学生版数学奥数基础教程四年级目30讲全.docx

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学生版数学奥数基础教程四年级目30讲全

小学奥数基础教程（四年级）

第1讲速算与巧算

（一）

第2讲速算与巧算

（二）

第3讲高斯求和

第4讲4，8，9整除的数的特征

第5讲弃九法

第6讲数的整除性

（二）

第7讲找规律

（一）

第8讲找规律

（二）

第9讲数字谜

（一）

第10讲数字谜

（二）

第11讲归一问题与归总问题

第12讲年龄问题

第13讲鸡兔同笼问题与假设法

第14讲盈亏问题与比较法

（一）

第15讲盈亏问题与比较法

（二）

第16讲数阵图

（一）

第17讲数阵图

（二）

第18讲数阵图（三）

第19将乘法原理

第20讲加法原理

（一）

第21讲加法原理

（二）

第22讲还原问题

（一）

第23讲还原问题

（二）

第24讲页码问题

第25讲智取火柴

第26讲逻辑问题

（一）

第27讲逻辑问题

（二）

第28讲最不利原则

第29讲抽屉原理

（一）

第30讲抽屉原理

（二）

第1讲速算与巧算

（一）

　　计算是数学的基础，小学生要学好数学，必须具有过硬的计算本领。

准确、快速的计算能力既是一种技巧，也是一种思维训练，既能提高计算效率、节省计算时间，更可以锻炼记忆力，提高分析、判断能力，促进思维和智力的发展。

　　我们在三年级已经讲过一些四则运算的速算与巧算的方法，本讲和下一讲主要介绍加法的基准数法和乘法的补同与同补速算法。

例1四年级一班第一小组有10名同学，某次数学测验的成绩（分数）如下：

　　86，78，77，83，91，74，92，69，84，75。

　　求这10名同学的总分。

　　例1所用的方法叫做加法的基准数法。

这种方法适用于加数较多，而且所有的加数相差不大的情况。

作为“基准”的数（如例1的80）叫做基准数，各数与基准数的差的和叫做累计差。

由例1得到：

总和数=基准数×加数的个数+累计差，

平均数=基准数+累计差÷加数的个数。

　　在使用基准数法时，应选取与各数的差较小的数作为基准数，这样才容易计算累计差。

同时考虑到基准数与加数个数的乘法能够方便地计算出来，所以基准数应尽量选取整十、整百的数。

例2某农场有10块麦田，每块的产量如下（单位：

千克）：

　　462，480，443，420，473，429，468，439，475，461。

求平均每块麦田的产量。

　　求一位数的平方，在乘法口诀的九九表中已经被同学们熟知，如7×7＝49（七七四十九）。

对于两位数的平方，大多数同学只是背熟了10～20的平方，而21～99的平方就不大熟悉了。

有没有什么窍门，能够迅速算出两位数的平方呢？

这里向同学们介绍一种方法——凑整补零法。

所谓凑整补零法，就是用所求数与最接近的整十数的差，通过移多补少，将所求数转化成一个整十数乘以另一数，再加上零头的平方数。

下面通过例题来说明这一方法。

例3求292和822的值。

　　由上例看出，因为29比30少1，所以给29“补”1，这叫“补少”；因为82比80多2，所以从82中“移走”2，这叫“移多”。

因为是两个相同数相乘，所以对其中一个数“移多补少”后，还需要在另一个数上“找齐”。

本例中，给一个29补1，就要给另一个29减1；给一个82减了2，就要给另一个82加上2。

最后，还要加上“移多补少”的数的平方。

　　由凑整补零法计算352，得

　　35×35＝40×30＋52=1225。

这与三年级学的个位数是5的数的平方的速算方法结果相同。

　　这种方法不仅适用于求两位数的平方值，也适用于求三位数或更多位数的平方值。

例4求9932和20042的值。

　　下面，我们介绍一类特殊情况的乘法的速算方法。

　　请看下面的算式：

　　66×46，73×88，19×44。

　　这几道算式具有一个共同特点，两个因数都是两位数，一个因数的十位数与个位数相同，另一因数的十位数与个位数之和为10。

