北师大新版中考数学题函数综合压轴题及答案Word文档格式.docx

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则∠NBC+∠BNC=90°

，NC=m，BC=﹣m2+m+2﹣2=﹣m2+m，

∵∠NBP=90°

∴∠NBC+∠ABO=90°

∴∠ABO=∠NBC，

∴Rt△NCB∽Rt△BOA，

∴=，

∴=，解得m=0（舍去）或m=，

综上可知当以B，P，N为顶点的三角形与△APM相似时，点M的坐标为（，0）或（，0）；

②由①可知M（m，0），P（m，﹣m+2），N（m，﹣m2+m+2），

∵M，P，N三点为“共谐点”，

∴有P为线段MN的中点、M为线段PN的中点或N为线段PM的中点，

当P为线段MN的中点时，则有2（﹣m+2）=﹣m2+m+2，解得m=3（三点重合，舍去）或m=；

当M为线段PN的中点时，则有﹣m+2+（﹣m2+m+2）=0，解得m=3（舍去）或m=﹣1；

当N为线段PM的中点时，则有﹣m+2=2（﹣m2+m+2），解得m=3（舍去）或m=﹣；

综上可知当M，P，N三点成为“共谐点”时m的值为或﹣1或﹣．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、函数图象的交点、相似三角形的判定和性质、勾股定理、线段的中点、方程思想及分类讨论思想等知识．在

（1）中注意待定系数法的应用，在

（2）①中利用相似三角形的性质得到关于m的方程是解题的关键，注意分两种情况，在

（2）②中利用“共谐点”的定义得到m的方程是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，分情况讨论比较多，难度较大．

2．如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：

y=ax2+bx+c与x轴相交于A，B两点，顶点为D（0，4），AB=4，设点F（m，0）是x轴的正半轴上一点，将抛物线C绕点F旋转180°

，得到新的抛物线C′．

（1）求抛物线C的函数表达式；

（2）若抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，求m的取值范围．

（3）如图2，P是第一象限内抛物线C上一点，它到两坐标轴的距离相等，点P在抛物线C′上的对应点P′，设M是C上的动点，N是C′上的动点，试探究四边形PMP′N能否成为正方形若能，求出m的值；

若不能，请说明理由．

（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，把A（2，0）代入可得a=﹣，由此即可解决问题；

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2m）2﹣4，由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，则有，解不等式组即可解决问题；

（3）情形1，四边形PMP′N能成为正方形．作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，推出PF=FM，∠PFM=90°

，易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，可得M（m+2，m﹣2），理由待定系数法即可解决问题；

情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），利用待定系数法即可解决问题．

（1）由题意抛物线的顶点D（0，4），A（﹣2，0），设抛物线的解析式为y=ax2+4，

把A（﹣2，0）代入可得a=﹣，

∴抛物线C的函数表达式为y=﹣x2+4．

（2）由题意抛物线C′的顶点坐标为（2m，﹣4），设抛物线C′的解析式为y=（x﹣2m）2﹣4，

由，消去y得到x2﹣2mx+2m2﹣8=0，

由题意，抛物线C′与抛物线C在y轴的右侧有两个不同的公共点，

则有，解得2＜m＜2，

∴满足条件的m的取值范围为2＜m＜2．

（3）结论：

四边形PMP′N能成为正方形．

理由：

1情形1，如图，作PE⊥x轴于E，MH⊥x轴于H．

由题意易知P（2，2），当△PFM是等腰直角三角形时，四边形PMP′N是正方形，

∴PF=FM，∠PFM=90°

易证△PFE≌△FMH，可得PE=FH=2，EF=HM=2﹣m，

∴M（m+2，m﹣2），

∵点M在y=﹣x2+4上，

∴m﹣2=﹣（m+2）2+4，解得m=﹣3或﹣﹣3（舍弃），

∴m=﹣3时，四边形PMP′N是正方形．

情形2，如图，四边形PMP′N是正方形，同法可得M（m﹣2，2﹣m），

把M（m﹣2，2﹣m）代入y=﹣x2+4中，2﹣m=﹣（m﹣2）2+4，解得m=6或0（舍弃），

∴m=6时，四边形PMP′N是正方形．

综上，四边形PMP′N能成为正方形，m=﹣3或6．

【点评】本题考查二次函数综合题、中心对称变换、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、一元二次方程的根与系数的关系等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．

