第三十三章概率的计算和估计教材分析.docx

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第三十三章概率的计算和估计教材分析

一、教学目标

1．在具体情境中理解概率的意义，能利用表格或树形图有条理地表示实验的可能结果，会求简单事件的概率．

2．通过实验，能获得事件发生的频率；根据频率的稳定性，会用频率估计事件的概率．

3．经历直观猜想、设计简单的实验、获得事件的频率、根据频率验证猜想的过程，能用摸球或用计算器模拟一些简单实验．

4．通过大量实例进一步丰富对概率的认识，并能解决一些实际问题．

二、教科书设计说明

1．本章的内容及其地位和作用．

本章是在第十九章的基础上，进一步学习用表格或树形图求简单事件概率的方法．通过设计模拟实验了解事件发生的频率，对事件发生的概率作出估计，为进一步学习统计与概率的知识和方法奠定基础．

2．本章内容在设计上突出了以下特点：

本章的问题情境有两类：

第一类是学生比较感兴趣的摸球实验或游戏，如掷均匀的四面体或六面体骰子，转盘游戏，闯关游戏等；第二类是具有一定实际意义的问题，如抽签问题，调查出生月份等．这些问题大多数可以在实验结果等可能的假定下，直接计算事件发生的概率．但有些随机事件，或者概率计算过于复杂，或者不能直接计算概率，通常要进行重复实验，用事件发生的频率来估计概率．

计算简单事件的概率，关键是明确实验的所有可能结果是什么，并判断这些结果是否等可能发生，计算所有可能结果的总数以及事件包含的结果数．利用表格和图形有条理地列举实验结果，便于进行概率计算．有些问题很难进行实际调查或实验，可以利用号码球（卡片）或用计算器模拟实验．

从研究方法上，多采用合情推理．鼓励学生对事件发生的概率进行直观猜想，然后直接计算概率或通过重复实验用频率估计概率，验证猜想的合理性．这样有利于激发学生的学习兴趣，引起数学思考．

从内容的展现方式上，对于概率的计算问题，突出利用表格或图形等多种方式表示或列举实验结果．根据问题的引导，经历观察思考、一起探究、相互交流、归纳和概括的过程，形成解决问题的一般策略．对于概率的估计，大多以提出问题，引导学生进行直观猜想，通过设计模拟实验，收集并整理实验数据，获得事件发生的频率，用频率来估计概率的模式展开．然后让学生交流，表达自己的观点，消除一些错误的认识，形成正确的经验．

三、教学活动的建议

1．对于用列举法计算概率的教学，重在引导学生经历探索的过程，包括用适当方法表示实验结果，列举所有的实验结果，判断实验结果的等可能性，正确地计数并求出概率．通过设计大量学生熟悉而有趣的问题，让学生充分观察思考和讨论交流，发现规律，形成解决问题的策略．在这个过程中，使学生进一步丰富对概率的背景的认识，理解概率的意义．

2．对于由两个分实验构成的实验，可以借助树形图列举实验的所有可能结果，在等可能的条件下计算事件的概率，也可以借助树形图利用乘积求某些事件的概率．在教学中，要结合具体问题，引导学生在观察与思考的基础上发现一般规律，理解用这种方法求概率的合理性．

3．对于概率的估计的教学，重点是根据现有条件设计适当的模拟实验．课前要准备好实验材料，有的实验可以让学生在课前进行．课堂上要精心组织好分组实验、汇总数据、统计分析和学生交流．在活动过程中，让学生体会用频率估计概率的思想．

四、课时安排建议

33.1用列举法求概率2课时

33.2概率树形图2课时

33.3概率的估计1课时

33.4几何概率1课时

回顾与反思1课时

合计7课时

五、评价建议

1．知识与技能的评价．

要结合实际背景和解决问题的过程，关注学生对概率意义的理解及在理解基础上的应用．关注学生能否用字母、符号、表格和图形等清晰地表达求事件的概率的过程．

2．数学思考的评价．

对于学生发现问题、思考问题能力的评价，要关注学生在学习活动过程中能否积极进行独立思考；能否从不同角度提出问题、发现规律而形成猜想，并有意识地直接计算或设计实验验证自己发现的规律．

