高考数学 专题48 抽样的方法黄金解题模板.docx

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高考数学专题48抽样的方法黄金解题模板

2019-2020年高考数学专题48抽样的方法黄金解题模板

【高考地位】

抽样方法是高考的热点，高考在这部分内容命题趋向主要以选择题、填空题为主，重点考查基础知识、基本概念及其简单的应用.在复习中，要理解几种抽样方法的区别于联系，应充分注意一些重要概念的实际意义，理解概率统计中处理问题的基本思想方法.其试题难度属低档题.

【方法点评】

类型一随机抽样

使用情景：

简单的随机抽样

解题模板：

第一步认真分析题意，认清考查的是哪种简单的随机抽样；

第二步运用对应的简单随机抽样进行求解；

第三步得出结论.

例1从总体为的一批零件中使用简单随机抽样抽取一个容量为40的样本，若某个零件在第2次抽取时被抽到的可能性为1%，则（）

A.100B.4000C.101D.4001

【答案】B

【解析】因为从总体为的一批零件中使用简单随机抽样抽取一个容量为的样本，

某个零件第次抽取的可能性为，所以，解得，故选B．

例2某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3500人，其中高三学生数是高一学生数的两倍，高二学生数比高一学生数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取高一学生数为（）

A.8B.11C.16D.10

【答案】A

【变式演练1】将某省参加数学竞赛预赛的500名同学编号为：

001,002，，500，采用系统抽样的方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽的的号码013为一个样本，这500名学生分别在三个考点考试，从001到200在第一考点，从201到355在第二考点，从356到500在第三考点，则第二考点被抽中的人数为

A.B.C.D.

【答案】B

【变式演练2】高二某班共有学生56人，座号分别为1,2,3,…,56现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本．已知4号、18号、46号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是（）

A．B．

C．D．

【答案】C

【解析】

试题分析：

系统抽样抽取的编号构成等差数列，由4号、18号、46号同学在样本中可知剩余的号为32号

考点：

系统抽样

【变式演练3】在一次马拉松比赛中，名运动员的成绩（单位：

分钟）如下图所示;

若将运动员按成绩由好到差编为-号，再用系统抽样方法从中抽取人，则其中成绩在区间上的运动员人数为（）

A．B．C．D．

【答案】A

【解析】

试题分析：

观察茎叶图可知，成绩在区间的共有人，设在区间内抽取的人数为，根据分层抽样可有，解得，故选A.

考点：

1.茎叶图；2.分层抽样.

【变式演练4】【xx河南郑州市第一中学模拟】为了调查民众对最新各大城市房产限购政策的了解情况，对甲、乙、丙、丁四个不同性质的单位做分层抽样调查．假设四个单位的人数有如下关系：

甲、乙的人数之和等于丙的人数，甲丁的人数之和等于乙、丙的人数之和，且丙单位有36人，若在甲、乙两个单位抽取的人数之比为1:

2，则这四个单位的总人数为（）

A.96B.120C.144D.160

【答案】B

类型二用样本估计总体

使用情景：

有关频率分布直方图的基本计算

解题模板：

第一步根据频率分布直方图计算出相应的频率；

第二步运用样本的频率估计总体的频率；

第三步得出结论.

例3为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀，则及格率与优秀人数分别是（）

A.60%，60B.60%，80

C.80%，80D.80%，60

【答案】C

【变式演练5】某校从高一年级学生中随机抽取100名学生，将他们期中考试的数学成绩（均为整数）分成六段：

[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到频率分布直方图（如下图所示），则分数在[70，80）内的人数是．

【答案】30

【解析】

试题分析：

由频率分布直方图知小长方形面积为对应区间概率，所有小长方形面积和为1，因此分数在[70，80）内的概率为

，人数为

考点：

频率分布直方图

【变式演练6】一个社会调查机构就某地居民的月收入调查了人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）．为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这人中再用分层抽样方法抽出人作进一步调查，则在（元）月收入段应抽出人．

【答案】40

【解析】

试题分析：

由图（2500，3500元/月）收入段的频率是0.0005×500+0.0003×500=0.4

故用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2500，3500元/月）收入段应抽出人数为0.4×100=40

考点：

频率分布直方图；分层抽样方法

【变式演练7】某班级有名学生，其中有名男生和名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为，，，，，五名女生的成绩分别为，，，，，下列说法一定正确的是（）

A．这种抽样方法是一种分层抽样

B．这种抽样方法是一种系统抽样

C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差

D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数

【答案】C.

