直方图精讲精练全.docx
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直方图精讲精练全
直方图巩固练习
【巩固练习】
一、选择题
1．为了绘出一批数据的频率分布直方图，首先计算出这批数据的变动范围是指数据的（）.A．最大值B．最小值C．最大值与最小值的差D．个数
2．在频数分布直方图中，各小矩形的面积等于（）.
A．相应各组的频数B．组数C．相应各组的频率D．组距
3．已知一组数据有80个，其中最大值为140，最小值为40，取组距为10，则可分成（）.
A．10组B．9组C．8组D．7组
4．某班50名学生期末考
试数学成绩的频数分布直方图如图所示，对图中提供的信息作出如下判断：
①成绩在50～60分段的人数与90～100分段的人数相等；
②从左到右数，第4小组的频率是0.03；
③成绩在80分以上的学生有20人；
④及格率为90%．
其中正确的判断有（）.
A．4个
B．3个C．2个D．1个
5．在样本频数分布直方图中，有11个小长方形．若中间的小长方形的面积等于其他10个小长方形面积之和的
，且样本容量为160个，则中间的一组的频数为（）.
A．0.2B．32C．0.25D．40
6.（2011·台湾全区）如图所示为某校782名学生小考成绩的次数分配直方图，若下列有一选项为下图成绩的累积次数分配直方图，则此图为（）.
7．有40个数据，其中最大值为35，最小值为15，若取组距为4，则应该分的组数是（）.
A．4B．5C．6D．7
8．（浙江金华）学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是（
）.
A．0.1B．0.15C．0.25
D．0.3
二、填空题
9．已知样本容量是40，在样本的频数分布直方图中各小矩形的高之比依次为3:
2:
4:
1，则第二小组的频数为________，第四小组的频数为________．
10．一个
样本有20个数据：
35313335.37393538403936343537363234353634．在列频数分布表时，如果组距为2，那么应分成________组，36立在第________组中．
11．超速行驶是交通事故频发的主要原因之一．交警部门统计某日7：
00～9：
00经过高速公路某测速点的汽车的速度，得到如下频数分布折线图，若该路段汽车限速为110km/h，则超速行驶的汽车有80辆．
12.某单位职工的年龄（取正整数）的频数分布直方图如图所示，根据图中提供的信息，进行填空．
（1）该单位职工共有________人；
（2）不小于38岁但小于44岁的职工人数占职工总人数的百分率是________．
13．某市内有一条主干路段，为了使行车安全同时也能增加车流量，规定通过该路段的汽车时速不得低于40km/h，也不得超过70km/h，否则视为违规扣分．某天有1000辆汽车经过了该路段，经过雷达测速得到这些汽车行驶时速的频率分布直方图如图所示，则违规扣分的汽车大约为160辆．
14．某校为了了解某个年级的学习情况，在这个年级抽取了50名学生，对某学科进行测试，将所得成绩（成绩均为整数）整理后，
列出表格：
分组]
50～59分
60～69分
70～79分
80～89分
90～99分
频率
0.04
0.04
0.16
0.34
0.42
（1）本次测试90分以上的人数有________人；（包括90分）
（2）本次测试这50名学生成绩的及格率是________；（60分以上为及格，包括60分）
（3）这个年级此学科的学习情况如何？
请在下列三个选项中，选一个填在题后的横线上________．
A．好B．一般C．不好
三、解答题
15．为了了解中学生的体能状况，某校抽取了50名学生进行1分钟跳绳测试，将所得数据整理后，分成5组绘成了频数分布直方图，如图（图中数据含最低值不含最高值）．其中前4个小组的频率依次为0.04，0.12，0.4，0.28．
（1）第4组的频数是多少？
（2）第5组的频率是多少？
（3）哪一组的频数最大？
（4）补全统计图，并绘出频数分布折线图．
16．为检查某工厂所产8万台电扇的质量，抽查了其中40台，这40台电扇的无故障连续使用时限如下：
（单位：
h）
248256232243188278286292
308312274296288302295208
314290281298228287217329
283327272264307257
268278
266289312198204254244278
（1）以组距20h列出样本的频数分布表，并画出频数分布直方图；
（2）估计8万台电扇中有多少台无故障连续使用时限会不少于288h？
（3）样本的平均无故障连续使用时限是多少？
（4）如果电扇的无故障正常（非连续）使用时限是无故障连续使用时限的8倍，那么这些电扇的正常使用寿命为多少小时？
（精确到1h）
17．（甘肃兰州）今年起，兰州市将体育考试正式纳入中考考查科目之一，其等级作为考生录取的重要依据之一．某中学为了了解学生体育活动情况，随即调查了720名初二学生，调查内容是：
“每
天锻炼是否超过1小时及未超过1小时的原因”，利用所得的数据制成了扇形
统计图和频数分布直方图．根据下图所示，解答下列问题：
（1）若在被调查的学生中随机选出一名学生测试体育成绩，选出的是“每天锻炼超过1小时”的学生的概率是多少?
