线性代数自考题模拟12Word格式.docx

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A.O

B.-E

C.E

D.E+αTα

C

[考点]矩阵运算

[解答]AB=（E-αTα）（E+2αTα）

=E+αTα-2αTααTα

=E+αTα-2αT（ααT）α

=E+αTα-2×

=E，选C．

3.设A为n阶方阵，B是A经过若干次矩阵的初等变换后所得的矩阵，则有______

A.|A|=|B|

B.|A|≠|B|

C.若|A|=0，则一定有|B|=0

D.若|A|＞0，则一定有|B|＞0

[考点]初等变换的性质

[解答]设B=PAQ，其中P，Q为可逆矩阵，

于是当|A|=0时，|B|=|PAQ|=|P|·

|A|·

|Q|=0．

故选C．

4.设n阶矩阵A非奇异（n≥2），A*是矩阵A的伴随矩阵，则______

A.（A*）*=|A|n-1A

B.（A*）*=|A|n+1A

C.（A*）*=|A|n-2A

D.（A*）*=|A|n+2A

[考点]伴随矩阵的性质及运算

[解答]AA*=|A|E两边取行列式，得

|A||A*|=|A|n|E|，又|A|≠0，得|A*|=|A|n-1．

又（A*）*A*=|A*|E=|A|n-1E，故

5.设3阶矩阵

其中α，β，γ2，γ3均为3维行向量，且已知行列式|A|=18，|B|=2，则行列式|A-B|等于

A.1

B.2

C.3

D.4

B

[考点]行列式的计算

[解答]

选B．

第二部分非选择题

二、填空题

1.设α1，α2，α3，α，β均为4维列向量，A=（α1，α2，α3，α），B=（α1，α2，α3，β），且|A|=2，|B|=3，则|A-3B|=______．

56

[考点]行列式基本运算

[解答]|A-3B|=|（-2α1，-2α2，-2α3，α-3β）|

（-2α1，-2α2，-2α3，α）|+|（-2α1，-2α2，-2α3，-3β）|=8|A|+24|B|=-16+72=56．

2.设a，b为实数，则当a=______，且b=______时，

0，0

[考点]行列式的展开

[解答]将行列式按最后一列展开，得

得a=0，b=0．

3.若对任意的n×

1矩阵x，均有Ax=0，则A=______．

O

[考点]齐次线性方程组具有非零解的相关定理

[解答]设A=（aij）m×

n，令

则有

得a1i=a2i=…=ami=0，

分别取i=1，2，…，n，得aij=0（i=1，2，…，m；

j=1，2，…，n），故A=O．

4.在n阶行列式D=|aij|中，当i＜j时，aij=0（i，j=1，2，…，n），则D=______．

a11a22…ann

[考点]三角形的行列式

[解答]该行列式为下三角形，故D=a11a22…ann．

5.设A为n阶矩阵，则存在两个不相等的n阶矩阵B，C，使AB=AC的充要条件为Ax=0有非零解，则|A|=______．

[解答]考虑Ax=0有非零解，即|A|=0．

设其一个解为x*，则2x*同样是它的一个解，构造B，C，令x*与2x*分别为B与C的一个列向量，其余元素都取0，于是有AB=AC=0，但B≠C．

故所求答案即为|A|=0．

6.设A为4×

4矩阵，B为5×

5矩阵，且|A|=2，|B|=-2，则|-|A|B|=______，|-|B|A|=______．

64，32

[考点]行列式的运算

[解答]|-|A|B|=|-2B|=（-2）5|B|=（-2）6=26=64．|-|B|A|=|2A|=24|A|=25=32．

7.设

则（A+3E）-1（A2-9E）=______．

[考点]矩阵的运算

[解答]因A2-9E=（A+3E）（A-3E），

故原式

8.设A为3×

3矩阵，|A|=-2，把A按行分块为

其中Aj（j=1，2，3）是A的第j行，则行列式

6

[考点]行列式的性质及运算

9.设n阶方阵A满足A2-A-2En=O，则A-1=______，（A-En）-1=______，（A+2En）-1=______．

[考点]矩阵的逆

[解答]由A（A-En）=2En，

得

故

又A+2En=A2，

10.设A，B均为n阶矩阵，|A|=2，|B|=-3，则|2A*B-1|=______．

[解答]AA*=|A|E，即|A|·

|A*|=|A|n|E|=2n．

得|A*|=2n-1．

而BB-1=E，得

所以|2A*B-1|=2n|A*|·

|B-1|=

三、计算题

本大题共7小题，每小题9分，共63分

设

求：

1.AB-BA；

2.A2-B2；

3.BTAT．

4.设

计算A41+A42+A43+A44，其中A4j（Jj=1，2，3，4）是|A|中元素a4j的代数余子式．

[考点]代数余子式的运算

5.已知三阶矩阵A满足Aαi=iαi（i=1，2，3），α1=（1，2，2）T，α2=（2，-2，1）T，α3=（-2，-1，2）T，试求矩阵A．

A（α1，α2，α3）=（Aα1，Aα2，Aα3）=（α1，2α2，3α3），其中α1，α2，α3分别为A的特征值1，2，3的特征向量，故线性无关，于是（α1，α2，α3）可逆，

得A=（α1，2α2，3α3）（α1，α2，α3）-1

[考点]特征向量

6.计算元素为aij=|i-j|的n阶行列式．

7.设B为可逆矩阵，A是与B同阶的方阵，且满足A2+AB+B2=O，证明：

A和A+B都是可逆矩阵．

证明：

由A2+AB+B2=O

A（A+B）=-B2，两边取行列式，由于B可逆，即|B|≠0，有|A|·

|A+B|=（-1）n

|B|2≠0，故|A|与|A+B|也都不为0．

即A与A+B都是可逆矩阵．

[考点]矩阵的可逆性

8.设A，B是n阶方阵，已知|B|≠0，A-E可逆，且（A-E）-1=（B-E）T，求证：

A可逆．

由（A-E）-1=（B-E）T

（A-E）（BT-E）=E

A（BT-E）-BT=O，即A（BT-E）=BT，B可逆，|B|≠0，|BT|=|B|≠0．

上式两边取行列式即可得|A|≠0，即A可逆．

9.设A，B，A+B为n阶正交矩阵，试证：

（A+B）-1=A-1+B-1．

A+B为正交矩阵，故（A+B）-1=（A+B）T=AT+BT，而A，B也为正交矩阵，即AT=A-1，BT=B-1．

故（A+B）-1=A-1+B-1．

[考点]正交矩阵

四、证明题

本题7分

1.设A，B为n阶方阵，试证明：

由于

两边取行列式得

[考点]分块矩阵