A.（
1
，1）B.（
3
1,2）
33
C.（
2,1
52
）D.（
2,2）
53
11.lim
n
2
C
1
2
（C2
22
C
1
C
1
34
C3C4
2
C
1
n
Cn）
等于（）
11
A.3B.C.
36
D.6
12.一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）
A.3πB.4πC.33πD.6π
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
13.（x2－
1）9展开式中x9
2x
的系数是.
14.某公司生产三种型号的轿车，产量分别为1200辆、6000辆和2000辆，为检验该公
司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取
、、辆.
15.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.
现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法有种.（以数字作答）
16.下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、
P分别为其所在棱的中点，能得出l⊥面MNP的图形的序号是.（写出所有符合要求的图形序号）
三、解答题：
本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分12分）已知函数f（x）=2sinx·（sinx+cosx）.
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和最大值；
（Ⅱ）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f（x）在区间［－
］上的图象.
22
18.（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，∠ACB=90°，侧棱AA1=2，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G.
（Ⅰ）求A1B与平面ABD所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（Ⅱ）求点A1到平面AED的距离.
19.（本小题满分12分）设a>0，求函数f（x）=x－ln（x+a）
（x∈（0，+∞））的单调区间.
20.（本小题满分12分）A、B两个代表队进行乒乓球对抗赛，每队三名队员，A队队员是A1，A2，A3，B队队员是B1，B2，B3，按以往多次比赛的统计，对阵队员之间胜负概率
如下：
现按表中对阵方式出场，每场胜队得1分，负队得0分.设A队、B队最后所得总分分别为ξ、η.
（Ⅰ）求ξ、η的概率分布；
（Ⅱ）求Eξ，Eη.
21.（本小题满分12分）已知常数a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），经过原点O以
n－1
c+λi为方向向量的直线与经过定点A（0，a），以i－2λc为方向向量的直线相交于点P.其中λ∈R.试问：
是否存在两个定点E、F，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.
22.（本小题满分14分）设a0为常数，且an=3
－2an－1（n∈N+）.
（Ⅰ）证明对任意n≥1，an=
1［3n+（－1）n－1·2n］+（－1）n·2na0；
5
（Ⅱ）假设对任意n≥1有an>an－1，求a0的取值范围.
●答案解析
1.答案：
B
1
解析：
（3
3ii）2
2（cos60
22（cos30
isin60）isin30）
2（cos6022（cos60
isin60）isin60）
1[cos（
2
120）
isin（
120）]
1（1
22
3i）
2
13i..
44
2.答案：
D
解法一：
∵x∈（－
，0），cosx=
2
4
，∴sinx=－
5
33
，tanx=－，
54
∴tan2x=
1
2tanx24
.
tan2x7
－1.
解法二：
在单位圆中，用余弦线作出cosx=
3.答案：
D
4
，x∈（－
5
，0），判断出2x∈Ⅳ且tan2x=AT<
2
1
解法一：
因为（f
x0）>1，当x≤0时，，∴x0<－1，当x0>0时，x02
>1，
∴x0>1.综上，所以x0的取值范围为（－∞，－1）∪（1，+∞）.
解法二：
首先画出函数y=f（x）与y=1的图象.由图中易得f（x）>1时，所对应的x的取值范围.
4.答案：
B
解析:
设
AB
|AB|
AB为AB上的单位向量,AC
|AC|
AC为AC上
的单位向量,则
AB
|AB|
AC
|AC|
的方向为∠BAC的角平分线AD的方向.
又λ∈［0，+∞］，∴λ（
AB
|AB|
AC
|AC|
）的方向与
AB
|AB|
AC
|AC|
的方向相同.
而OPOA
的内心.
（AB
|AB|
AC
|AC|
），∴点P在AD上移动，∴P的轨迹一定通过△ABC
5.答案：
B
x
解法一：
y=ln
x
1,x
1x
1=ly，∴x=l
y
1ly
1x1
，又
1x1
x12
x1
12而x>1，
x1
x
1
x
1
x
1
lx
1
x
>1，∴ln
1x
>0，因此y=ln
1x
的反函数为y=
1lx
1
∴
lx1
lx1
（x>0）
22
解法二：
因原函数的定义为（1，+∞），而y=
lx|
lx1
1x1.因此l1
排除A、C，又原函数的值域为（0，+∞），排除D.
6.答案：
C
解析：
如图，此八面体可以分割为两个正四棱锥，
而AB2=（
a）2+（
a）2=
1
a2，∴V八面体=1
1a2a
1a3.
222
7.答案：
B
326
解析：
f（x）的导数为f′（x）=2ax+b，由已知y=f（x）在点P（x0，f（x0））处切线的
倾斜角的取值范围为［0，］.因此有0≤2ax0+b≤1.而P到曲线y=f（x）的对称轴的距离
4
为|x0
b||2a
2ax0b|
2a
|2ax0b|
.