3．情感与态度的评价．

关注学生能否清晰条理地与同学进行交流．了解学生直观经验的合理性与局限性，关注学生能否通过活动澄清一些认识．

33.1用列举法求概率教材说明

本节主要内容是利用表格和图形列举实验的可能结果，求事件的概率，选取的问题情景都是学生比较感兴趣的实验或游戏。

教学中不能忽视试验的作用，因为，要使学生真正理解概率的意义就必须重视概率实验。

教学时重在让学生经历观察思考、一起探究、相互交流的过程，包括用适当方法表示实验结果，列举所有的实验结果，判断实验结果的等可能性，正确计数并求出概率。

重点：

掌握用列表法求简单事件概率的方法。

难点：

了解概率的意义，探究抽签的公平性问题。

教学目标

知识与技能：

1．对于一些简单的问题，学会通过列举举出所有机会均等的结果以及其中所关注的结果，求出某一事件的概率。

2．会利用表格、图形表示实验的所有可能结果。

过程与方法：

小组讨论探究如何画出适当的表格，列举出事件的所有等可能结果，从而正确求出某事件发生的概率。

情感态度价值观：

通过用列举法求事件的概率，培养合作意识，形成缜密的思维习惯。

33.1用列举法求概率教学建议

第一课时

本节课在所有试验结果可能的条件下，学习利用表格条理地表示试验结果，求简单事件的概率。

本节课的重点是：

要求学生能理解掷一个四面体有4个等可能的结果，从而掷两次四面体有4×4=16个等可能的结果。

拥有序数对并列表表示所有可能的结果，正确计算两个数的和分别为2，3，…，8所包含的结果数，从而计算相关的概率。

关于“一起探究”的教学，建议根据提出的问题先让学生分组讨论，相互交流，理清解决问题的方法步骤，教师给予适当的概括。

让学生通过例题的学习，规范解题过程。

在本节课“一起探究”和例1的内容中，求事件概率的一般步骤为：

用数对表示试验结果，列表条理地表示试验的所有可能结果，判断所有试验结果的等可能性，计算所有可能结果的个数及各事件包含的可能结果数，求出相应实践的概率。

关于“做一做”，先让学生独立完成，然后交流求这些事件的概率的方法。

如，利用实验结果表，和为偶数包含8个可能结果，概率为

；还可以利用已有结论：

和为偶数的概率等于和为2，4，6，8对应的概率纸盒，即

。

第二课时

本节课难点是探究抽签的公平性问题，对于该问题有三种观点：

①先抽者有利（中奖概率大）；②后抽者中奖概率大；③先抽后抽中奖概率相同。

首先让学生凭已有经验对三种观点展开讨论，充分展示学生的各种认识。

在现有的知识水平下，学生很难说清理由，教师要适当控制局面，不要争论不休。

带着这些疑惑进行下面的环节：

1．“一起探究”的过程，就是按照一定的步骤求每个人中奖的概率的过程。

建议以学生独立思考、小组交流、师生共同归纳概括的方式进行。

目的是让学生了解概率的一般方法步骤，积累经验，澄清错误的认识，进一步理解概率的意义。

其中的难点是不重不漏地列举实验的所有可能结果，对此可以借助于图形的帮助。

2．关于例题的教学，应根据学生的实际情况，尽可能让学生试着完成，然后教师可以提出如下思考问题让学生讨论交流。

①对解法1能用图形列举试验的所有可能结果吗？

②如果不考虑按按钮的顺序，6个结果为什么也是等可能发生的？

③两种解法中，哪种解法容易理解，哪种解法比较简便？

按第一按钮时有4种选择，按第二按钮时有3种选择，所以共有4×3=12个等可能结果。

从两种解法所列的可能结果看，有如下的对应关系：

考虑顺序的结果

1221

1331

1441

2332

2442

3443

不考虑顺序的结果

所以不考虑顺序时的6个结果也是等可能发生的。

解法1容易理解，当实验结果较多时解法2要简便些。