考点：

抽样方法，方差，平均数．

【变式演练8】某班同学利用劳动节进行社会实践，对岁的人群随机抽取人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：

（1）补全频率分布直方图并求、、的值；

（2）从年龄段在的“低碳族”中采用分层抽样法抽取人参加户外低碳体验活动，其中每组各选多少人？

【答案】

（1）1000,60,0．65

（2）岁中有4人，岁中有2人．

考点：

1．频率分布表及直方图；2．分层抽样

【高考再现】

1.【xx课标3，理3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了xx年1月至xx年12月期间月接待游客量（单位：

万人）的数据，绘制了下面的折线图．

根据该折线图，下列结论错误的是

A．月接待游客量逐月增加

B．年接待游客量逐年增加

C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月

D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】A

2.【xx江苏，3】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品,产量分别为200,400,300,100件.为检验产品的质量,现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验,则应从丙种型号的产品中抽取▲件.

【答案】18

【解析】所求人数为，故答案为18．

【考点】分层抽样

【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.

3.【xx课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：

kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数

【答案】B

4.【xx山东，文8】如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：

件）.若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为

A.3，5B.5，5C.3，7D.5，7

【答案】A

【解析】

试题分析：

由题意,甲组数据为56,62,65,,74,乙组数据为59,61,67,,78.要使两组数据中位数相等,有,所以,又平均数相同,则

解得.故选A.

【考点】茎叶图、样本的数字特征

【名师点睛】由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况,这一点同频率分布直方图类似.它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据,没有任何信息损失,第二点是茎叶图便于记录和表示.其缺点是当样本容量较大时,作图较繁琐.利用茎叶图对样本进行估计是,要注意区分茎与叶,茎是指中间的一列数,叶是从茎的旁边生长出来的数.

5.【xx课标1，文2】为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：

kg）分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是

A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差

C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数

【答案】B

6.【xx高考山东理数】某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：

小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20），[20，22.5），[22.5,25），[25，27.5），[27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）

（A）56（B）60（C）120（D）140

【答案】D

【解析】

试题分析：

由频率分布直方图知，自习时间不少于22.5小时为后三组，有

（人），选D.

考点：

频率分布直方图

【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图，是一道基础题目.从历年高考题目看，图表题已是屡见不鲜，作为一道应用题，考查考生的视图、用图能力，以及应用数学解决实际问题的能力.

7.【xx高考江苏卷】已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________▲________.

【答案】0.1

8.【xx高考新课标1卷】（本小题满分12分）某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图：

以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,表示购买2台机器的同时购买的易损零件数.

（I）求的分布列；

（II）若要求,确定的最小值；

（III）以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在与之中选其一,应选用哪个？

【答案】（I）见解析（II）19（III）

9.【xx年高考四川理数】（本小题满分12分）

我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨）、一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：

吨），将数据按照[0,0.5），[0.5,1），…，[4,4.5）分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.

（I）求直方图中a的值；

（II）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；

（III）若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准（吨），估计的值，并说明理由.

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）36000；（Ⅲ）2.9．

考点：

频率分布直方图.

【名师点睛】本题主要考查频率分布直方图、频率、频数的计算公式等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力.在频率分布直方图中，第个小矩形面积就是相应的频率或概率，所有小矩形面积之和为1，这是解题的关键，也是识图的基础．

10.【xx江苏高考，2】已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的平均数为________.

【答案】6

11【xx北京，文17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：

[20,30），[30,40），┄，[80,90]，并整理得到如下频率分布直方图：

（Ⅰ）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；

（Ⅱ）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50）内的人数；

（Ⅲ）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．

【答案】（Ⅰ）0.4；（Ⅱ）5人；（Ⅲ）.

（Ⅲ）由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为

，

所以样本中分数不小于70的男生人数为.

所以样本中的男生人数为，女生人数为，男生和女生人数的比例为.

所以根据分层抽样原理，总体中男生和女生人数的比例估计为.

【考点】频率分布直方图的应用

【名师点睛】1.用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法.分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观.

2.频率分布表中的频数之和等于样本容量，各组中的频率之和等于1；在频率分布直方图中，各小长方形的面积表示相应各组的频率，所以，所有小长方形的面积的和等于1.

