高考数学压轴题专练.docx

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高考数学压轴题专练

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题型突破练——压轴题专练

压轴题专练

（一）

　　建议用时：

40分钟

1．[2015·山西质监]已知椭圆E的两焦点分别为（－1,0），（1,0），且经过点.

（1）求椭圆E的方程；

（2）过P（－2,0）的直线l交E于A，B两点，且＝3，设A，B两点关于x轴的对称点分别是C，D，求四边形ACDB的外接圆的方程．

解　

（1）由题意知c＝1,2a－＝，∴a＝，b＝＝1，椭圆E的方程为＋y2＝1.

（2）设l：

x＝my－2，代入椭圆方程得（m2＋2）y2－4my＋2＝0，

由Δ＝8m2－16＞0得m2＞2.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝，①y1y2＝.②

由＝3，得y2＝3y1.③

由①②③解得m2＝4，符合m2＞2.

不妨取m＝2，则线段AB的垂直平分线的方程为y＝－2x－，则所求圆的圆心为.又B（0,1），

∴圆的半径r＝.

∴圆的方程为2＋y2＝.

2．已知函数f（x）＝（ax2＋bx＋c）ex在[0,1]上单调递减且满足f（0）＝1，f

（1）＝0.

（1）求实数a的取值范围；

（2）设g（x）＝f（x）－f′（x），求g（x）在[0,1]上的最大值和最小值．

解　

（1）由f（0）＝1，f

（1）＝0得c＝1，a＋b＝－1，

则f（x）＝[ax2－（a＋1）x＋1]ex，

f′（x）＝[ax2＋（a－1）x－a]ex.

依题意知，对任意的x∈[0,1]，有f′（x）≤0.

当a＞0时，因为二次函数y＝ax2＋（a－1）x－a的图象开口向上，而f′（0）＝－a＜0，所以f′

（1）＝（a－1）e≤0，即0＜a≤1；当a＝0时，对任意的x∈[0,1]，f′（x）＝－xex≤0，符合条件；当a＜0时，f′（0）＝－a＞0，不符合条件．

故实数a的取值范围是[0,1]．

（2）因为g（x）＝（－2ax＋1＋a）ex，g′（x）＝（－2ax＋1－a）ex，

①当a＝0时，g′（x）＝ex＞0，g（x）在x＝0处取得最小值g（0）＝1，在x＝1处取得最大值g

（1）＝e.

②当a＝1时，对任意的x∈[0,1]有g′（x）＝－2xex≤0，g（x）在x＝0处取得最大值g（0）＝2，在x＝1处取得最小值g

（1）＝0.

③当0＜a＜1时，由g′（x）＝0得x＝＞0.

a．当≥1，即0＜a≤时，g（x）在[0,1]上单调递增，g（x）在x＝0处取得最小值g（0）＝1＋a，在x＝1处取得最大值g

（1）＝（1－a）e.

b．当＜1，即＜a＜1时，g（x）在x＝处取得最大值g＝2ae，在x＝0或x＝1处取得最小值，而g（0）＝1＋a，g

（1）＝（1－a）e，则当＜a≤时，g（x）在x＝0处取得最小值g（0）＝1＋a；当＜a＜1时，g（x）在x＝1处取得最小值g

（1）＝（1－a）e.

3．选做题

（1）[选修4－1：

几何证明选讲]如图，P是⊙O外一点，PA是切线，A为切点，割线PBC与⊙O相交于点B，C，PC＝2PA，D为PC的中点，AD的延长线交⊙O于点E.证明：

①BE＝EC；

②AD·DE＝2PB2.

（2）[选修4－4：

坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（α为参数），M为C1上的动点，P点满足＝2，点P的轨迹为曲线C2.

①求C2的参数方程；

②在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.

（3）[选修4－5：

不等式选讲]已知函数f（x）＝|x－m|＋|x＋6|（m∈R）．

①当m＝5时，求不等式f（x）≤12的解集；

②若不等式f（x）≥7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．

解　

（1）证明：

①∵PC＝2PA，PD＝DC，∴PA＝PD，△PAD为等腰三角形．

连接AB，则∠PAB＝∠DEB＝β，∠BCE＝∠BAE＝α，

∵∠PAB＋∠BCE＝∠PAB＋∠BAD＝∠PAD＝∠PDA＝∠DEB＋∠DBE，

∴β＋α＝β＋∠DBE，即α＝∠DBE，即∠BCE＝∠DBE，所以BE＝EC.