3．在平面直角坐标系xOy中的点P和图形M，给出如下的定义：

若在图形M上存在一点Q，使得P、Q两点间的距离小于或等于1，则称P为图形M的关联点．

（1）当⊙O的半径为2时，

①在点P1（，0），P2（，），P3（，0）中，⊙O的关联点是　P2，P3　．

②点P在直线y=﹣x上，若P为⊙O的关联点，求点P的横坐标的取值范围．

（2）⊙C的圆心在x轴上，半径为2，直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B．若线段AB上的所有点都是⊙C的关联点，直接写出圆心C的横坐标的取值范围．

（1）①根据点P1（，0），P2（，），P3（，0），求得OP1=，OP2=1，OP3=，于是得到结论；

②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，设P（x，﹣x），根据两点间的距离公式即可得到结论；

（2根据已知条件得到A（1，0），B（0，1），如图1，当圆过点A时，得到C（﹣2，0），如图2，当直线AB与小圆相切时，切点为D，得到C（1﹣，0），于是得到结论；

如图3，当圆过点A，则AC=1，得到C（2，0），如图4，当圆过点B，连接BC，根据勾股定理得到C（2，0），于是得到结论．

（1）①∵点P1（，0），P2（，），P3（，0），

∴OP1=，OP2=1，OP3=，

∴P1与⊙O的最小距离为，P2与⊙O的最小距离为1，OP3与⊙O的最小距离为，

∴⊙O，⊙O的关联点是P2，P3；

故答案为：

P2，P3；

②根据定义分析，可得当最小y=﹣x上的点P到原点的距离在1到3之间时符合题意，

∴设P（x，﹣x），当OP=1时，

由距离公式得，OP==1，

∴x=，

当OP=3时，OP==3，

解得：

x=±

；

∴点P的横坐标的取值范围为：

﹣≤x≤﹣，或≤x≤；

（2）∵直线y=﹣x+1与x轴、y轴交于点A、B，

∴A（1，0），B（0，1），

如图1，

当圆过点A时，此时，CA=3，

∴C（﹣2，0），

如图2，

当直线AB与小圆相切时，切点为D，

∴CD=1，

∵直线AB的解析式为y=﹣x+1，

∴直线AB与x轴的夹角=45°

∴AC=，

∴C（1﹣，0），

∴圆心C的横坐标的取值范围为：

﹣2≤xC≤1﹣；

如图3，

当圆过点A，则AC=1，∴C（2，0），

如图4，

当圆过点B，连接BC，此时，BC=3，

∴OC==2，

∴C（2，0）．

2≤xC≤2；

综上所述；

圆心C的横坐标的取值范围为：

﹣2≤xC≤1﹣或2≤xC≤2．

【点评】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，两点间的距离公式，正确的作出图形是解题的关键．

4．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2+ax+b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴相交于点C．

（1）求抛物线y=﹣x2+ax+b的解析式；

（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，求sin∠OCB的值．

（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b，解得a，b可得解析式；

（2）由C点横坐标为0可得P点横坐标，将P点横坐标代入

（1）中抛物线解析式，易得P点坐标；

（3）由P点的坐标可得C点坐标，由B、C的坐标，利用勾股定理可得BC长，利用sin∠OCB=可得结果．

（1）将点A、B代入抛物线y=﹣x2+ax+b可得，

解得，a=4，b=﹣3，

∴抛物线的解析式为：

y=﹣x2+4x﹣3；

（2）∵点C在y轴上，

所以C点横坐标x=0，

∵点P是线段BC的中点，

∴点P横坐标xP==，

∵点P在抛物线y=﹣x2+4x﹣3上，

∴yP=﹣3=，

∴点P的坐标为（，）；

（3）∵点P的坐标为（，），点P是线段BC的中点，

∴点C的纵坐标为2×

﹣0=，

∴点C的坐标为（0，），

∴BC==，

∴sin∠OCB===．

【点评】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式和解直角三角形，利用中点求得点P的坐标是解答此题的关键．