2a
8.答案：
C
解析：
设a1=
1
，a2=
4
1
+d，a3=
4
1
+2d，a4=
4
1+3d，而方程x2－2x+m=0中的两根之和
4
为2，x2－2x+n=0中的两根之和也是2.∴a1+a2+a3+a4=1+6d=4，∴d=
117
，∴a1=，a4=是
244
一个方程的两个根，a2=
9.答案：
D
3
，a3=
4
5
是一个方程的两个根，∴
4
x2
7,15
1616
y2
1
为m或n.∴|m－n|=.
2
x2y21
解法一：
设所求双曲线方程为1由a2
7a2
x2（x
1）2
a27a2
yx1
得1，（7－a2）x2－a2（x－1）2=a2（7－a2）
a27a2
整理得：
（7－2a2）x2+2a2x－8a2+a4=0.又MN中点横坐标为－2，
3
∴x0=x1x2
2a2
2即3a2=2（7－2a2），∴a2=2.
22（7
a2）3
x2y2
故所求双曲线方程为1.
25
解法二：
因所求双曲线与直线y=x－1的交点的中点横坐标为－
2
<0，故双曲线的渐近
3
线的斜率（k>0）时，为k>1，因此，排除B、C.经检验
x2y2
25
yx1
1
的交点的中点横坐标
2
为－.
3
解法三：
由已知MN中点横坐标x0=－
2
，可得中点纵坐标y0=x0－1=－
3
5
，设MN与
3
22
x1y1
22
x2y2
双曲线交点分别为M（x1，y1）、N（x2，y2），则有2
a
2=1①，2
ba
2=1②
b
则②－①得：
（x2
x1）（x2a2
x1）
（y2
y1）（y1b2
y2）0，
（x2
∴
x1）（x1a2
x2）
（y2
y1）（y1b2
y2）
，
2
b（y2
∴
a2（x
y1）（y1
x）（x
y2）5
.
x）2
2112
10.答案：
C
解析：
设P1B=x，∠P1P0B=θ，则CP1=1－x，∠P1P2C、∠P3P2D、
∠AP4P3均为θ，所以tanθ=
P1B
=x，又tanθ=
CP11
x
=x，
P0B
CP2
CP2
1x1
P3D
DP3
DP3
∴CP2=
x
－1，而tanθ=
x
P2D
x，
2（11）31
xx
1
∴DP3=x（3－x）=3x－1，又tanθ=
AP3AP4
1（3x1）AP4
23xAP4
=x，
2
∴AP4=
3x2
－3，依题设12
－3<2，
xxx
∴4<
2
1x
<5，
1，∴1x2.
x42525
11.
C
答案：
B
C
2
解析：
∵2
31,Cm
m
1m
n
C
C
n1
C
C
3
∴C
222
2
34
n
2322
C
C
C
C
n334
2322
C
C
C
C
n44n
3
1
C
C
C
11
1
Cn1，C2345
12
C
C
1
nn1
C2C2C2C3
（n1）n（n1）
1
lim23
nlimn1
lim
321
2
C
n
n
3
1
n（C11
C1）n
n（C21）n
n[（n
1）n1]3
2
12.答案：
A
626
解法一：
AD
AOAD,233
SOSA2AO2
23.
3
∴R2=（23
3
R）2
23
3，∴R=2.
∴球的表面积为3π.
解法二：
构造棱长为1的正方体，则C1A1BD为棱长为2的正四面体，正方体的外接球体也为正四面体的外接球.此时球的直
3
径为3，因此球的表面积为4π（
）2=3π.
2
13.答案：
－
解析：
（x2－
21
2
1）9的展开式中，T
Cr·（x2
9－r
1）r=（－
1）rCrx18
2rxr，
r+1=9
2x
）（－9
2x2
（1）r
Crx18
3
r由题意得18－3r=9，∴r=3，因此x9的系数为（－
1）3·C3
1987
9
9
228321
21
.
2
14.答案：
63010
解析：
因总轿车数为9200辆，而抽取46辆进行检验，抽样比例为
46
9200
1
，而
200
三种型号的轿车有显著区别.根据分层抽样分为三层按
15.答案：
120
1
200
比例抽样分别有6、30、10辆.
解法一：
先排1区，有4种方法，把其余四个区视为一个圆环（如
图1），沿着圆环的一个边界剪开并把圆环拉直，得到如图2的五个空格，在五个空格中放3种不同元素，且①相同元素不能相邻.②两端元素不能相同.共有15种不同方法.然后再把图2粘成圆形即可.下面解决两端元素相同的情况.在这种情况下我们在六个空格如图3.要求①相同元素不能相邻.②两端元素必须相同，共有15种不同方法.然后再把图3粘成圆环
形，把两端的两格粘在一起看成一个格即可.综上，共有4（15+15）=120图1
种方法.