33.1用列举法求概率教学设计

教学设计思想

本节主要内容是利用表格和图形列举实验的可能结果，求事件的概率，选取的问题情景都是学生比较感兴趣的实验或游戏。

教学中不能忽视试验的作用，因为，要使学生真正理解概率的意义就必须重视概率实验。

教学目标

知识与技能：

1．对于一些简单的问题，学会通过列举举出所有机会均等的结果以及其中所关注的结果，求出某一事件的概率。

2．会利用表格、图形表示实验的所有可能结果。

过程与方法：

小组讨论探究如何画出适当的表格，列举出事件的所有等可能结果，从而正确求出某事件发生的概率。

情感态度价值观：

通过用列举法求事件的概率，培养合作意识，形成缜密的思维习惯。

教学重难点

重点：

掌握用列表法求简单事件概率的方法

难点：

了解概率的意义，探究抽签的公平性问题

教学方法

合作探究

教学媒体

多媒体、正四面体

课时安排

2课时

教学过程设计

第一课时：

一、观察与思考

一个质地均匀的正四面体（四个面都是等边三角形），四个面上分别标有数字1，2，3，4。

投掷这个四面体，观察地面上的数字。

请大家独立思考：

投掷一次，可能结果是什么？

它们出现的可能性相同吗？

概率各是多大？

学生回答：

掷一次四面体，底面上的数可能是1，2，3，4，它们出现的可能性大小相同，其概率都是

。

二、一起探究

探究1：

如果投掷投掷两次，共有多少种可能结果？

老师引导：

如果用（a，b）表示两次投掷的结果，其中a是第一次投出的数，b是第二次投出的数，那么，a和b分别可能是什么？

将所有可能结果用表格表示

学生活动：

分组讨论，相互交流

解决：

因为每掷一次四面体，都有4个等可能的结果，投掷两次四面体共有4×4=16个等可能的结果。

（1，1）

（1，2）

（1，3）

（1，4）

（2，1）

（2，2）

（2，3）

（2，4）

（3，1）

（3，2）

（3，3）

（3，4）

（4，1）

（4，2）

（4，3）

（4，4）

探究2：

将每种结果出现的两个数求和，共有多少个不同的和？

用表格列出

学生活动：

小组探究

探究3：

观察表格，两数和是4的概率为多少？

学生独立思考，教师给予适当指导。

解决：

从表中可以看出，投掷两次，“两个数的和是4”共有3个等可能的结果，分别为（1，3），（2，2），（3，1），所以

P（两个数的和为4）=

探究4如何计算两个数的和分别为2，3…，8的概率？

填写下表

两个数的和

可能结果数

对应概率

学生独自求解，然后小组交流，形成共识，老师点评。

探究5在上面的问题中，求两次投掷得到的两个数的和是3的倍数的概率。

学生思考，老师讲解，规范解题步骤

解：

设A=“两个数的和为3的倍数”，在2，3，…，8中，是3的整倍数的数只有3，6。

和为3的实验结果是（1，2），（2，1）；和为6的实验结果是（2，4），（3，3），（4，2）。

事件A包含了5个等可能的结果，所以

P（A）=

总结求事件概率的一般步骤：

用数对表示试验结果，列表条理地表示试验的所有可能结果，判断所有试验结果的等可能性，计算所有可能结果的个数及各事件包含的可能结果数，求出相应事件的概率。

三、做一做

在上面问题中，求下列事件的概率。

（1）两个数的和是偶数；

（2）两个数的和是奇数；（3）两个数的和大于5；（4）两个数相同；（5）两个数不同。

学生活动：

独立完成，然后交流求这些事件的概率的方法。

四、练习

将四个面分别标有1，2，3，4的正四面体连续投掷两次，用两次投掷得到的底面上的数按投掷顺序组成一个两位数（第一次投出的数位十位数，第二次投出的数为个位数），求下列事件的概率：

