版新设计一轮复习数学文通用版讲义第二章第九节 指数函数.docx

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版新设计一轮复习数学文通用版讲义第二章第九节指数函数

第九节

指数函数

一、基础知识批注——理解深一点

1．指数函数的概念

函数y＝ax（a>0，且a≠1）叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数．

形如y＝kax，y＝ax＋k（k∈R且k≠0，a>0且a≠1）的函数叫做指数型函数，不是指数函数．

2．指数函数y＝ax（a>0，且a≠1）的图象与性质

底数

a>1

0

图象

性

质

定义域为R，值域为（0，＋∞）

图象过定点（0,1）

当x>0时，恒有y>1；

当x<0时，恒有0

当x>0时，恒有0

当x<0时，恒有y>1

在定义域R上为增函数

在定义域R上为减函数

注意

指数函数y=ax（a>0,且a≠1）的图象和性质与a的取值有关，应分a>1与0

二、常用结论汇总——规律多一点

指数函数图象的特点

（1）指数函数的图象恒过点（0,1），（1，a），，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象．

（2）函数y＝ax与y＝x（a>0，且a≠1）的图象关于y轴对称．

（3）底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：

当a>1时，指数函数的图象“上升”；当0

三、基础小题强化——功底牢一点

（1）函数y＝3·2x与y＝2x＋1都不是指数函数．（　　）

（2）若am0，且a≠1），则m

（3）函数y＝ax2＋1（a>1）的值域是（0，＋∞）．（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　（3）×

（二）选一选

1．函数y＝2|x|的值域为（　　）

A．[0，＋∞）　　　　　　　　B．[1，＋∞）

C．（1，＋∞）D．（0,1]

答案：

B

2．函数f（x）＝的定义域是（　　）

A．（－∞，0]B．[0，＋∞）

C．（－∞，0）D．R

解析：

选A　由题意，得1－5x≥0，即5x≤1，所以x≤0，

即函数f（x）的定义域为（－∞，0]．

3．函数f（x）＝ax－2＋1（a>0，且a≠1）的图象必经过点（　　）

A．（0,1）B．（1,1）

C．（2,0）D．（2,2）

解析：

选D　由f

（2）＝a0＋1＝2，知f（x）的图象必过点（2,2）．

（三）填一填

4．若函数f（x）＝ax（a>0，且a≠1）的图象经过点P，则f（－1）＝________.

解析：

代入得，a＝＝，所以f（－1）＝－1＝.

答案：

5．若指数函数f（x）＝（a－2）x为减函数，则实数a的取值范围为________．

解析：

∵f（x）＝（a－2）x为减函数，∴0

答案：

（2,3）

[典例]　

（1）函数f（x）＝21－x的大致图象为（　　）

（2）若函数y＝|3x－1|在（－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________．

[解析]　

（1）函数f（x）＝21－x＝2×x，单调递减且过点（0,2），选项A中的图象符合要求．

（2）函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示．

由图象知，其在（－∞，0]上单调递减，

所以k的取值范围为（－∞，0]．

[答案]　

（1）A　

（2）（－∞，0]

[变透练清]

1.本例

（1）中的函数f（x）变为：

f（x）＝2|x－1|，则f（x）的大致图象为（　　）

解析：

选B　f（x）＝2|x－1|的图象是由y＝2|x|的图象向右平移一个单位得到，结合选项知B正确．

2.本例

（2）变为：

若函数f（x）＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________．

解析：

函数f（x）有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点，由典例

（2）得y＝|3x－1|的图象如图所示，

故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f（x）有一个零点．

答案：

{0}∪[1，＋∞）

3．若函数y＝21－x＋m的图象不经过第一象限，求m的取值范围．

解：

y＝21－x＋m＝x－1＋m，函数y＝x－1的图象如图所示，

则要使其图象不经过第一象限，

则m≤－2.

故m的取值范围为（－∞，－2]．

[解题技法]　指数函数图象问题的求解策略

变换作图

对指数型函数的图象与性质问题（单调性、最值、大小比较、零点等）的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解

数形结合

一些指数型方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解

考法

（一）　比较指数式的大小

[典例]　（2016·全国卷Ⅲ）已知a＝2

，b＝4

，c＝25

，则（　　）

A．b

C．b

[解析]　因为a＝2

，b＝4

＝2

，由函数y＝2x在R上为增函数知，b

又因为a＝2

＝4

，c＝25

＝5

，由函数y＝x

在（0，＋∞）上为增函数知，a

综上得b

[答案]　A

[解题技法]　比较指数幂大小的常用方法

单调性法

不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底

取中间值法

不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0,1）比较大小，进而得出大小关系

考法

（二）　解简单的指数方程或不等式

[典例]　（2019·西安质检）若偶函数f（x）满足f（x）＝2x－4（x≥0），则不等式f（x－2）>0的解集为________．

[解析]　∵f（x）为偶函数，

当x＜0时，－x>0，则f（x）＝f（－x）＝2－x－4.

