多少个？
乍一看，1000中减去4的倍数的个数和6的倍数的个数，应该说剩下的个数就是既不是4的倍数，也不是6的倍数的个数了。
但这样理解就错了。
因为你重复减了一些数。
例如12这个数，它既是4的倍数，又是6的倍数，这就是说它既含在4的倍数的个数里，又含在6的倍数的个数里，你在减去4的倍数的个数里减去了它，在减6的倍数的个数里再次减去它，这就重复多减了一次，所以应还一个这样的数。
根据容斥原理：
n＝m－a－b＋（ab）
这里m就是1000，a就是4的倍数的个数，它有多少呢？
可以计算一下：
这里用的括号（〔〕）表示取整数的意思，即把括号内除得的商的小数部分全部去掉，只保留整数部分。
例4有四个图形摆放在桌面上（如图2．32），长方形、正方形、大圆、小圆的面积分别是22、18、24、12平方厘米；
长方形与正方形重合部分的面积是7.4平方厘米，长方形与小圆重合部分的面积是8.2平方厘米；
长方形与大圆重合部分的面积是7.6平方厘米，正方形与小圆重合部分的面积是5.8平方厘米，正方形与大圆重合部分的面积是9.5平方厘米；
长方形、正方形与小圆重合部分的面积是2.8平方厘米，长方形、正方形与大圆重合部分的面积是3.5平方厘米。
求总体图形所覆盖的面积。
此题如果这四个图形没有一点重叠地摆放在桌面上，那么要求覆盖的总面积，就只需把这四个图形的面积相加就是了。
问题就出在有重叠，而解决重叠计数问题的思路就是容斥原理，本题是多次重叠，那么我们就采取加足了再减，减足了再加。
四个图形相加，多算了长方形与正方形、长方形与小圆、长方形与大圆、正方形与小圆、正方形与大圆的重合部分，所以应把这些重叠部分分别减去（即7.4，8.2，7.6，5.8，9.5），但当你真正分别减去这些重叠部分时，你又发现多减了，因为这当中的长方形、正方形与小圆重合部分面积2.8平方厘米，及长方形、正方形与大圆重合部分的面积3.5平方厘米，是三次重复，多减了就要退还，所以又要把这两个数相加，这一思路正符合容斥原理了，即d＝a＋b＋c－（ab）－（bc）－（ac）＋（abc），只不过本题比容斥原理3再增加了一个数罢了。
【抽屉原理思路】在现实生活中，我们还会遇到一种与容斥原理不同的另一类重叠问题。
如把3本书放在两个抽屉里，无论你怎么放，至少有一个抽屉要放2本或2本以上，这反映了一种非常有用的思考问题和解决问题的数学原理——抽屉原理。
什么是抽屉原理？
它包括两个内容：
抽屉原理1：
如果把（n＋1）个（或更多个）物体（元素）放进n个抽屉里去，那么，至少有一个抽屉里放进2个或2个以上物体（元素）。
抽屉原理2：
如果把m×
n个（或更多个）物体（元素）放进抽屉里，那么，至少有一个抽屉里放进（m＋n）个或更多个物体（元素）。
抽屉原理又叫鸽子笼原则，它是十九世纪德国数学家狄利克雷最早发现并应用于数论研究的，后人为了纪念他，有时也把抽屉原理叫狄利克雷重叠原理。
运用抽屉原理来解题的思路，我们把它叫做抽屉原理思路。
其思路的主要步骤是：
（1）造好抽屉，确定元素；
（2）所有元素，放入抽屉（或从抽屉取出元素）；
（3）根据原理，说明结论。
例1今年燕山小学招收的一年级新生有230名，年龄在6岁至7岁之间，能否保证有20名或20名以上的小朋友在同一个月出生；
为什么？
分析（运用抽屉原理思路分析）：
本题的问题是在230名小朋友中能否有20名以上的小朋友是同一个月出生。
因为这些小朋友的年龄在6岁至7岁之间，这就是说他们年龄最小的与年龄最大的相差12个月，应用抽屉原理，把12个月看作12个抽屉，把230名小朋友看作230本书，如果每个抽屉里放19本书，那么共放19×
12＝228（本），因为230大于228，所以一定有20本或20本以上的书放在同一个抽屉里。
因此该校今年招收的一年级新生能否保证有20名或20名以上的小朋友在同一个月出生的回答应该是肯定的。