（1）两位数是偶数

（2）两位数是奇数

（3）两位数的个位数和十位数相同。

五、小结

通过这节课我们可以知道求简单事件A的概率，首先要知道实验共有多少个等可能结果，以及事件A包含的可能结果的个数。

用各种表格、图形表示实验所有可能结果会给计算概率带来方便。

六、作业

课本P1641，2，3

七、板书设计

用列举法求概率

掷四面体探究3例题做一做练习

探究1

探究2探究4

第二课时：

一、情景引入

我们一起做个小游戏：

今天那个组做值日呢？

我们不按值日表，而是抽签决定。

然后把全部同学分成3组，然后每组选一个代表上台。

取3张大小相同并分别标有数字1，2，3的卡片，充分混合后扣到桌子上，按甲、乙、丙的顺序，每人分别从中任意抽取一张，规定取到1号卡片的人该小组值日。

游戏完毕后让学生提问：

抽到“幸运签”的概率与他们抽签的顺序有关吗？

学生畅所欲言，说出3种观点：

①先抽者有利（先发制人）；

②后抽者中奖概率大；（后发而制人）

③先抽后抽中奖概率相同。

学生凭已有经验对三种观点展开讨论，充分展示学生的各种认识。

下面我们一起用科学的知识来解决这个问题。

二、一起探究

探究1首先大家列出三人按先后顺序抽签的所有可能结果，一共有几种？

这些结果出现的可能性相同吗？

学生小组讨论，列出6种等可能的结果。

探究2甲、乙、丙抽到1号卡片各有多少中可能结果？

学生独自思考，从图形很容易看出甲乙、丙抽到1号卡片均有两种可能结果。

探究3大家计算P（甲中奖）=_________；P（乙中奖）=_________；P（丙中奖）=_________；

探究4仍是三个人参加抽签，但奖品改为2份，并规定抽到1号或2号卡片的可以中奖，那么每个人中奖的概率各是多大？

学生先独立思考，然后小组交流，通过此题，进一步掌握求概率的一般方法步骤，积累经验，澄清错误的认识，理解概率的意义。

通过刚才的一起探究，我们可以知道抽签是一种简单公平的活动，无论谁先谁后，抽到某一签的概率是相同的。

三、做一做

例题（闯关游戏）四个开关按钮中有两个各控制一盏灯，另两个按钮控制一个发音装置。

当连续按对两个按钮点亮两盏灯时，闯关成功，而只要按错一个按钮就会发出“闯关失败”的声音，求闯关成功的概率。

解法一（略）

解法二（略，见课本P166）

四、练习

1．如果三个开关按钮中有两个各控制一盏灯，那么连续按两个按钮，能点亮两盏灯的概率是多大？

2．如果四个开关按钮中有三个各控制一盏灯，那么连续按三个按钮，能点亮三盏灯的概率是多大？

五、小结

通过这节课的学习你有什么收获呢？

六、作业

课本P1671，2，3

板书设计

用列举法求概率

抽签概率例2练习

33.2概率树形图教材说明

对于由两个分实验构成的实验，可以借助树形图列举实验的所有可能结果，在等可能的条件下计算事件的概率，也可以借助树形图利用乘积求某些事件的概率。