∴f（x）＝

当f（x－2）＞0时，有或

解得x＞4或x＜0.

∴不等式的解集为{x|x>4或x<0}．

[答案]　{x|x>4或x<0}

[解题技法]

简单的指数方程或不等式问题的求解策略

（1）af（x）＝ag（x）⇔f（x）＝g（x）．

（2）af（x）>ag（x），当a>1时，等价于f（x）>g（x）；当0

（3）解决简单的指数不等式的问题主要利用指数函数的单调性，要特别注意底数a的取值范围，并在必要时进行分类讨论．

考法（三）　指数型函数性质的综合问题

[典例]　已知函数f（x）＝

.

（1）若a＝－1，求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）有最大值3，求a的值．

[解]　

（1）当a＝－1时，f（x）＝

，

令g（x）＝－x2－4x＋3，由于g（x）在（－∞，－2）上单调递增，在（－2，＋∞）上单调递减，而y＝t在R上单调递减，所以f（x）在（－∞，－2）上单调递减，在（－2，＋∞）上单调递增，即函数f（x）的单调递增区间是（－2，＋∞），单调递减区间是（－∞，－2）．

（2）令g（x）＝ax2－4x＋3，则f（x）＝g（x），

由于f（x）有最大值3，所以g（x）应有最小值－1，

因此必有

解得a＝1，即当f（x）有最大值3时，a的值等于1.

[解题技法]　与指数函数有关的复合函数的单调性

形如函数y＝af（x）的单调性，它的单调区间与f（x）的单调区间有关：

（1）若a>1，函数f（x）的单调增（减）区间即函数y＝af（x）的单调增（减）区间；

（2）若0

[题组训练]

1．函数y＝

的值域是（　　）

A．（－∞，4）B．（0，＋∞）

C．（0,4]D．[4，＋∞）

解析：

选C　设t＝x2＋2x－1，则y＝t.

因为0<<1，

所以y＝t为关于t的减函数．

因为t＝2－2≥－2，

所以0

故所求函数的值域为（0,4]．

2．设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.6，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a

C．b

解析：

选C　因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.51，所以b

3．（2018·河南八市第一次测评）设函数f（x）＝x2－a与g（x）＝ax（a>1且a≠2）在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，则M＝（a－1）0.2与N＝0.1的大小关系是（　　）

A．M＝NB．M≤N

C．MN

解析：

选D　因为f（x）＝x2－a与g（x）＝ax（a>1且a≠2）在区间（0，＋∞）上具有不同的单调性，所以a>2，所以M＝（a－1）0.2>1，N＝0.1<1，所以M>N.

4．已知实数a≠1，函数f（x）＝若f（1－a）＝f（a－1），则a的值为________．

解析：

当a<1时，41－a＝21，所以a＝；当a>1时，代入可知不成立．所以a的值为.

答案：

A级——保大分专练

1．函数f（x）＝1－e|x|的图象大致是（　　）

解析：

选A　因为函数f（x）＝1－e|x|是偶函数，且值域是（－∞，0]，只有A满足上述两个性质．

2．（2019·贵阳监测）已知函数f（x）＝4＋2ax－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是（　　）

A．（1,6）　　　　　　　　B．（1,5）

C．（0,5）D．（5,0）

解析：

选A　由于函数y＝ax的图象过定点（0,1），当x＝1时，f（x）＝4＋2＝6，故函数f（x）＝4＋2ax－1的图象恒过定点P（1,6）．

3．已知a＝20.2，b＝0.40.2，c＝0.40.6，则a，b，c的大小关系是（　　）

A．a＞b＞cB．a＞c＞b

C．c＞a＞bD．b＞c＞a

解析：

选A　由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b＞c；因为a＝20.2＞1，b＝0.40.2＜1，所以a＞b.综上，a＞b＞c.

4．（2019·南宁调研）函数f（x）＝

的单调递增区间是（　　）

A.B.

C.D.

解析：

选D　令x－x2≥0，得0≤x≤1，所以函数f（x）的定义域为[0,1]，因为y＝t是减函数，所以函数f（x）的增区间就是函数y＝－x2＋x在[0,1]上的减区间

，故选D.

5.函数f（x）＝ax－b的图象如图所示，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（　　）

A．a>1，b<0　　　　B．a>1，b>0

C．00D．0

解析：

选D　由f（x）＝ax－b的图象可以观察出函数f（x）＝ax－b在定义域上单调递减，所以0

6．已知函数f（x）＝则函数f（x）是（　　）

A．偶函数，在[0，＋∞）上单调递增

B．偶函数，在[0，＋∞）上单调递减

C．奇函数，且单调递增

D．奇函数，且单调递减

解析：

选C　易知f（0）＝0，当x>0时，f（x）＝1－2－x，－f（x）＝2－x－1，此时－x<0，则f（－x）＝2－x－1＝－f（x）；当x<0时，f（x）＝2x－1，－f（x）＝1－2x，此时－x>0，则f（－x）＝1－2－（－x）＝1－2x＝－f（x）．即函数f（x）是奇函数，且单调递增，故选C.