5．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接BD．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）点F是抛物线上的动点，当∠FBA=∠BDE时，求点F的坐标；

（3）若点M是抛物线上的动点，过点M作MN∥x轴与抛物线交于点N，点P在x轴上，点Q在坐标平面内，以线段MN为对角线作正方形MPNQ，请写出点Q的坐标．

（1）由B、C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式，再求其顶点D即可；

（2）过F作FG⊥x轴于点G，可设出F点坐标，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性质可得到关于F点坐标的方程，可求得F点的坐标；

（3）由于M、N两点关于对称轴对称，可知点P为对称轴与x轴的交点，点Q在对称轴上，可设出Q点的坐标，则可表示出M的坐标，代入抛物线解析式可求得Q点的坐标．

（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，

∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+6，

∵y=﹣x2+2x+6=﹣（x﹣2）2+8，

∴D（2，8）；

（2）如图1，过F作FG⊥x轴于点G，

设F（x，﹣x2+2x+6），则FG=|﹣x2+2x+6|，

∵∠FBA=∠BDE，∠FGB=∠BED=90°

∴△FBG∽△BDE，

∵B（6，0），D（2，8），

∴E（2，0），BE=4，DE=8，OB=6，

∴BG=6﹣x，

当点F在x轴上方时，有=，解得x=﹣1或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣1，）；

当点F在x轴下方时，有=﹣，解得x=﹣3或x=6（舍去），此时F点的坐标为（﹣3，﹣）；

综上可知F点的坐标为（﹣1，）或（﹣3，﹣）；

（3）如图2，设对角线MN、PQ交于点O′，

∵点M、N关于抛物线对称轴对称，且四边形MPNQ为正方形，

∴点P为抛物线对称轴与x轴的交点，点Q在抛物线的对称轴上，

设Q（2，2n），则M坐标为（2﹣n，n），

∵点M在抛物线y=﹣x2+2x+6的图象上，

∴n=﹣（2﹣n）2+2（2﹣n）+6，解得n=﹣1+或n=﹣1﹣，

∴满足条件的点Q有两个，其坐标分别为（2，﹣2+2）或（2，﹣2﹣2）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、相似三角形的判定和性质、正方形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在

（1）中注意待定系数法的应用，在

（2）中构造三角形相似是解题的关键，注意有两种情况，在（3）中确定出P、Q的位置是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

6．已知抛物线y=x2+bx﹣3（b是常数）经过点A（﹣1，0）．

（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；

（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'

．

①当点P'

落在该抛物线上时，求m的值；

②当点P'

落在第二象限内，P'

A2取得最小值时，求m的值．

（1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；

（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；

②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A2，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．