在教学时老师做好引导工作，结合具体问题，首先让学生通过独立思考、小组交流，然后老师引导学生发现规律，形成解决问题的策略，理解这种方法求概率的合理性。

重点：

用树形图计算简单事件的概率。

难点：

能读懂图形信息，计算简单事件的概率。

教学目标

知识与技能：

对于一些简单的问题，学会用树形图，列出所有等机会的结果，从而求出所关注的事件发生的概率。

过程与方法：

小组探究，探究用树形图列举事件的所有等可能结果的方法。

情感态度价值观：

通过用树形图求某事件概率，养成合作意识和探索精神，在学习中感悟数学在现实生活中的应用。

33.2概率树形图教学建议

第一课时：

本节提出的转盘游戏是否公平的问题转化为数学问题就是：

“两个数的和为偶数”的概率与“两个数的和是奇数”的概率是否相等。

先用列表的方式求概率，然后探究如何结合组树形图计算概率。

1．对于学生较熟悉的列表法求概率，教师可以提出如下问题：

①如何说明游戏是公平的？

②实验共有多少个可能结果？

这些可能结果是等可能发生的吗？

③事件“两个数的和为偶数”和“两个数的和为奇数”各包含几个可能结果？

④如何计算上述两个事件的概率？

这些问题可在教师的引导下，由学生完成。

引导学生观察树形图33—4，回答上面的问题①②③④。

体会用树形图表示实验结果的优点，当实验结果较多时，用树形图表示实验结果就不太方便，可转向探究如何用图33—5这样的图形计算有关概率。

用33—5求概率有一定的难度，所以在图形中给出了全部信息。

建议让学生结合提出的问题，读懂图形所表达的信息，在和同学交流的基础上，发表自己的观点，然后师生共同归纳概括。

通过对比要使学生认识到这种解题方法的合理性，对此，只要求学生掌握一般方法步骤即可。

2．关于“做一做”的教学，应让学生独立完成。

只需注意：

奇×奇=奇，奇×偶=偶，偶×奇=偶，偶×偶=偶。

3．注意事项：

对得到的两个数，若只考虑和的奇偶性，则树形图有4个分支，每个分支对应的一种结果，每个结果的概率是一个乘积。

此处实际上用到了“两个独立事件乘积的概率等于两个事件概率的乘积”这个事实，和为偶数（奇数）的概率是对应两个分支的概率之和，对此，只要求学生能接受计算方法的合理性即可。

第二课时：

本节提供了猜3道题的答案和钉板游戏问题都是三次重复实验模型。

表示结果的树形图有3层。

由于有了上节课的活动经验，相信大多数学生能独立完成探索过程。

1．对于“一起探究”的教学，建议在明确问题的条件和要求下，先由学生独立思考探究，遇到困难可以和同学进行交流，教师根据情况作适当的引导，然后选代表表达他们的探索过程和结论，最后教师作归纳总结。

用列表的方法解决探究问题2，可帮助理解用乘积求概率的合理性。

设每道题的4个选择答案分别用代号a，b，c，d表示，不妨设每道题的正确答案都是a，连续猜两道题，有4×4=16个等可能的结果，所有可能结果及AA，AB，BA，BB的概率如下面表格所示。