例2有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？
在黑暗中摸筷子，如果连摸8根都是同一颜色的，只能保证有一双筷子，那么剩下两种颜色看作两个抽屉，要使两个抽屉里有两根同颜色，则根据抽屉原理1，至少要取3根筷子，这样，至少要取出（8＋3）根筷子，才能保证取出颜色不同的两双筷子。
例3有19个同学参加了三个课外活动小组，它们分别是数学组、美术组、电脑组，每人可参加一个组、两个组或三个组活动，问这些同学中至少有几个同学参加了相同的组？
这道题就是要把19个同学放到若干个小组里去。
已知物体（元素）是19，接下来是要确定抽屉。
因为每个人可以参加三个课外小组的一个、两个或三个，这样就不是3个抽屉，而是（3＋2＋1）个抽屉了，然后可根据抽屉原理2去解答，至少有4个同学参加了相同的小组。
例4一个布袋里有红、白、黄、蓝、绿五种颜色的气球若干个，问至少要拿出几个气球，才能保证其中有5个气球是同种颜色的？
分析（用抽屉原理分析）：
我们把5种颜色看作5个抽屉（n），物体（元素）的个数不知。
但知道抽屉原理2中的m＋1＝5，所以m＝4，根据抽屉原理2，就可求得至少要拿出的气球个数。
即可根据至少的元素个数＝m×
n＋1求出。
【估算思路】有些计算题，不要求精确的结果，只需对结果作大概的估计，我们把它叫估算，估算一般采取将原算式各数适当放大和缩小的办法，我们称之为“前后夹攻法”。
运用估算解题的思路，我们把它叫估算思路。
例1求数
分析（用估算思路思考）：
从条件可知，这11个带分数的和，可以先把每个分数拆成一个整数和一个真分数，然后把11个整数和11个分数分别相加后，再相加，1＋2＋3＋……
先放大：
再缩小。
到此求a的整数部分是几就容易了。
例2已知
问a的整数部分是几？
分析（运用估算思路分析）：
此题要直接计算出来，虽然可以，但计算相当繁杂，而且容易出错。
因为题目要求结果并不是准确值，只要求a值的整数部分是多少，故运用估算思路来考虑。
先估算出a值的大致范围。
然后对上式中的第二个加数进行估算，经过“放大”和“缩小”后不难得出。
由此可得：
即可求出a的整数部分是多少了。
例3．有一算式，左边方框里都是整数，右边答案只写出了四舍五入后的近似值：
本题先用估算思路确定左边算式的精确值的范围：
由于1.16是这个精确值四舍五入后得到的，所以它一定介于1.155与1.164之间。
假设算式左边三个方框中的整数从左至右依次分别为A、B、C，则
去分母得：
121.275≤35A＋21B＋15C≤122.2
由于每个方框里的数都是一个整数，所以中间算式35A＋21B＋15C的结果也一定是一个整数。
即35A＋21B＋15C＝122。
由奇偶性可以看出A、B、C三个数中一定是两奇一偶，同时根据题意．
这样可得出A、B、C分别是1、2、3。
【统筹法思路】有些题，要求在许多方案中寻求一种最合理、最省事、最节约的最优方案，这实际上运用了统筹法，我们把这种思路叫统筹法思路。
用统筹法思路考虑问题时要注意三点：
（1）要做哪些工作；
（2）做每件工作需要的时间；
（3）要弄清所做工作的程序。
也就是先做什么，后做什么，哪些工作可以同时做。
从而找出最优方案。
例1用一只平底锅煎饼，每次只能放两个饼，煎一个饼需要2分钟（假定正、反面各需1分钟），问：
（1）煎3个饼至少需要几分钟？
（2）如果需要煎n（n＞1）个饼，至少需要几分钟？
分析（用统筹法思路思考）：
本题就是要我们考虑怎样安排煎饼最节省时间。
（1）如果煎3个饼一个一个煎，则要6分钟，如果先煎好2个饼，再煎第3个饼，则共需4分钟，但统筹安排一下，还可以把时间缩短，先将两个饼同时放入锅里一起煎，1分钟后两个饼都熟了一面，这时可先将第1个取出，第2个翻了面，再放入第3个，又煎了1分钟，第2个已经煎好，可取出，把第3个翻个面，再将第1个放入煎，再煎1分钟就全部熟了，由此可知煎3个饼至少需要3分钟．