（2）“没时间”锻炼的人数是多少？
并补全频数分布直方图；
（3）2011年兰州市区初二学生约为2.4万人，按此调查，可以估计2011年兰州区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有多少万人?
（4）请根据以上结论谈谈你的看法．
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】C；
【解析】频率直方图是按照数据从小到大的顺序排列，包括所有
的数据，即数据的变化范
围是指数据的最大值和最小值的差．
2.【答案】A；
【解析】频数直方图中纵坐标表示的是频数，则小长方形的高为频数
，小长方形的面积＝
．
3.【答案】A；
【解析】据组数=（最大值-最小值）÷组距计算，注意小数部分要进位．
4.【答案】B；
【解析】正确的是①③④．
5.【答案】B；
【解析】根据在频数直方图中，某一组相应的小长方形的面积与直方图中所有小矩形面积的比值即这小组的频率，求得中间一个长方形对应的频率后，再由频数、频率、总数的关系求解．
6.【答案】A；
【解析】将一个变量的不同等级的相对频数用矩形块标绘的图表（每一矩形的面积对应于频数）．因为本题求哪个是成绩的累积次数分配直方图，故累计次数作为纵坐标．.
7.【答案】B；
【解析】
.
8.【答案】D；
【解析】根据频率＝
.
二、填空题
9．【答案】8，4；
【解析】频数分布直方图中，各个长方形的高之比依次为3：
2：
4：
1，则指
各组频数之比为3：
2：
4：
1，据此即可求出第二小组的频数第四小组的频数.
10.【答案】53；
11.【答案】80；
【解析】根据图中的信息，找到符合条件的数据，再进一步计算．．
12.【答案】
（1）50
（2）58％；
【解析】正确
读图是做题的关键．
13.【答案】160；
【解析】由频率分布直方图看出，时速低于40km/h，或超过70km/h车辆的频率，从而可按此比例求出违规扣分的车辆数．
14.【答案】
（1）21；
（2）96％；（3）A．
【解析】
（1）0.42×50＝21．
（2）1－0.04－0.96＝96％．（3）理由是优秀率和及格率都很高．
三、解答题
15.【解析】
解：
（1）第4组的频数是0.28×50＝14．
（2）第5组频率为1-
0.04-0.12-0.4-0.28＝0.16．
（3）170～180这一组频数最大．
（4）补全统计图略．
频数分布折线图如图．
16.【解析】
解：
（1）频数分布表如下：
频数分布直方图如图
（2）因为这40台中不少于288h的有9+5+1＝15（台），
所以8万台电扇中不少于288h的有
（万台）．
（3）平均无故障连续使用时限为
（h）．
（4）电扇的正常寿命为271.3×8≈2170（h）．
17.【解析】
解：
（1）
；
（2）
；
（3）
（万人）；
所以估计2011年兰州区初二学生中每天锻炼未超过1小时的学生约有1.8万人．
（4）要重视体育锻炼；要抽时间参加体育锻炼；等等．（符合题意即可）．
直方图知识讲解
【学习目标】
1.会制作频数分布表，理解频数分布表的意义和作用；
2.会画频数分布直方图，理解频数分布直方图的意义和作用.