这类算式有非常简便的速算方法。

例588×64＝？

例677×91＝？

练习1

　　1.求下面10个数的总和：

165，152，168，171，148，156，169，161，157，149。

　　2.农业科研小组测定麦苗的生长情况，量出12株麦苗的高度分别为（单位：

厘米）：

26，25，25，23，27，28，26，24，29，27，27，25。

求这批麦苗的平均高度。

　　3.某车间有9个工人加工零件，他们加工零件的个数分别为：

　　68，91，84，75，78，81，83，72，79。

他们共加工了多少个零件？

4.计算：

13＋16＋10+11＋17＋12＋15＋12＋16＋13＋12。

　　5.计算下列各题：

（1）372；

（2）532；（3）912；

（4）682：

（5）1082；（6）3972。

　　6.计算下列各题：

（1）77×28；

（2）66×55；

（3）33×19；（4）82×44；

（5）37×33；（6）46×99。

第2讲速算与巧算

（二）

　　上一讲我们介绍了一类两位数乘法的速算方法，这一讲讨论乘法的“同补”与“补同”速算法。

　　两个数之和等于10，则称这两个数互补。

在整数乘法运算中，常会遇到像72×78，26×86等被乘数与乘数的十位数字相同或互补，或被乘数与乘数的个位数字相同或互补的情况。

72×78的被乘数与乘数的十位数字相同、个位数字互补，这类式子我们称为“头相同、尾互补”型；26×86的被乘数与乘数的十位数字互补、个位数字相同，这类式子我们称为“头互补、尾相同”型。

计算这两类题目，有非常简捷的速算方法，分别称为“同补”速算法和“补同”速算法。

例1

（1）76×74＝？

（2）31×39＝？

　　由例1看出，在“头相同、尾互补”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如1×9＝09），积中从百位起前面的数是被乘数（或乘数）的十位数与十位数加1的乘积。

“同补”速算法简单地说就是：

积的末两位是“尾×尾”，前面是“头×（头+1）”。

　　我们在三年级时学到的15×15，25×25，…，95×95的速算，实际上就是“同补”速算法。

例2

（1）78×38＝？

（2）43×63＝？

由例2看出，在“头互补、尾相同”的两个两位数乘法中，积的末两位数是两个因数的个位数之积（不够两位时前面补0，如3×3＝09），积中从百位起前面的数是两个因数的十位数之积加上被乘数（或乘数）的个位数。

“补同”速算法简单地说就是：

积的末两位数是“尾×尾”，前面是“头×头+尾”。

例1和例2介绍了两位数乘以两位数的“同补”或“补同”形式的速算法。

当被乘数和乘数多于两位时，情况会发生什么变化呢？

我们先将互补的概念推广一下。

当两个数的和是10，100，1000，…时，这两个数互为补数，简称互补。

如43与57互补，99与1互补，555与445互补。

　　在一个乘法算式中，当被乘数与乘数前面的几位数相同，后面的几位数互补时，这个算式就是“同补”型，即“头相同，尾互补”型。

例如

，因为被乘数与乘数的前两位数相同，都是70，后两位数互补，77＋23＝100，所以是“同补”型。

又如

，

　　等都是“同补”型。

当被乘数与乘数前面的几位数互补，后面的几位数相同时，这个乘法算式就是“补同”型，即“头互补，尾相同”型。

例如，

等都是“补同”型。

　　在计算多位数的“同补”型乘法时，例1的方法仍然适用。

例3

（1）702×708=？

（2）1708×1792＝？

　　计算多位数的“同补”型乘法时，将“头×（头+1）”作为乘积的前几位，将两个互补数之积作为乘积的后几位。

注意：

互补数如果是n位数，则应占乘积的后2n位，不足的位补“0”。

　　在计算多位数的“补同”型乘法时，如果“补”与“同”，即“头”与“尾”的位数相同，那么例2的方法仍然适用（见例4）；如果“补”与“同”的位数不相同，那么例2的方法不再适用，因为没有简捷实用的方法，所以就不再讨论了。

