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可选参考书
丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版），北京：
高等教育出版社,2004.
[4]金福临、李训经，常微分方程，上海：
上海科学技术出版社，1979.
⑸林武忠、汪志鸣、张九超，常微分方程,北京：
科学出版社，2003.⑹王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版）,北京:
高等教育出版社,1983.
[7]王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：
人民教育出版社，1963.
[8]
叶彦谦，常微分方程讲义（第二版），北京：
人民教育出版社，1982.
注：
表中（）选项请打“2”
教学内容提要
一、问题的提出
常微分方程的一般形式
1）函数方程（泛函方程）:
2）微分方程
A常微分方程
B偏微分方程
3）n阶常微分方程（n阶方程）
二、几个具体的例子
例1物体作水平运动
例2自由落体运动
例3弹簧振子的水平自由运动
例4天体运动中的二体问题
例5几何问题
三、本讲习题
教学重点与难点
重点：
了解常微分方程的一般形式，并通过具体实例来了解如何建立常微分方程模型。
习题1.1,1,2.
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程,沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译,北京：
丁同仁、李承治，常微分方程教程（第二版）,北京：
高等教育出版社，2004.
王柔怀、伍卓群，常微分方程讲义，北京：
人民教育出版社，1963.
章^名称授课方式
教学目的及要求
第二讲：
§
1.2微分方程求解思想
理论课
（2）;
实践课（）；
实习（）
1.了解微分方程的精确解与近似解
2.微分方程的几何分析
3.给出微分方程形式的分类
1.
2.
3.
4.
、计算与近似计算微分方程的解微分方程的通解与特解初值问题（Cauchy问题）近似解
、几何分析
积分曲线
等倾线（isociine）
水平等倾线，竖直等倾线
1
例
例2
、微分方程形式隐式微分方程规范形式一阶方程一阶微分方程组线性微分方程
一阶线性微分方程的规范形式四、本讲习题
1了解微分方程的精确解与近似解2掌握微分方程形式的分类
难点：
在不求出精确解的情况下对微分方程进行几何分析
作业：
习题1.21,2，5
（2）.
选作题：
求以初速度V0在空气中铅直上抛的物体的运动方程，其中物体质量为m,阻尼与速度的平方成正比，比例系数为k2.又问物体达到最高点的时间是多少?
一、主要结果
事实：
微分方程的通解含有任意参数
问题：
给一个含有任意参数的函数，是否能找到一个微分方程，使得这个函数正好是这个方程的解呢？
定理
二、证明思路
I.Jacobi行列式不为0
2.建立方程组
3.求解参数
补充：
隐函数定理，联系数学分析相关知识。
4.解与方程的对应
1了解一个微分方程的解中的参数与微分方程的解的关系；
2给定任意一个函数能否找到一个微分方程使其的解正好是这个函数？
习题1.31
（1）（3）
平面上安放长度为2a的细磁棒，如果撒上一些小铁钉，他们将按磁场的方向排列.可将细磁棒简化为放在两端点处的两个异性点磁荷，磁量分别为+1和-1.试求出这个磁场满足的微分方程.进而，画出磁场的方向场图并分析上面的积分曲线.
什么是方程的隐式解
2.什么是变量分离形式的方程
3.分离变量法
4.常数变易法
5.可化为变量分离形式方程的求解
一、初等积分法
1初等积分法的定义
2微分方程的隐式解
二、变量分离方程
1变量分离形式方程
2方程通解的求法
3方程特解的求法
例1
三、可化为变量分离方程的类型
1一阶线性微分方程
常数变易法与常数变易公式
例3
2Bernoulli方程
例4
3齐次方程
4线性分式形式的微分方程
例5
四、本讲习题
习题2.11,2
（1）（3）⑷（9）（12）,3
（2）（8）（14）,4
（1）（6）,7
（1）（3）.
一解y（x）,下式
y（x）—yi（x）=C,y2（x）-yi（x）
恒成立，其中C是某常数.
V.I.Arnold（阿诺德）,常微分方程，沈家骐、周宝熙、卢亭鹤译，北京：
章节
名称
授课
方式
学
目
的
及
要
求
第五讲：
2.2恰当方程形式
5.