7．（2018·深圳摸底）已知a＝3.3，b＝3.9，则a________b．（填“<”或“>”）

解析：

因为函数y＝x为减函数，所以3.3>3.9，即a>b.

答案：

>

8．函数y＝x－x＋1在[－3,2]上的值域是________．

解析：

令t＝x，由x∈[－3,2]，得t∈.

则y＝t2－t＋1＝2＋.

当t＝时，ymin＝；当t＝8时，ymax＝57.

故所求函数的值域是.

答案：

9．已知函数f（x）＝ax＋b（a>0，且a≠1）的定义域和值域都是[－1,0]，则a＋b＝________.

解析：

当a>1时，函数f（x）＝ax＋b在上为增函数，由题意得无解．当0

答案：

－

10．已知函数f（x）＝a|x＋1|（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），则f（－4）与f

（1）的大小关系是________．

解析：

因为|x＋1|≥0，函数f（x）＝a|x＋1|（a＞0，且a≠1）的值域为[1，＋∞），所以a＞1.由于函数f（x）＝a|x＋1|在（－1，＋∞）上是增函数，且它的图象关于直线x＝－1对称，则函数f（x）在（－∞，－1）上是减函数，故f

（1）＝f（－3），f（－4）＞f

（1）．

答案：

f（－4）＞f

（1）

11．已知函数f（x）＝ax，a为常数，且函数的图象过点（－1,2）．

（1）求a的值；

（2）若g（x）＝4－x－2，且g（x）＝f（x），求满足条件的x的值．

解：

（1）由已知得－a＝2，解得a＝1.

（2）由

（1）知f（x）＝x，

又g（x）＝f（x），则4－x－2＝x，

∴x－x－2＝0，

令x＝t，则t>0，t2－t－2＝0，

即（t－2）（t＋1）＝0，

又t>0，故t＝2，即x＝2，解得x＝－1，

故满足条件的x的值为－1.

12．已知函数f（x）＝|x|－a.

（1）求f（x）的单调区间；

（2）若f（x）的最大值是，求a的值．

解：

（1）令t＝|x|－a，则f（x）＝t，不论a取何值，t在（－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞）上单调递增，

又y＝t在R上单调递减，

所以f（x）的单调递增区间是（－∞，0]，

单调递减区间是[0，＋∞）．

（2）由于f（x）的最大值是，且＝－2，

所以g（x）＝|x|－a应该有最小值－2，

从而a＝2.

B级——创高分自选

1．（2019·郴州质检）已知函数f（x）＝ex－，其中e是自然对数的底数，则关于x的不等式f（2x－1）＋f（－x－1）>0的解集为（　　）

A.∪（2，＋∞）

B．（2，＋∞）

C.∪（2，＋∞）

D．（－∞，2）

解析：

选B　函数f（x）＝ex－的定义域为R，

∵f（－x）＝e－x－＝－ex＝－f（x），∴f（x）是奇函数，那么不等式f（2x－1）＋f（－x－1）>0等价于f（2x－1）>－f（－x－1）＝f（1＋x），易证f（x）是R上的单调递增函数，∴2x－1>x＋1，解得x>2，∴不等式f（2x－1）＋f（－x－1）>0的解集为（2，＋∞）．

2．已知a>0，且a≠1，若函数y＝|ax－2|与y＝3a的图象有两个交点，则实数a的取值范围是________．

解析：

①当0

（1）．若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|（0

②当a>1时，作出函数y＝|ax－2|的图象如图

（2），若直线y＝3a与函数y＝|ax－2|（a>1）的图象有两个交点，则由图象可知0<3a<2，此时无解．

所以实数a的取值范围是.

答案：

3．已知函数f（x）＝x3（a＞0，且a≠1）．

（1）讨论f（x）的奇偶性；

（2）求a的取值范围，使f（x）＞0在定义域上恒成立．

解：

（1）由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，

所以函数f（x）的定义域为{x|x≠0}．

对于定义域内任意x，有

f（－x）＝（－x）3＝（－x）3＝（－x）3

＝x3＝f（x），

∴函数f（x）为偶函数．

（2）由

（1）知f（x）为偶函数，

∴只需讨论x＞0时的情况．当x＞0时，要使f（x）＞0，

则x3＞0，

即＋＞0，即＞0，则ax＞1.

又∵x＞0，∴a＞1.

∴当a∈（1，＋∞）时，f（x）＞0.