例42865×7265＝？

 练习2

　　计算下列各题：

1.68×62；2.93×97；3.27×87；4.79×39；　5.42×62；6.603×607；

7.693×607；8.4085×6085。

 第3讲高斯求和

　　德国著名数学家高斯幼年时代聪明过人，上学时，有一天老师出了一道题让同学们计算：

　　1＋2＋3＋4＋…＋99＋100＝？

　　老师出完题后，全班同学都在埋头计算，小高斯却很快算出答案等于5050。

高斯为什么算得又快又准呢？

原来小高斯通过细心观察发现：

　　1＋100＝2＋99＝3＋98＝…＝49＋52＝50＋51。

　　1～100正好可以分成这样的50对数，每对数的和都相等。

于是，小高斯把这道题巧算为

　（1+100）×100÷2＝5050。

　　小高斯使用的这种求和方法，真是聪明极了，简单快捷，并且广泛地适用于“等差数列”的求和问题。

　　若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。

后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。

例如：

（1）1，2，3，4，5，…，100；

（2）1，3，5，7，9，…，99；（3）8，15，22，29，36，…，71。

　　其中

（1）是首项为1，末项为100，公差为1的等差数列；

（2）是首项为1，末项为99，公差为2的等差数列；（3）是首项为8，末项为71，公差为7的等差数列。

　　由高斯的巧算方法，得到等差数列的求和公式：

和=（首项+末项）×项数÷2。

例11＋2＋3＋…＋1999＝？

例211＋12＋13＋…＋31＝？

项数=（末项-首项）÷公差+1，

末项=首项+公差×（项数-1）。

例33＋7＋11＋…＋99＝？

例4求首项是25，公差是3的等差数列的前40项的和。

例5在下图中，每个最小的等边三角形的面积是12厘米2，边长是1根火柴棍。

问：

（1）最大三角形的面积是多少平方厘米？

（2）整个图形由多少根火柴棍摆成？

例6盒子里放有三只乒乓球，一位魔术师第一次从盒子里拿出一只球，将它变成3只球后放回盒子里；第二次又从盒子里拿出二只球，将每只球各变成3只球后放回盒子里……第十次从盒子里拿出十只球，将每只球各变成3只球后放回到盒子里。

这时盒子里共有多少只乒乓球？

 练习3

　　1.计算下列各题：

（1）2＋4＋6＋…＋200；

（2）17＋19＋21＋…＋39；

（3）5＋8＋11＋14＋…＋50；

（4）3＋10＋17＋24＋…＋101。

2.求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。

3.求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。

4.时钟在每个整点敲打，敲打的次数等于该钟点数，每半点钟也敲一下。

问：

时钟一昼夜敲打多少次？

5.求100以内除以3余2的所有数的和。

6.在所有的两位数中，十位数比个位数大的数共有多少个？

第四讲4，8，9整除的数的特征

我们在三年级已经学习了能被2，3，5整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被4，8，9整除的数的特征。

　　数的整除具有如下性质：

性质1如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。

例如，48能被16整除，16能被8整除，那么48一定能被8整除。

性质2如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除。

例如，21与15都能被3整除，那么21＋15及21-15都能被3整除。

性质3如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除。

例如，126能被9整除，又能被7整除，且9与7互质，那么126能被9×7＝63整除。

　　利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。

为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：

（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个，那么这个数就能被2整除。

（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能被5整除。

　　（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被3整除，那么这个数就能被3整除。

　　（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么这个数就能被4（或25）整除。

　　（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那么这个数就能被8（或125）整除。

　　（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那么这个数就能被9整除。

　　其中

（1）

（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。

　　因为100能被4（或25）整除，所以由整除的性质1知，整百的数都能被4（或25）整除。

因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质2知，只要这个数的后两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。