②∵AD·DE＝BD·DC，PA2＝PB·PC，PD＝DC＝PA，

BD·DC＝（PA－PB）PA＝PB·PC－PB·PA＝PB·（PC－PA），

PB·PA＝PB·2PB＝2PB2.

（2）①设P（x，y），则由条件知M.由于M点在C1上，所以，即.

从而C2的参数方程为

（α为参数）．

②曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sinθ.

射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin，

射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin.

所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.

（3）①当m＝5时，f（x）≤12即|x－5|＋|x＋6|≤12，

当x＜－6时，得－2x≤13，

即x≥－，所以－≤x＜－6；

当－6≤x≤5时，得11≤12成立，所以－6≤x≤5；

当x＞5时，得2x≤11，

即x≤，所以5＜x≤.

故不等式f（x）≤12的解集为.

②f（x）＝|x－m|＋|x＋6|≥|（x－m）－（x＋6）|＝|m＋6|，

由题意得|m＋6|≥7，则m＋6≥7或m＋6≤－7，解得m≥1或m≤－13，

故m的取值范围是（－∞，－13]∪[1，＋∞）．

压轴题专练

（二）

　　建议用时：

40分钟

1．如图，F是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左焦点，A，B是椭圆的两个顶点，椭圆的离心率为，点C在x轴上，BC⊥BF，B，C，F三点确定的圆M恰好与直线x＋y＋3＝0相切．

（1）求椭圆的方程；

（2）过F作一条与两坐标轴都不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在x轴上是否存在点N，使得NF恰好为△PNQ的内角平分线，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．

解　

（1）由题意可知F（－c,0），

∵e＝，∴b＝c，即B（0，c），∵kBF＝＝，

又∵kBC＝－，∴C（3c,0），

圆M的圆心坐标为（c,0），半径为2c，

由直线x＋y＋3＝0与圆M相切可得＝2c，∴c＝1.∴椭圆的方程为＋＝1.

（2）假设存在满足条件的点N（x0,0）

由题意可设直线l的方程为y＝k（x＋1）（k≠0），

设P（x1，y1），Q（x2，y2）

∵NF为△PNQ的内角平分线，

∴kNP＝－kNQ，即＝－，

∴＝⇒（x1＋1）（x2－x0）＝－（x2＋1）（x1－x0）．∴x0＝.

又，∴3x2＋4k2（x＋1）2＝12.

∴（3＋4k2）x2＋8k2x＋4k2－12＝0.

∴x1＋x2＝－，x1x2＝.

∴x0＝＝－4，

∴存在满足条件的点N，点N的坐标为（－4,0）．

2．[2015·沈阳质监

（一）]已知函数f（x）＝alnx（a＞0），e为自然对数的底数．

（1）若过点A（2，f

（2））的切线斜率为2，求实数a的值；

（2）当x＞0时，求证：

f（x）≥a；

（3）在区间（1，e）上＞1恒成立，求实数a的取值范围．

解　

（1）f′（x）＝，f′

（2）＝＝2，a＝4.

（2）令g（x）＝a，g′（x）＝a.

令g′（x）＞0，即a＞0，解得x＞1，

所以g（x）在（0,1）上单调递减，在（1，＋∞）上单调递增．

所以g（x）的最小值为g

（1）＝0，所以f（x）≥a.

（3）令h（x）＝alnx＋1－x，则h′（x）＝－1，令h′（x）＞0，解得x＜a.

当a>e时，h（x）在（1，e）上单调递增，所以h（x）＞h

（1）＝0.

当1＜a≤e时，h（x）在（1，a）上单调递增，在（a，e）上单调递减，

所以只需h（e）≥0，即a≥e－1.

当a≤1时，h（x）在（1，e）上单调递减，则需h（e）≥0，

而h（e）＝a＋1－e＜0，不合题意．

综上，a≥e－1.

3.选做题

（1）[选修4－1：

几何证明选讲]

如图所示，AB为圆O的直径，CD为圆O的切线，切点为D，AD∥OC.