事件

结果数

概率

2．关于例题的教学，要引导学生结合树形图思考以下问题：

①小球下落的不同路径有几条？

②沿每条路径小球落在哪个格子内？

③每条路径对应一个结果，这些结果是不是等可能发生的？

④小球落在1号、2号、3号、4号格子内有几条路径？

然后让学生理清解题思路的合理性。

33.2概率树形图教学设计

教学设计思想

教学目标

知识与技能：

对于一些简单的问题，学会用树形图，列出所有等机会的结果，从而求出所关注的事件发生的概率。

过程与方法：

小组探究，探究用树形图列举事件的所有等可能结果的方法。

情感态度价值观：

通过用树形图求某事件概率，养成合作意识和探索精神，在学习中感悟数学在现实生活中的应用。

教学重难点

重点：

用树形图计算简单事件的概率

难点：

能读懂图形信息，计算简单事件的概率

教学方法

合作探究

教学媒体

多媒体

课时安排

2课时

教学过程设计

第一课时：

一、情景引入

上节课我们学习了用列表法求事件的概率，下面我们就一起来看这道题。

出示题目：

如图，有两个可以转动的圆盘，圆盘

（1）被等分成3个扇形，圆盘

（2）被等分成4个扇形，小明和小亮利用转盘做游戏。

同时转动两个圆盘，等停下时，按圆盘

（1）和圆盘

（2）上指针指向区域的标示得到两个数。

规定：

若两个数的和为奇数，则小明胜；若两数的和为偶数，则小亮胜。

你认为这个游戏公平吗？

提问：

①如何说明游戏是公平的？

②实验共有多少个可能结果？

这些可能结果是等可能发生的吗？

③事件“两个数的和为偶数”和“两个数的和为奇数”各包含几个可能结果？

④如何计算上述两个事件的概率？

学生活动：

独立思考，根据老师的提示回答问题，逐步分析题意，用表格表示出所有可能结果，并求解。

现在，我们利用表格清楚地表示了实验的所有可能结果，并分别计算出两数的和为偶数、两数的和为奇数的概率，还有更简便些的方法求解么？

这节课我们就来一起研究一下。

（板书：

概率树形图）。

二、一起探究

探究1我们一起来看小明的设计：

仔细观察上图，回答下面问题：

①实验共有多少个可能结果？

这些可能结果是等可能发生的吗？

②事件“两个数的和为偶数”和“两个数的和为奇数”各包含几个可能结果？

③如何计算上述两个事件的概率？

学生对立思考，通过观察图形很快回答出上面问题，体会用树形图表示实验结果的优点。

探究2结合上面图形探讨下列问题

①圆盘

（1）出现奇数和偶数的概率各是多大？

圆盘

（2）出现奇数和偶数的概率各是多大？

②两个圆盘上指针指向的数分别为“奇奇”“奇偶”“偶奇”“偶偶”的概率各是多大？

③两个数的和是奇数和偶数的概率可以分别怎样计算？

探究3当实验结果较多时，用这种图形表示实验的结果就不太方便，请同学们观察下图

试对比两个图的异同，说明各自的优缺点。

学生活动：

小组交流，发表自己的观点

像上面这样的图形叫做树形图（treediagram）。

树形图可以清楚地表示实验结果，辩护计算结果总数。

三、做一做

转动引例中的两个圆盘，得到两个数。

用树形图计算：

P（积为奇数）=_____________,P（积为偶数）=_____________

学生活动：

独立完成

四、练习

课本P170

五、小结

通过这节课的学习，你们有什么收获？

六、作业

课本P1701，2，3

七、板书设计

概率树形图

引例树形图1树形图2做一做练习

法一（表格法）

第二课时：

一、情景引入

提问：

我们学习了计算概率的哪些方法？

请看着得到题目：

有3道竞猜题，每题的四个选项答案中只有一个是正确的。

如果每题任意猜一个答案，那么3道题全部猜对的概率是多大？

二、一起探究

探究1猜第一题的答案时可能猜对，也可能猜错。

用A表示猜对答案，B表示猜错答案，它们的概率各是多大？

学生独立思考，很快得出答案：

猜对的概率为

，猜错的答案概率为

。

探究2连续猜2道题的答案有几种可能结果？

用字母表示这些结果，并求每个可能结果的概率。

（提示：

列表法）

学生活动：

先独立思考，然后小组交流，理解乘积求概率的合理性。

探究3连续猜3道题，下图给出了所有可能结果及每个结果对应的概率。

这些概率是怎样计算的？

小组合作交流，老师做适当引导。

探究4将所有可能结果按猜对题的个数分类，计算下列事件的概率，并填表。

事件

全没有猜对

猜对1道题

猜对2道题

全部猜对

概率

利用你发现的规律，计算有10道四选一的选择题时全部选对的概率。

这个概率比百万分之一小吗？

学生独立思考，举手回答

探究5利用你发现的规律，计算有10道四选一的选择题时全部选对的概率。

这个概率比百万分之一小吗？

学生活动：

小组交流。

P（10道题全部猜对）=（

）10=

，这个概率小于百万分之一。

最后老师总结：

利用树形图将实验的可能结果像树枝分杈一样一层一层表示，每个分支对应一种可能结果，这

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