（1）∵抛物线y=x2+bx﹣3经过点A（﹣1，0），

∴0=1﹣b﹣3，解得b=﹣2，

∴抛物线解析式为y=x2﹣2x﹣3，

∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴抛物线顶点坐标为（1，﹣4）；

（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t=m2﹣2m﹣3，

∵点P′与P关于原点对称，

∴P′（﹣m，﹣t），

∵点P′落在抛物线上，

∴﹣t=（﹣m）2﹣2（﹣m）﹣3，即t=﹣m2﹣2m+3，

∴m2﹣2m﹣3=﹣m2﹣2m+3，解得m=或m=﹣；

②由题意可知P′（﹣m，﹣t）在第二象限，

∴﹣m＜0，﹣t＞0，即m＞0，t＜0，

∵抛物线的顶点坐标为（1，﹣4），

∴﹣4≤t＜0，

∵P在抛物线上，

∴t=m2﹣2m﹣3，

∴m2﹣2m=t+3，

∵A（﹣1，0），P′（﹣m，﹣t），

∴P′A2=（﹣m+1）2+（﹣t）2=m2﹣2m+1+t2=t2+t+4=（t+）2+；

∴当t=﹣时，P′A2有最小值，

∴﹣=m2﹣2m﹣3，解得m=或m=，

∵m＞0，

∴m=不合题意，舍去，

∴m的值为．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．在

（1）中注意待定系数法的应用，在

（2）①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在

（2）②中用t表示出P′A2是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

7．在同一直角坐标系中，抛物线C1：

y=ax2﹣2x﹣3与抛物线C2：

y=x2+mx+n关于y轴对称，C2与x轴交于A、B两点，其中点A在点B的左侧．

（1）求抛物线C1，C2的函数表达式；

（2）求A、B两点的坐标；

（3）在抛物线C1上是否存在一点P，在抛物线C2上是否存在一点Q，使得以AB为边，且以A、B、P、Q四点为顶点的四边形是平行四边形若存在，求出P、Q两点的坐标；

若不存在，请说明理由．

（1）由对称可求得a、n的值，则可求得两函数的对称轴，可求得m的值，则可求得两抛物线的函数表达式；

（2）由C2的函数表达式可求得A、B的坐标；

（3）由题意可知AB只能为平行四边形的边，利用平行四边形的性质，可设出P点坐标，表示出Q点坐标，代入C2的函数表达式可求得P、Q的坐标．

（1）∵C1、C2关于y轴对称，

∴C1与C2的交点一定在y轴上，且C1与C2的形状、大小均相同，

∴a=1，n=﹣3，

∴C1的对称轴为x=1，

∴C2的对称轴为x=﹣1，

∴m=2，

∴C1的函数表示式为y=x2﹣2x﹣3，C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3；

（2）在C2的函数表达式为y=x2+2x﹣3中，令y=0可得x2+2x﹣3=0，解得x=﹣3或x=1，

∴A（﹣3，0），B（1，0）；

（3）存在．

∵AB的中点为（﹣1，0），且点P在抛物线C1上，点Q在抛物线C2上，

∴AB只能为平行四边形的一边，

∴PQ∥AB且PQ=AB，

由

（2）可知AB=1﹣（﹣3）=4，

∴PQ=4，

设P（t，t2﹣2t﹣3），则Q（t+4，t2﹣2t﹣3）或（t﹣4，t2﹣2t﹣3），

①当Q（t+4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t+4）2+2（t+4）﹣3，解得t=﹣2，

∴t2﹣2t﹣3=4+4﹣3=5，

∴P（﹣2，5），Q（2，5）；

②当Q（t﹣4，t2﹣2t﹣3）时，则t2﹣2t﹣3=（t﹣4）2+2（t﹣4）﹣3，解得t=2，

∴t2﹣2t﹣3=4﹣4﹣3=﹣3，

∴P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3），

综上可知存在满足条件的点P、Q，其坐标为P（﹣2，5），Q（2，5）或P（2，﹣3），Q（﹣2，﹣3）．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、对称的性质、函数图象与坐标轴的交点、平行四边形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在

（1）中由对称性质求得a、n的值是解题的关键，在

（2）中注意函数图象与坐标轴的交点的求法即可，在（3）中确定出PQ的长度，设P点坐标表示出Q点的坐标是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．