（2）由煎3个饼需要3分钟，可以推得煎n（n＞1）个饼需要n分钟。
例2妈妈让小明给客人烧水沏茶，洗开水壶要用1分钟，烧开水要15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，小明估算了一下，完成这些工作需要20分钟，为了让客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了？
分析（用统筹法思路考虑）：
本题最合理的安排应该是最省时间，那就要考虑在同一时间里做两件、三件事，题中列出了从准备工作到开始沏茶这一过程中各个“工序”所需的时间，我们可以把各个“工序”之间的衔接关系以及所需时间用下图表示：
从图中可以看出：
①—→②—→⑥这条线需要的时间最长，决定着完成整个“工序”所需的时间。
由于②—→⑥所需时间最长：
15分钟。
所以③—→⑥、④—→⑥、⑤—→⑥都可以在此同时进行，而不另占时间，水烧开了就沏茶．所以只需将①—→②—→⑥所需时间算出来，就是所求时间。
【数列求和思路】在生产建设和日常生活中，经常遇到求一列数的和的问题。
如何才能简捷地求一列数的和呢？
我们可以沿着数列求和的思路，去找出这一列数的特点，然后按某种特定的公式去求和。
数列很多，如等差数列、等比数列、菲波那契数列等等，数列求和主要是讲等差数列求和。
这种数列的特点就是一列数依次相差一个固定的数。
其求和的公式为：
a＝首项b＝末项
n＝项数．
例1（如图2·
33）一堆钢管，最底下一层是十根，倒数第二层是九根，以后每上一层，钢管减少一根。
问十层共有多少根钢管？
分析（用数列求和思路思考）
这个题目，实际上就是求从1到10的连续10个自然数的和，因此可以按数列求和的思路探索：
1＋2＋3＋……＋10＝？
这列数有什么特点呢？
仔细观察一下就会发现，这列数依次相差一个固定的数1，是一个有10项的等差数列，所以完全可以用等差数列求和的公式求出这堆钢管的总数。
例2一个剧场放置了20排座位，第一排有38个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？
分析（用数列求和思路分析）：
本题因为“往后每排都比前一排多2”，实际上是一列公差为2的等差数列，所以按等差数列求和的思路探讨就是了。
等差数列求和的公式为：
项b就不知多少，怎样才能求出b呢？
按条件，第一排为38，往后每排都比前一排多2，则第二排为40，第三排为42，……，这样一排一排地数下去，确实太麻烦了，得另找规律。
我们来分析一下：
设a1，a2……分别表示第一排，第二排，第三排……则有：
a1＝38
a2＝a1＋2＝38＋2＝38＋2×
1＝40
a3＝a2＋2＝a1＋2＋2＝38＋2×
2＝42
a4＝a3＋2＝a2＋2＋2＝a1＋2＋2＋2＝38＋2×
3＝44
……
这里我们可以得出一般规律，第n排的座位数等于第一排座数加上相差数2的（n－1）倍，也就是an＝a1＋（n－1）×
2
我们把后一排与前一排相差的数用字母d表示，就有an＝a1＋（n－1）d
根据这一规律，我们可以求出．
a20＝38＋（20－1）×
2＝76
再求剧场座位的总数，就可以运用等差数列求和的公式了。
分析（用数列求和思路探讨）：
这道题不是求和，但我们分析这串数的特点后，仍然要用数列求和的思路来求解。
这串分数的特点是什么呢？
一是两个分号之间的各个分数的分母都是相同的，暂且我们把它们称为一组，分母数就是组号。
各组之间，分母是按自然数依次增加的。
另外每一组分数的分子是按下列规律排列的。
从上面我们可以发现，任何一组的分母若为自然数n，则分子从1递增到
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