这就证明了（4）。

　　类似地可以证明（5）。

　　（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。

　　837＝800＋30＋7

＝8×100＋3×10＋7

＝8×（99＋1）＋3×（9＋1）＋7

＝8×99＋8＋3×9＋3＋7

＝（8×99＋3×9）＋（8＋3＋7）。

　　因为99和9都能被9整除，所以根据整除的性质1和性质2知，（8x99＋3x9）能被9整除。

再根据整除的性质2，由（8＋3＋7）能被9整除，就能判断837能被9整除。

　利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以4，8，9的余数：

（4‘）一个数除以4的余数，与它的末两位除以4的余数相同。

（5＇）一个数除以8的余数，与它的末三位除以8的余数相同。

（6＇）一个数除以9的余数，与它的各位数字之和除以9的余数相同。

例1在下面的数中，哪些能被4整除？

哪些能被8整除？

哪些能被9整除？

234，789，7756，8865，3728.8064。

例2在四位数56□2中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4整除？

到现在为止，我们已经学过能被2，3，5，4，8，9整除的数的特征。

根据整除的性质3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。

例如，判断一个数能否被6整除，因为6＝2×3，2与3互质，所以如果这个数既能被2整除又能被3整除，那么根据整除的性质3，可判定这个数能被6整除。

同理，判断一个数能否被12整除，只需判断这个数能否同时被3和4整除；判断一个数能否被72整除，只需判断这个数能否同时被8和9整除；如此等等。

例3从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

例4五位数

能被72整除，问：

A与B各代表什么数字？

例5六位数

是6的倍数，这样的六位数有多少个？

例6要使六位数

能被36整除，而且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

练习4

1．6539724能被4，8，9，24，36，72中的哪几个数整除？

2．个位数是5，且能被9整除的三位数共有多少个？

3．一些四位数，百位上的数字都是3，十位上的数字都是6，并且它们既能被2整除又能被3整除。

在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？

4．五位数

能被12整除，求这个五位数。

5．有一个能被24整除的四位数□23□，这个四位数最大是几？

最小是几？

6．从0，2，3，6，7这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被8整除的没有重复数字的四位数？

7．在123的左右各添一个数码，使得到的五位数能被72整除。

8．学校买了72只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是□67.9□元，你知道每只小足球多少钱吗？

第5讲弃九法

　　从第4讲知道，如果一个数的各个数位上的数字之和能被9整除，那么这个数能被9整除；如果一个数各个数位上的数字之和被9除余数是几，那么这个数被9除的余数也一定是几。

利用这个性质可以迅速地判断一个数能否被9整除或者求出被9除的余数是几。

　　例如，3645732这个数，各个数位上的数字之和为

　　3＋6＋4＋5＋7＋3＋2＝30，

　　30被9除余3，所以3645732这个数不能被9整除，且被9除后余数为3。

　　但是，当一个数的数位较多时，这种计算麻烦且易错。

有没有更简便的方法呢？

　　因为我们只是判断这个式子被9除的余数，所以凡是若干个数的和是9时，就把这些数划掉，如3＋6＝9，4＋5＝9，7＋2＝9，把这些数划掉后，最多只剩下一个3（如下图），所以这个数除以9的余数是3。