①求证：

BC是圆O的切线；

②若AD·OC＝2，试求圆O的半径．

（2）[选修4－4：

坐标系与参数方程]

以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的单位长度．设圆C：

（θ为参数）上的点到直线l：

ρcos＝k的距离为d.

①当k＝3时，求d的最大值；

②若直线l与圆C相交，试求k的取值范围．

（3）[选修4－5：

不等式选讲]

设f（x）＝|x－3|＋|2x－4|.

①解不等式f（x）≤4；

②若对任意实数x∈[5,9]，f（x）≤ax－1恒成立，求实数a的取值范围．

解　

（1）①证明：

如图，连接BD、OD.

∵CD是圆O的切线，∴∠ODC＝90°.

∵AD∥OC，∴∠BOC＝∠OAD.

∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA.

∴∠BOC＝∠DOC.

又∵OC＝OC，OB＝OD，∴△BOC≌△DOC.

∴∠OBC＝∠ODC＝90°，即OB⊥BC.

∴BC是圆O的切线．

②由①知∠OAD＝∠DOC，∴Rt△BAD∽Rt△COD，

∴＝.

AD·OC＝AB·OD＝2r×r＝2，∴r＝1.

（2）①由l：

ρcos＝3，得l：

ρcosθcos＋ρsinθsin＝3，整理得l：

x＋y－6＝0.

则d＝＝

∴dmax＝＝4.

②将圆C的参数方程化为普通方程得x2＋y2＝2，直线l的极坐标方程化为普通方程得x＋y－k＝0.

∵直线l与圆C相交，∴圆心O到直线l的距离d<，

即＜，解得－2＜k＜2.

（3）①当x＜2时，f（x）＝7－3x≤4，得1≤x＜2；

当2≤x≤3时，f（x）＝x－1≤4，得2≤x≤3；

当x＞3时，f（x）＝3x－7≤4，得3＜x≤.

综上可得不等式f（x）≤4的解集为

②∵x∈[5,9]，∴f（x）≤ax－1即3x－7≤ax－1，

∴a≥3－，即a≥3－＝.

压轴题专练（三）

　　建议用时：

40分钟

1．[2015·河南洛阳统考]已知椭圆的中心是坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，坐标原点O到过右焦点F且斜率为1的直线的距离为.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过右焦点F且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点，在线段OF上是否存在点M（m,0），使得|MP|＝|MQ|？

若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．

解　

（1）设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），F（c,0）（c＞0），由坐标原点O到直线x－y－c＝0的距离为，

得＝，解得c＝1.

又e＝＝，故a＝，b＝1.

∴所求椭圆方程为＋y2＝1.

（2）假设存在点M（m,0）（0＜m＜1）满足条件，则以MP，MQ为邻边的平行四边形是菱形．

∵直线l与x轴不垂直，

∴设直线l的方程为y＝k（x－1）（k≠0），P（x1，y1），Q（x2，y2）．

由可得（1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－2＝0，

Δ＞0恒成立，∴x1＋x2＝，x1x2＝.

设线段PQ的中点为N（x0，y0），

则x0＝＝，y0＝k（x0－1）＝.

∵|MP|＝|MQ|，∴MN⊥PQ，∴kMN·kPQ＝－1，

即·k＝－1，

∴m＝＝.∵k2＞0，∴0＜m＜.

2．[2015·九江一模]设函数f（x）＝x2－（a＋b）x＋ablnx（其中e为自然对数的底数，a≠e，b∈R），曲线y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为y＝－e2.

（1）求b；

（2）若对任意x∈，f（x）有且只有两个零点，求a的取值范围．

解　

（1）f′（x）＝x－（a＋b）＋＝，

∵f′（e）＝0，a≠e，∴b＝e.

（2）由

（1）得f（x）＝x2－（a＋e）x＋aelnx，f′（x）＝，

①当a≤时，由f′（x）＞0得x>e；由f′（x）<0得＜x＜e.

此时f（x）在上单调递减，在（e，＋∞）上单调递增．∵f（e）＝e2－（a＋e）e＋aelne＝－e2＜0，

f（e2）＝e4－（a＋e）e2＋2ae＝e（e－2）（e2－2a）≥e（e－2）＞0，

（或当x→＋∞时，f（x）＞0亦可）

∴要使得f（x）在上有且只有两个零点，

则只需f＝－＋aeln＝≥0，即a≤.