什么是恰当方程
如何判定微分方程是恰当的如何寻求恰当方程的解如何使方程变得恰当寻求特殊的积分因子
一、恰当方程
1恰当方程（全微分方程）的形式与所满足的条件
2首次积分
提出两个问题
1）如何判断一个微分方程是否为恰当方程？
2）若方程是恰当的，如何寻求全微分的原函数？
二、恰当方程的判定定理
定理判定微分方程是恰当方程的充分必要条件
二、积分因子法
问题:
有的方程即使是分组也无法看出它是恰当方程.这时我们
问:
是否可以将方程做等式变形从而化成一个恰当方程呢
1积分因子
结论
如何来寻求这些积分因子？
2特殊情况下的积分因子
3其它情况
4进一步分析
重点:
2
难点:
1恰当方程的判定
寻求积分因子
习题221
（2）（3）（5）,4
（1）（3）（5）,5,8
选择题：
岂=tany-exsecy有形如e」xcosydx
第六讲：
2.3隐式方程
1隐式方程
2.隐式方程的化简
一、隐式方程
1一阶隐式方程的形式
2求解思想
将P看成独立的变量
dx
1）
2）
将代数方程F（x,y,p}=0所定义的曲面参数化
通过变量替换的方法把方程
（1）化为导数已解出的显式方程用上两节已给出的方法求解.
3具体求解方法
二、几类可解的特殊的隐式方程
可以解出y的方程
可以解出x的方程
不显含y的隐式方程
不显含x的隐式方程
3）
4）
3
4
三、其他情形
1隐式方程中可解出
dX，例2
2隐式方程轮不显含
x,y，例3
隐式方程的求解
教学手段
多媒体课件为主、黑板教学为辅
1方程的奇解与包络
2.利用初等积分法求解一些特殊的高阶微分方程
3.平面保守系统的轨道
4.Riccati方程的解
一、奇解
1曲线族的包络包络的性质
C-判别曲线例1
2方程的奇解
3方程的奇解判别
P-判别曲线例2
二、高阶微分方程求解的基本思想：
例3,例4
三、平面保守系统
1一个具体例子
相平面，轨道，相图
2更一般的情况
四、Riccati方程
1Riccati方程的求解
2一种特殊情况
3结果
五、本讲习题
重点；
1方程的奇解判别
2高阶微分方程求解的基本思想：
习题2.41
（2）（3）⑷,2
（1）
（2）,3
（1）（9）,6.
1）求解下列方程
a）（dX）5-5（窘+1=0
2）试证若y=®
（x）是方程（x）siny的满足初始条件珂0）=0的解,dx
w（x）三0,其中p（x）在-处<
x<
^上连续.
第八讲：
3.1存在性与唯一性
1深刻理解线性系统解的存在唯一性定理的理论意义
2.理解线性系统解的存在唯一性是近似计算的前提
3•掌握线性系统的存在唯一性定理及其证明.
解的存在性为方程的求解提供理论基础;
的存在唯一性是近似计算的前提。
二、存在唯一性定理
三、矩阵函数的性质
四、定理的证明
证明共分五步完成
小结
线性系统解的存在唯一性定理
线性系统解的存在唯一性定理的证明
习题3.11,2,3.
选作题:
设x（t）连续,且|x（t）^^M【；
皿）0,其中L,M非负.试用逐步逼
近法证明：
|x（t）|<
LeM（tQ,ya<
t<
P.
掌握齐次线性微分方程组解的叠加原理；
2.理解向量函数线性相关和线性无关的概念
3.掌握Wronski行列式；
4.掌握Liouville公式和Liouville定理.
一、线性相关与无关的定义
二、解的叠加原理
定理的证明思路
三、Wronski行列式
四、Liouville定理
1Liouville定理的证明
2基解矩阵与标准解矩阵的定义
3初值问题的解
说明：
对Liouville定理的一点解释
1齐次线性微分方程组解的叠加原理
2Liouville公式和Liouville定理.
习题3.23,4.
设x（t）=A（t）x（t）,A是05周期连续的,且X（t）为基解矩阵,证
明：
X（t+00）也是基解矩阵且存在可逆矩阵C,使得X（t+©
）=X（t）C.
第十讲：
3.3非齐次线性方程组的通解
1.深刻理解齐次与非齐次线性方程组解之间的关系
2.掌握常数变易法；
3.理解并学会使用常数变易公式.
一、通解结构
二、通解定理
三、常数变易法
通解定理的证明四、本讲习题
常数变易公式及其应用
常数变易法
习题3.31,3
设A（t）是区间［ot,P］上的nxn阶连续矩阵函数,f（t）是区间［g,P］上的不恒为零的n维连续列向量.试证非齐次线性方程组
x（t）=A（t）x（t）+f（t）存在且至多存在n+1个线性无关的解。
第十一讲：
3.4高阶线性方程
1.深刻理解高阶方程与一阶方程组解的区别和联系。
2.掌握利用Liouville公式降阶的方法。
一、高阶方程与一阶方程组
1n阶线性微分方程的一般形式2齐次与非齐次的情况
二、Wronski行列式定义
三、Liouville定理
四、通解结构
五、例题
六、本讲习题
高阶线性方程的解
习题3.41,2,3,5
不用Liouville公式而直接用变量代换x=x1（t）y来对方程芳+ai（t）罟+a2（t）x"
降阶并证明其通解表达式.