　　这种将和为9或9的倍数的数字划掉，用剩下的数字和求除以9的余数的方法，叫做弃九法。

　　一个数被9除的余数叫做这个数的九余数。

利用弃九法可以计算一个数的九余数，还可以检验四则运算的正确性。

例1求多位数7645821369815436715除以9的余数。

例2将自然数1，2，3，…依次无间隔地写下去组成一个数1234567891011213…如果一直写到自然数100，那么所得的数除以9的余数是多少？

例3检验下面的加法算式是否正确：

　　2638457＋3521983＋6745785＝12907225。

例4检验下面的减法算式是否正确：

　7832145-2167953＝5664192。

例5检验下面的乘法算式是否正确：

　　46876×9537＝447156412。

练习5

　1．求下列各数除以9的余数：

（1）7468251；

（2）36298745；（3）2657348；（4）6678254193。

　2．求下列各式除以9的余数：

（1）67235＋82564；

（2）97256-47823；（3）2783×6451；（4）3477+265×841。

　　3．用弃九法检验下列各题计算的正确性：

（1）228×222＝50616；　

（2）334×336＝112224；

（3）23372428÷6236＝3748；（4）12345÷6789＝83810105。

4．有一个2000位的数A能被9整除，数A的各个数位上的数字之和是B，数B的各个数位上的数字之和是C，数C的各个数位上的数字之和是D。

求D。

第6讲数的整除性

（二）

　　这一讲主要讲能被11整除的数的特征。

　　一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。

也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。

例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：

能被11整除的数的特征：

一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。

例1判断七位数1839673能否被11整除。

例2求下列各数除以11的余数：

（1）41873；

（2）296738185。

例3求

除以11的余数。

例4用3，3，7，7四个数码能排出哪些能被11整除的四位数？

例5用1～9九个数码组成能被11整除的没有重复数字的最大九位数。

例6六位数

能被99整除，求A和B。

 练习6

1．为使五位数6□295能被11整除，□内应当填几？

2．用1，2，3，4四个数码能排出哪些能被11整除的没有重复数字的四位数？

3．求能被11整除的最大的没有重复数字的五位数。

　　4．求下列各数除以11的余数：

（1）2485；

（2）63582；（3）987654321。

5．求

除以11的余数。

6．六位数

5A634B能被33整除，求A+B。

7．七位数

3A8629B是88的倍数，求A和B。

第7讲找规律

（一）

　　我们在三年级已经见过“找规律”这个题目，学习了如何发现图形、数表和数列的变化规律。

这一讲重点学习具有“周期性”变化规律的问题。

什么是周期性变化规律呢？

比如，一年有春夏秋冬四季，百花盛开的春季过后就是夏天，赤日炎炎的夏季过后就是秋天，果实累累的秋季过后就是冬天，白雪皑皑的冬季过后又到了春天。

年复一年，总是按照春、夏、秋、冬四季变化，这就是周期性变化规律。

再比如，数列0，1，2，0，1，2，0，1，2，0，…是按照0，1，2三个数重复出现的，这也是周期性变化问题。

　　下面，我们通过一些例题作进一步讲解。

例1节日的夜景真漂亮，街上的彩灯按照5盏红灯、再接4盏蓝灯、再接3盏黄灯，然后又是5盏红灯、4盏蓝灯、3盏黄灯、……这样排下去。

问：

（1）第100盏灯是什么颜色？

（2）前150盏彩灯中有多少盏蓝灯？

例2有一串数，任何相邻的四个数之和都等于25。

已知第1个数是3，第6个数是6，第11个数是7。

问：

这串数中第24个数是几？

前77个数的和是多少？

例3下面这串数的规律是：

从第3个数起，每个数都是它前面两个数之和的个位数。

问：

这串数中第88个数是几？

　　628088640448…

例4在下面的一串数中，从第五个数起，每个数都是它前面四个数之和的个位数字。

那么在这串数中，能否出现相邻的四个数是“2000”？

　　135********7134…

例5A，B，C，D四个盒子中依次放有8，6，3，1个球。

第1个小朋友找到放球最少的盒子，然后从其它盒子中各取一个球放入这个盒子；第2个小朋友也找到放球最少的盒子，然后也从其它盒子中各取一个球放入这个盒子……当100位小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？

 练习7

1．有一串很长的珠子，它是按照5颗红珠、3颗白珠、4颗黄珠、2颗绿珠的顺序重复排列的。

问：

第100颗珠子是什么颜色？

前200颗珠子中有多少颗红珠？

2．将1，2，3，4，…除以3的余数依次排列起来，得到一个数列。

求这个数列前100个数的和。

3．有一串数，前两个数是9和7，从第三个数起，每个数是它前面两个数乘积的个位数。

这串数中第100个数是几？

前100个数之和是多少？

4．有一列数，第一个数是6，以后每一个数都是它前面一个数与7的和的个位数。

这列数中第88个数是几？

5．小明按1～3报数，小红按1～4报数。

两人以同样的速度同时开始报数，当两人都报了100个数时，有多少次两人报的数相同？

6．A，B，C，D四个盒子中依次放有9，6，3，0个小球。

第1个小朋友找到放球最多的盒子，从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球；第2个小朋友也找到放球最多的盒子，也从中拿出3个球放到其它盒子中各1个球……当100个小朋友放完后，A，B，C，D四个盒子中各放有几个球？

 第8讲找规律

（二）

　　整数a与它本身的乘积，即a×a叫做这个数的平方，记作a2，即a2＝a×a；同样，三个a的乘积叫做a的三次方，记作a3，即a3＝a×a×a。

一般地，n个a相乘，叫做a的n次方，记作an，即

　　本讲主要讲an的个位数的变化规律，以及an除以某数所得余数的变化规律。

　　因为积的个位数只与被乘数的个位数和乘数的个位数有关，所以an的个位数只与a的个位数有关，而a的个位数只有0，1，2，…，9共十种情况，故我们只需讨论这十种情况。

　　为了找出一个整数a自乘n次后，乘积的个位数字