【反馈练习】

1．【xx江西宜春二模】某中学高一年级560人，高二年级540人，高三年级520人，用分层抽样的方法抽取容量为81的样本，则在高一、高二、高三三个年级抽取的人数分别为（）

A.28、27、26B.28、26、24C.26、27、28D.27、26、25

【答案】A

【解析】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为

则在高一年级抽取的人数是人

高二年级抽取的人数是人

高三年级抽取的人数是人

故答案选

2．【xx贵州黔东南州联考】近年呼吁高校招生改革的呼声越来越高,在赞成高校招生改革的市民中按年龄分组，得到样本频率分布直方图如图，其中年龄在岁的有2500人，年龄在岁的有1200人，则的值为（）

A.0.013B.0.13C.0.012D.0.12

【答案】C

3．现要完成下列3项抽样调查：

①从10盒酸奶中抽取3盒进行食品卫生检查；

②科技报告厅有32排座位，每排有40个座位，有一次报告会恰好坐满了听众，报告会结束后，为了听取意见，邀请32名听众进行座谈；

③某中学高三年级有12个班，文科班4个，理科班8个，为了了解全校学生对知识的掌握情况，拟抽取一个容量为50的样本．

较为合理的抽样方法是（）

A.①简单随机抽样，②系统抽样，③分层抽样

B.①简单随机抽样，②分层抽样，③系统抽样

C.①系统抽样，②简单随机抽样，③分层抽样

D.①分层抽样，②系统抽样，③简单随机抽样

【答案】A

4．用系统抽样法（按等距离的规则）从160名学生中抽取容量为20的样本，将这160名学生从1到160编号．按编号顺序平均分成20段（1～8号，9～16号，…，153～160号），若第16段应抽出的号码为125，则第1段中用简单随机抽样确定的号码是（）

A.7B.5C.4D.3

【答案】B

【解析】用系统抽样知，每段中有8人，第16段应为从121到128这8个号码，125是其中的第5个号码，所以第一段中被确定的号码是5.

5．【xx云南玉溪第一中学模拟】总体由编号为的各个体组成，利用随机数表（以下摘取了随机数表中第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为

A.B.C.D.

【答案】B

【解析】从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始,依次是14，05，11，09，则第四个数字是09，选B.

6．已知某校随机抽取了名学生，将他们某次体育测试成绩制成如图所示的频率分布直方图.若该校有名学生，则在本次体育测试中，成绩不低于分的学生人数约为__________．

【答案】

【解析】依题意，所求人数为

，故答案为.

7．某市为了增强市民的消防意识，面向社会招募社区宣传志愿者．现从岁至岁的志愿者中随机抽名按年龄分组：

第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．若用分层抽样的方法从这名志愿者中抽取名参加消防演习活动，则从第组中抽取的人数为__________．

【答案】4

8．在某地区某高传染性病毒流行期间，为了建立指标显示疫情已受控制，以便向该地区居民显示可以过正常生活，有公共卫生专家建议的指标是“连续7天每天新增感染人数不超过5人”，根据连续7天的新增病例数计算，下列各个选项中，一定符合上述指标的是__________．

①平均数；②标准差；③平均数且标准差；

④平均数且极差小于或等于2；⑤众数等于1且极差小于或等于4.

【答案】（4）（5）

【解析】①错，举反例：

；其平均数，但不符合上述指标；

②错，举反例：

；其标准差，但不符合上述指标；

③错，举反例：

；其平均数且标准差，但不符合上述指标；

④对，若极差小于，鲜肉符合上述指标；

若极差小于或等于，有可能⑴；⑵；⑶；⑷；⑸，

在平均数的条件下，只有⑴⑵⑶成立，符合上述指标；

⑤对，在众数等于且极差小于或等于，则最大数不超过，符合指标，所以选⑷⑸.

9．已知某运动员每次投篮命中的概率等于.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：

先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0，表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数：

907966191925271932812458569683

431257393027556488730113537989

据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为__________．

【答案】0.25

10．重庆因夏长酷热多伏旱而得名“火炉”，八月是重庆最热、用电量最高的月份．下图是沙坪坝区居民八月份用电量（单位：

度）的频率分布直方图，其分组区间依次为：

，，，，，，．

（1）求直方图中的；

（2）根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数；

（3）在用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则用电量在的用户应抽取多少户？

【答案】

（1）；

（2），；（3）.

考点：

频率分布直方图，分层抽样.