②当＜a＜e时，由f′（x）＞0得＜x＜a或x＞e；由f′（x）＜0得a＜x＜e.此时f（x）在（a，e）上单调递减，在和（e，＋∞）上单调递增．

f（a）＝－a2－ae＋aelna＜－a2－ae＋aelne＝－a2＜0，∴此时f（x）在上至多只有一个零点，不合题意．

③当a＞e时，由f′（x）＞0得＜x＜e或x＞a，由f′（x）＜0得e＜x＜a，此时f（x）在和（a，＋∞）上单调递增，在（e，a）上单调递减，且f（e）＝－e2＜0，∴f（x）在上至多只有一个零点，不合题意．

综上所述，a的取值范围为.

3．选做题

（1）[选修4－1：

几何证明选讲]

如图，四边形ABCD内接于圆O，∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，BC＝3，CD＝5.求对角线BD、AC的长．

（2）[选修4－4：

坐标系与参数方程]

已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin，直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P.

①求曲线C的直角坐标方程；

②求＋的值．

（3）[选修4－5：

不等式选讲]

已知实数m，n满足：

关于x的不等式|x2＋mx＋n|≤|3x2－6x－9|的解集为R.

①求m，n的值；

②若a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝m－n，求证：

＋＋≤.

解　

（1）如图，延长DC，AB交于点E.

∵∠BAD＝60°，∴∠ECB＝60°，

∵∠ABC＝90°，BC＝3，CD＝5，

∴∠EBC＝90°，∴∠E＝30°，

∴EC＝2BC＝2×3＝6，∴EB＝BC＝3，

∴ED＝DC＋EC＝5＋6＝11，

∵EC×ED＝EB×（EB＋AB），

则6×11＝3×（3＋AB），解得AB＝，

∴AC＝＝.

∵∠EDB＝∠EAC，∠E＝∠E，

∴△EDB∽△EAC，∴＝，

∴BD＝＝＝7.

（2）①利用极坐标公式，把曲线C的极坐标方程ρ＝2sin化为ρ2＝2ρsinθ＋2ρcosθ，

∴普通方程是x2＋y2＝2y＋2x，

即（x－1）2＋（y－1）2＝2.

②∵直线l与曲线C交于A，B两点，与y轴交于点P，

把直线l的参数方程代入曲线C的普通方程（x－1）2＋（y－1）2＝2中，得t2－t－1＝0，

∴

∴＋＝＋

＝＝

＝＝.

（3）①由于解集为R，那么x＝3，x＝－1都满足不等式，即有，

即，解得m＝－2，n＝－3，

经验证当m＝－2，n＝－3时，不等式的解集是R.

②证明：

a＋b＋c＝1，a＋b≥2，b＋c≥2，c＋a≥2，

∴（＋＋）2＝a＋b＋c＋2＋2＋2≤3（a＋b＋c）＝3，

故＋＋≤（当且仅当a＝b＝c＝时取等号）．

压轴题专练（四）

　　建议用时：

40分钟

1．[2015·九江一模]已知椭圆C的中心在坐标原点，右焦点为F（，0），A、B分别是椭圆C的左、右顶点，D是椭圆C上异于A、B的动点，且△ADB面积的最大值为12.

（1）求椭圆C的方程；

（2）求证：

当点P（x0，y0）在椭圆C上运动时，直线l：

x0x＋y0y＝2与圆O：

x2＋y2＝1恒有两个交点，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围．

解　

（1）设椭圆的方程为＋＝1（a＞b＞0），

由已知可得（S△ADB）max＝·2a·b＝ab＝12，①

∵F（，0）为椭圆右焦点，∴a2＝b2＋7，②

由①②可得a＝4，b＝3，∴椭圆C的方程为＋＝1.

（2）证明：

∵P（x0，y0）是椭圆上的动点，∴＋＝1，

∴y＝9－，

∴圆心O到直线l：

x0x＋y0y＝2的距离d＝＝＝＜1（0≤x≤16），

∴直线l：

x0x＋y0y＝2与圆O：

x2＋y2＝1恒有两个交点，

L＝2＝2（r为圆x2＋y2＝1的半径），

∵0≤x≤16，∴9≤x＋9≤16，

∴≤L≤.