8．已知函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数）．

（1）该函数的图象与x轴公共点的个数是　D　．

.1C或2

（2）求证：

不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上．

（3）当﹣2≤m≤3时，求该函数的图象的顶点纵坐标的取值范围．

（1）表示出根的判别式，判断其正负即可得到结果；

（2）将二次函数解析式配方变形后，判断其顶点坐标是否在已知函数图象即可；

（3）根据m的范围确定出顶点纵坐标范围即可．

（1）∵函数y=﹣x2+（m﹣1）x+m（m为常数），

∴△=（m﹣1）2+4m=（m+1）2≥0，

则该函数图象与x轴的公共点的个数是1或2，

故选D；

（2）y=﹣x2+（m﹣1）x+m=﹣（x﹣）2+，

把x=代入y=（x+1）2得：

y=（+1）2=，

则不论m为何值，该函数的图象的顶点都在函数y=（x+1）2的图象上；

（3）设函数z=，

当m=﹣1时，z有最小值为0；

当m＜﹣1时，z随m的增大而减小；

当m＞﹣1时，z随m的增大而增大，

当m=﹣2时，z=；

当m=3时，z=4，

则当﹣2≤m≤3时，该函数图象的顶点坐标的取值范围是0≤z≤4．

【点评】此题考查了抛物线与x轴的交点，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解本题的关键．

9．已知直线y=2x+m与抛物线y=ax2+ax+b有一个公共点M（1，0），且a＜b．

（Ⅰ）求抛物线顶点Q的坐标（用含a的代数式表示）；

（Ⅱ）说明直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）直线与抛物线的另一个交点记为N．

（ⅰ）若﹣1≤a≤﹣，求线段MN长度的取值范围；

（ⅱ）求△QMN面积的最小值．

（Ⅰ）把M点坐标代入抛物线解析式可得到b与a的关系，可用a表示出抛物线解析式，化为顶点式可求得其顶点坐标；

（Ⅱ）由直线解析式可先求得m的值，联立直线与抛物线解析式，消去y，可得到关于x的一元二次方程，再判断其判别式大于0即可；

（Ⅲ）（i）由（Ⅱ）的方程，可求得N点坐标，利用勾股定理可求得MN2，利用二次函数性质可求得MN长度的取值范围；

（ii）设抛物线对称轴交直线与点E，则可求得E点坐标，利用S△QMN=S△QEN+S△QEM可用a表示出△QMN的面积，再整理成关于a的一元二次方程，利用判别式可得其面积的取值范围，可求得答案．

（Ⅰ）∵抛物线y=ax2+ax+b过点M（1，0），

∴a+a+b=0，即b=﹣2a，

∴y=ax2+ax+b=ax2+ax﹣2a=a（x+）2﹣，

∴抛物线顶点Q的坐标为（﹣，﹣）；

（Ⅱ）∵直线y=2x+m经过点M（1，0），

∴0=2×

1+m，解得m=﹣2，

联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0（*）

∴△=（a﹣2）2﹣4a（﹣2a+2）=9a2﹣12a+4，

由（Ⅰ）知b=﹣2a，且a＜b，

∴a＜0，b＞0，

∴△＞0，

∴方程（*）有两个不相等的实数根，

∴直线与抛物线有两个交点；

（Ⅲ）联立直线与抛物线解析式，消去y可得ax2+（a﹣2）x﹣2a+2=0，即x2+（1﹣）x﹣2+=0，

∴（x﹣1）[x﹣（﹣2）]=0，解得x=1或x=﹣2，

∴N点坐标为（﹣2，﹣6），

（i）由勾股定理可得MN2=[（﹣2）﹣1]2+（﹣6）2=﹣+45=20（﹣）2，

∵﹣1≤a≤﹣，

∴﹣2≤≤﹣1，

∴MN2随的增大而减小，

∴当=﹣2时，MN2有最大值245，则MN有最大值7，

当=﹣1时，MN2有最小值125，则MN有最小值5，

∴线段MN长度的取值范围为5≤MN≤7；

（ii）如图，设抛物线对称轴交直线与点E，

∵抛物线对称轴为x=﹣，

∴E（﹣，﹣3），

∵M（1，0），N（﹣2，﹣6），且a＜0，设△QMN的面积为S，

∴S=S△QEN+S△QEM=|（﹣2）﹣1|•|﹣﹣（﹣3）|=﹣﹣，

∴27a2+（8S﹣54）a+24=0（*），

∵关于a的方程（*）有实数根，

∴△=（8S﹣54）2﹣4×

27×

24≥0，即（8S﹣54）2≥（36）2，

∵a＜0，

∴S=﹣﹣＞，

∴8S﹣54＞0，

∴8S﹣54≥36，即S≥+，

当S=+时，由方程（*）可得a=﹣满足题意，

∴当a=﹣，b=时，△QMN面积的最小值为+．

【点评】本题为二次函数的综合应用，涉及函数图象的交点、二次函数的性质、根的判别式、勾股定理、三角形的面积等知识．在

（1）中由M的坐标得到b与a的关系是解题的关键，在

（2）中联立两函数解析式，得到关于x的一元二次方程是解题的关键，在（3）中求得N点的坐标是解题的关键，在最后一小题中用a表示出△QMN的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度较大．

10．在平面直角坐标系中，设二次函