第十二讲：
3.5复值解和级数解法
1.深刻理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系。
2.了解Cauchy定理。
3.掌握幕级数解法。
一、复值矩阵函数
复值矩阵函数的定义复值矩阵函数的求导与积分
二、复值线性方程组定理1,定理2
三、Cauchy定理
推论
四、幕级数解法
1理解线性方程组的实值解与复值解的区别和联系2微分方程的幕级数解法
Cauchy定理的理解
习题3.51,3,4.
用幂级数法求方程（t2_2t）帑+5（-1厝+3x=0满足初值条件
x
（1）=7,x'
（1）=3的解.
第十三讲：
4.1齐次问题
1.掌握Euler待定指数函数法。
2.深刻理解齐次方程的基本解组的求解方法
一、微分方程的算子形式
二、齐次方程的基本解组Euler待定指数函数法定理1
定理2
三、例题
四、本讲习题
齐次方程的基本解组的求解方法
分析振动方程
第十四讲：
4.2非齐次问题
1.掌握多项式微分算子的逆算子的基本性质。
2.深刻理解非齐次方程的特解的算子解法。
一、逆算子的基本性质
三条性质
二、非齐次方程的算子解法定理
i）
ii）
iii）
三点注意事项二、例题
逆算子的基本性质
非齐次方程的特解的算子解法
习题4.21⑷,（6）,（8）.
d2xdx
证明Cauchy-Euler方程在适当的自变量代换
下，能化为常系数线性齐次方程
掌握Euler指数函数法。
2.掌握矩阵指数函数法。
3.深刻理解齐次方程组对应于不同的特征值，其基本解组的不同表达形式。
、矩阵指数函数
引理
二、齐次方程组的基本解组
定理1-3三、例题四、本讲习题
习题4.31,3（3）,（5）,（7）.
给定齐次方程组x=Ax,证明
若A的所有特征根实部都<
0,则所有解当tTK时趋于0;
若实部都<
0且零实部的特征根都是简单根，则一切解对yt>
0都有界；
若A有一个特征根实部>
0,则有解趋向无穷.
第十六讲：
4.4应用：
机械振动
了解一个具体例子
关于弹性振动问题
分成下列几种情况讨论
一、无阻尼自由振动
物理解释，谐振动
二、有阻尼自由振动有限运动，阻尼谐振
三、无阻尼强迫振动
四、有阻尼强迫振动共振现象
分析机械振动运动方程的解
习题4.41,2.
考虑一个由电感L,电容C和电源E串联组成的简单闭合电路，其中
E=E0Sin毗.试证当《=FC时，将发生共振现象，且当tT处时，电位差
v（t）变得无界.
掌握Picard存在唯一性定理及其证明。
2.深刻理解Picard迭代法并与未来泛函分析学习相联系。
3.思考与线性系统的存在唯一性定理的区别和联系。
4.Picard存在唯一性定理的局限性：
结果是局部的。
二、Lipschitz条件的定义
三、Picard存在唯一性定理
证明思想：
Picard逐步逼近法证明分五步完成
五、几何意义
有具体图例
六、例题
七、本讲习题
1Lipschitz条件的意义
2Picard存在唯一性定理的证明与几何意义
思考与线性系统的存在唯一性定理的区别和联系。
习题5.11,3,5,8.
一dx
试求初值问题一=P（t）x+Q（t）,x（t0）=x0的Picard迭代序列，并通过求迭
dt
代序列的极限求出初值问题的解。
第十八讲：
§
5.2Peano存在性定理
1.掌握Peano存在性定理及其证明.
2.掌握Euler折线法及其与微分方程的近似解法的联系
3.从函数空间的高度理解Ascoli-Arzela弓I理.
4.与Picard存在唯一性定理的比较.
一、Peano存在性定理
二、定理的证明思想：
Euler折线法Euler折线法的构造及其几何意义
三、一致有界与等度连续
1一致有界与等度连续的定义
2对定义的进一步说明
四、Ascoli-Arzela引理
五、Peano存在性定理的证明分四步完成
六、&
逼近解的定义
掌握Peano存在性定理及其证明
掌握Euler折线法及其与微分方程的近似解法的联系
试着从函数
升级会员 