2．[2015·唐山统考]已知函数f（x）＝aex＋x2，g（x）＝sinx＋bx，直线l与曲线C1：

y＝f（x）切于点（0，f（0）），且与曲线C2：

y＝g（x）切于点.

（1）求a，b的值和直线l的方程；

（2）证明：

除切点外，曲线C1，C2位于直线l的两侧．

解　

（1）f′（x）＝aex＋2x，g′（x）＝cosx＋b，

f（0）＝a，f′（0）＝a，g＝1＋b，g′＝b，

曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y＝ax＋a，

曲线y＝g（x）在点处的切线方程为y＝

b＋1＋b，即y＝bx＋1.

依题意，有a＝b＝1，直线l的方程为y＝x＋1.

（2）证明：

由

（1）知f（x）＝ex＋x2，g（x）＝sinx＋x.

设F（x）＝f（x）－（x＋1）＝ex＋x2－x－1，则F′（x）＝ex＋2x－1，

当x∈（－∞，0）时，F′（x）＜F′（0）＝0；

当x∈（0，＋∞）时，F′（x）＞F′（0）＝0.

F（x）在（－∞，0）上单调递减，在（0，＋∞）上单调递增，

故F（x）≥F（0）＝0.

设G（x）＝x＋1－g（x）＝1－sinx，则G（x）≥0，

当且仅当x＝2kπ＋（k∈Z）时等号成立．

综上可知，f（x）≥x＋1≥g（x），且两个等号不同时成立，因此f（x）＞g（x）．

所以除切点外，曲线C1，C2位于直线l的两侧．

3．选做题

（1）[选修4－1：

几何证明选讲]

在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，BC＝3，以AB为直径作圆O交AC于点D.

①求线段CD的长度；

②点E为线段BC上一点，当点E在什么位置时，直线ED与圆O相切，并说明理由．

（2）[选修4－4：

坐标系与参数方程]

在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cosθ.

①求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；

②将曲线C上的所有点的横坐标缩短为原来的，再将所得曲线向左平移1个单位，得到曲线C1.求曲线C1上的点到直线l的距离的最小值．

（3）[选修4－5：

不等式选讲]

已知a＋b＝1，对∀a，b∈（0，＋∞），＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，求x的取值范围．

解　

（1）

①连接BD，在直角三角形ABC中，易知AC＝5，∠BDC＝∠ADB＝90°，

所以∠BDC＝∠ABC，又因为∠C＝∠C，

所以Rt△ABC∽Rt△BDC，

所以＝，所以CD＝＝.

②当点E是BC的中点时，ED与⊙O相切；

证明：

连接OD，∵DE是Rt△BDC的中线，∴ED＝EB，

∴∠EBD＝∠EDB，∵OB＝OD，∴∠OBD＝∠ODB，

∴∠ODE＝∠ODB＋∠BDE＝∠OBD＋∠EBD＝∠ABC＝90°，

∴ED⊥OD，∴ED与⊙O相切．

（2）①曲线C的直角坐标方程为：

x2＋y2＝4x，即：

（x－2）2＋y2＝4，

直线l的普通方程为x－y＋2＝0.

②将曲线C上的所有点的横坐标缩为原来的，得

（2x－2）2＋y2＝4，即（x－1）2＋＝1.

再将所得曲线向左平移1个单位，得C1：

x2＋＝1.

又曲线C1的参数方程为（θ为参数），

设曲线C1上任一点P（cosθ，2sinθ），

则dp→l＝＝≥（其中tanφ＝），

∴点P到直线l的距离的最小值为.

（3）∵a＞0，b＞0且a＋b＝1，

∴＋＝（a＋b）＝5＋＋≥9，

故＋的最小值为9，

因为对a，b∈（0，＋∞），使＋≥|2x－1|－|x＋1|恒成立，

所以|2x－1|－|x＋1|≤9，

当x≤－1时，2－x≤9，∴－7≤x≤－1，

当－1＜x＜时，－3x≤9，∴－1＜x＜，

当x≥时，x－2≤9，∴≤x≤11，∴－7≤x≤11.