图2图3
16.答案：
①④⑤
解析：
①、④易判断，⑤中△PMN是正三角形且AM=AP=AN，因此，三棱锥A—PMN
是正三棱锥.所以图⑤中l⊥平面MNP，由此法，还可否定③.∵AM≠AP≠AN.也易否定②.
17.解：
（Ⅰ）f（x）=2sin2x+2sinxcosx=1－cos2x+sin2x=1+2（sin2xcos－cos2xsin）
44
=1+2sin（2x－），
4
所以函数f（x）的最小正周期为π，最大值为1+2.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
335
x
88888
y1121121
故函数y=f（x）在区间［－，］上的图象是
22
18.解法一：
（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即
∠EBG是A1B与平面ABD所成的角.
设F为AB中点，连结EF、FC，
∵D、E分别是CC1、A1B的中点，又DC⊥平面ABC，
∴CDEF为矩形.
连结DF，G是△ADB的重心，
∴G∈DF.在直角三角形EFD中，EF2=FG·FD=1FD2，
3
∵EF=1，∴FD=3.
于是ED=2，EG=126.
33
∵FC=ED=2，∴AB=22，A1B=23，EB=3.
∴sinEBG=EG612.
EB333
2
∴A1B与平面ABD所成的角是arcsin.
3
1
（Ⅱ）连结A1D，有VA
ADE
VDAA1E.
∵ED⊥AB，ED⊥EF，又EF∩AB=F，∴ED⊥平面A1AB，
1
设A1到平面AED的距离为h，则S△AED·h=S
AAE·ED.
1
又SAAE
1
SA1AB
2
1
A1AAB
4
2,S
AED
1AEED6.
22
2226
∴h.
63
2
26
即A1到平面AED的距离为.
3
解法二：
（Ⅰ）连结BG，则BG是BE在面ABD的射影，即
∠A1BG是A1B与平面ABD所成的角.
如图所示建立坐标系，坐标原点为O.设CA=2a，则A（2a，0，0），B（0，2a，0），D（0，0，1），
A1（2a，0，2），E（a，a，1），G（
2a,2a33
1）.
3
∴GE
（a,3
a,2
33
）,BD=（0，－2a，1）.
∴GEBD
2a2
3
20，
3
解得a=1.
∴BA1
（2,
2,2）,BG
（2,
3
4,1）.
33
∴cosA
1BG=
BA1
|BA1
BG
||BG|
14
37
.
231213
3
7
A1B与平面ABD所成角是arccos.
3
（Ⅱ）由（Ⅰ）有A（2，0，0），A1（2，0，2），E（1，1，1），D（0，0，1）.
AEED
=（－1，1，1）·（－1，－1，0）=0，
AA1ED=（0，0，2）·（－1，－1，0）=0，
∴ED⊥平面AA1E，又ED平面AED，
∴平面AED⊥平面AA1E，
又面AED∩面AA1E=AE.∴点A1在平面AED的射影K在AE上.
设AK=λAE，则
A1K
A1A
A1K
=（－λ，λ，λ－2）.
由A1K
·
AE=0，即λ+λ+λ－2=0，解得λ=2.
3
∴A1K
（2,2,
33
4）.∴|
3
26
A1K|.
3
26
故A1到平面AED的距离为.
3
11
19.解：
f′（x）=
2x
（x>0）.
xa
当a>0，x>0时，f′（x）>0x2+（2a－4）x+a2>0，f′（x）<0x2+（2a－4）x+a2<0.
（i）当a>1时，对所有x>0，有x2+（2a－4）x+a2>0，
即f′（x）>0，此时f（x）在（0，+∞）内单调递增.
（ii）当a=1时，对x≠1，有x2+（2a－4）x+a2>0，
即f′（x）>0，此时f（x）在（0，1）内单调递增，在（1，+∞）内单调递增.
又知函数f（x）在x=1处连续，因此，函数f（x）在（0，+∞）内单调递增.
（iii）当00，即x2+（2a－4）x+a2>0，
解得x<2－a－21
a，或x>2－a+2
1a.
因此，函数f（x）在区间（0，2－a－21a）内单调递增，在区间（2－a+21a，
+∞）内也单调递增.
令f′（x）<0，即x2+（2a－4）x+a2<0，
解得2－a－21a
因此，函数f（x）在区间（2－a－21
a，2－a+21
a）内单调递减.
20.解：
（Ⅰ）ξ、η的可能取值分别为3，2，1，0.
2228
P（ξ=3）=，
35575
223
3
5
5
3
5
5
3
5
5
75
2
3
3
1
2
3
1
3
2
2
P（ξ=2）=
122
23228
，
P（ξ=1）=
355
355
，
3
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