【要点梳理】
要点一、组距、频数与频数分布表的概念
1．组距：
每个小组的两个端点之间的距离（组内数据的取值范围）．
2．频数：
落在各小组内数据的个数．
3．频数分布表：
把各个类别及其对应的频数用表格的形式表示出来，所得表格就是频数分布表．
要点诠释：
（1）求频数分布表的一般步骤：
①计算最大值与最小值的差；②决定组距和组数；
③确定分点；④列频数分布表；
（2）频数之和等于样本容量．
（3）频数分布表能清楚、确切地反映一组数据的大小分布情况，将一批数据分组，一般数据越多，分的组也越多，当数据在100个以内时，按数据的多少，常分成5～12组，在分组时，要灵活确定组距，使所分组数合适，一般组数为
的整数部分+1．
要点二、频数分布直方图
1．频数分布直方图：
是以小长方形的面积来反映数据落在各个小组内的频数的大小，直方图由横轴、纵轴、条形图三部分组成．
（1）横轴：
直方图的横轴表示分组的情况（数据分组）；
（2）纵轴：
直方图的纵轴表示频数；
（3）条形图：
直方图的主体部分是条形图，每一条是立于横轴之上的一个长方形、底边长是这个组的组距，高为频数．
2．作直方图的步骤：
（1）
计算最大值与最小值的差；
（2）决定组距与组数；
（3）列频数分布表；
（4）画频数分布直方图．
要点诠释：
（1）频数分布直方图简称直方图，它是条形统计图的一种．
（2）频数分布直方图用小长方形的面积来表示各组的频数分布，对于等距分组的数据，可以用小长方形的高直接表示频数的分布．
【高清课堂：
数据的描述369923直方图和条形图的联系与区别：
】
3.直方图和条形图的联系与区别：
（1）联系：
它们都是用矩形来表示数据分布情况的；当矩形的宽度相等时，都是用矩形的高来表示数据分布情况的；
（2）区别：
由于分组数据具有连续性，直方图中各矩形之间通常是连续排列，中间没有空隙，而条形图中各矩形
是分开排列，中间有一定的间隔；直方图是用面积表示各组频数的多少，而条形图是用矩形的高表示频数.
要点三、频数分布折线图
频数分布折线图的制作一般都是在频数分布直方图的基础上得到的，具体步骤是：
首先取直方图中每一个长方形上边的中点；然后再在横轴上取两个频数为0的点（直方图最左及最右两边各取一个，它们分别与直方图左右相距半个组距）；最后再将这些点用线段依次连接起来，就得到了频数分布折线图．
【典型例题】
类型一、组距、频数与频数分布表的概念
1.
（1）对某班50名学生的数学成绩进行统计，90～99分的人数有10名，这一分数段的频数为_____．
（2）有60个数据，其中最小值为140，最大值为186，若取组距为5，则应该分的组数是________．
【答案】
（1）10
（2）10.
【解析】
解：
（1）利用频数的定义进行分析；
（2）利用组数的计算方法求解．
【总结升华】组数的确定方法是，
设数据总数目为n，一般地，当n≤50时，则分为5～8组；当50≤n<100．则分为8～12组较为合适，组数等于最大值与最小值的差除以组距所得商的整数部分加1．
举一反三：
【变式】有一个样本容量为20的样本，其数据如下：
29，
42，58，37，53，52，49，24，37，45，42，55，40，38，50，26，54，26，44，32．根据以上数据填写下表：
分组
频数累计
频数
频率
21～30
31～40
41～50
51～60
合计1
【答案】
解：
如下表：
分组
频数累计
频数
频率
21～30
4
0.20
31～40
正
5
0.25
41～50
正一
6
0.30
51～60
正
5
0.25
合计1
20
1.00
类型二、频数分布表或直方图
2.某地区对其所属中学八年级的英语教学情况进行期末质量调查，从中抽出的20个班级的英语期末平均成绩如下（单位：
分）：
80818379647680667072
71686978678068727065
试列出频数分布表并绘出频数分布直方图．
【思路点拨】按照作直方图的四个步骤进行解答．解答时，应注意每个步骤中需要注意的事项．
【答案与解析】
解：
（1）计算最大值与最小值的差：
83－64＝19（分）．
（2）决定组距与组数：
若取组距为4分，则有
≈5，所以组数为5．
（3）列频数分布表：
（4）画出频数分布直方图．如图所示．
【总结升华】按步骤进行操作．因选取的组距不同，所列的频数分布表及直方图也不一样，在统计时，数据不能出现重复或遗漏的现象．
【高清课堂：
数据的描述369923例1】
举一反三：
【变式】如图是某校九年级部分男生做俯卧撑的成绩（次数）进行整理后，分成五组，画出的频率分布直方图，已知从左到右前4个小组的频率分别是0.05，0.15，0.25，0.30，第五小组的频数为25，若合格成绩为20,那么此次统计的样本容量和本次测试的合格率分别是（）．
A．100，55%B．100，80%C．75，55%D．75，80%
【答案】B.
类型三、频数分布折线图
3.
抽样检查40个工件的长度，收集到如下一组数据（单位：
cm）：
23.2623.2723.5223.5123.4323.4223.5423.5523.66
23.6723.3123.3023.2723.2823.41
23.4023.5523.56
23.4423.4323.3823.3923.6323.6423.5423.5623.46
23.4423.4823.4623.5023.5323.5523.4623.4423.45
23.4723.4923.5023.46
试列出这组数据的频数分布表．画出频数分布直方图和频数折线圈．
【思路点拨】利用频数分布直方图画频数折线图时，折线图的两个端点要与横轴相交，其方法是在直方图的左右两边各延伸一个假想组，并将频数折线两端连接到轴两端假想组的组中点，就形成了频数折线图．
【答案与解析】
解：
列频数分布表如下：
根据上表，画出频数分布直方图；连接各小长方形上面一条边的中点及横轴上距直方图左右相距半个组距的两个频数为0的点得到频数折线图（如图所示）．
【总结升华】本例分组采用了“每组端点比数据多一位小数”，即第一组的起点比数据的最小值再小一点的方法．体会这种分组方法的优势，对我们今后的学习很有帮助．
类型四、综合应用
4.低碳发展是今年深圳市政府工作报告提出的发展理念，近期，某区与某技术支持单位合作，组织策划了该区“低碳先锋行动”，开展低碳测量和排行活动，根据调查数据制作了频数分布直方图（每组均含最小值，不含有最大值）和扇形统计图，下图中从左到右各长方形的高度之比为2:
8:
9:
7:
3:
1．
（1）已知碳排放值5≤x＜7（千克/平方米·月）的单位有16个，则此次行动共调查了________个单位；
（2）在图②中，碳排放值5≤x＜7（千克/平
方米·月）部分的圆心角为_________度；
（3）小明把图②中碳排放值1≤x＜2的都看成1.5，
碳排放值2≤x＜3的都看成2.5，依此类推，若每个被检查单位的建筑面积均为10000平方米，则按小明的办法，可估算碳排放值x≥4（千克/平方米·月）的被检单位一个月的碳排放总值约为________吨．
【思路点拨】
（1）先算出碳排放值在5≤x＜7范围内所对应的比例，再求
一共调查了多少个单位；
（2）由碳
排放值在5≤x＜7范围内所占的比例，可计算出圆心角度数；
（3）先计算碳排放值4≤x＜5的单位、碳排放值5≤x＜6的单位，碳排放值6≤x＜7的单位个数，再算出碳排放值x≥4（千克/平方米·月）的被检单位一个月的碳排放总值．
【答案与解析】
解：
（1）16÷
＝120（个），故填120；
（2）4÷30×360°＝48°，故填48；
（3）碳排放值x≥4（千
克／平方米·月）的被检单位是第4，5，6组，分别有28个、12个、4个单位，10000×（28×4.5+12×5.5+4×6.5）÷1000＝10×（126+66+26）＝2180（吨）．
所以，碳排放值x≥4（千克／平方米·月）的被检单位一个月的碳排放总值约为2180吨．
【总结升华】解答本题的关键是将直方图提供的信息转化为频数分布表．这种“转化”过程对解题大有帮助，值得学习和借鉴．
举一反三：
【变式】（山东德州）2011年5月9日至14日，德州市订共有35000余名学生参加中考体育测试，为了了解九年级男生立定跳远的成绩，从某校随机抽取了50名男生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格（分别用A、B、C、D表示）四个等级进行统计，并绘制成下面的扇形图和统计表：
请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：
（1）m＝________，n＝________
，x＝________，y＝________；
（2）在扇形图中，C等级所对应的圆心角是_______
_度；
（3）如果该校九年级共有500名男生参加了立定跳远测试，那么请你估计这些男生成绩等级达到优秀和良好的共有多少人?
【答案】
解：
（1）20，8，0．4，0.16；
（2）57.6；
（3）由上表可知达到优秀和良好的共有19+20＝39（人），500×
（人）．
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