第6讲中点四大模型.docx

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第6讲中点四大模型

第6讲中点四大模型

模型1倍长中线或类中线（与中点有关的线段）构造全等三角形

模型分析

如图①，AD是△ABC的中线，延长AD至点E使DE=AD，易证：

△ADC≌△EDB（SAS）。

如图②，D是BC中点，延长FD至点E使DE=FD，易证：

△FDB≌△FDC（SAS）。

当遇见中线或者中点的时候，可以尝试倍长中线或类中线，构造全等三角形，目的是对已知条件中的线段进行转移。

模型实例

例1．如图，已知在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，连接BE并延长AC于点F，AF=EF。

求证：

AC=BE。

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1．如图，在△ABC中，AB=12，AC=20，求BC边上中线AD的范围。

2．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DM⊥DN，如果

。

求证：

。

模型2已知等腰三角形底边中点，可以考虑与顶点连接用“三线合一”

模型分析

等腰三角形中有底边中点时，常作底边的中线，利用等腰三角形“三线合一”的性质得到角相

等或边相等，为解题创造更多的条件，当看见等腰三角形的时候，就应想到：

“边等、角等、三线合一”。

模型实例

例1．如图，在△ABC中，AB=AC-5，BC=6，M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN的长度。

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1．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，AE⊥DE，AF⊥DF，且AE=AF。

求证：

∠EDB=∠FDC。

2．已知Rt△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC、CB（或它们的延长线）于E、F。

（1）当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于E时（如图①），求证：

；

（2）当∠EDF绕点D旋转到DE和AC不垂直时，在图②和图③这两种情况下，上述结论是否成立？

若成立，请给予证明；若不成立，

、

、

又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，不需证明。

模型3已知三角形一边的中点，可以考虑中位线定理

模型分析

在三角形中，如果有中点，可构造三角形的中位线，利用三角形中位线的性质定理：

DE∥BC，且

来解题，中位线定理既有线段之间的位置关系又有数量关系，该模型可以解决相等，线段之间的倍半、相等及平行问题。

模型实例

例1．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N。

求证：

∠BME=∠CNE。

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1．

（1）如图①，BD、CE分别是△ABC的外角平分，过点A作AD⊥BD、

AE⊥CE，垂足分别为D、E，连接DE。

求证：

DE∥BC，

；

（2）如图②，BD、CE分别是△ABC的内角平分，其它条件不变。

上述结论是否成立？

（3）如图③，BD是△ABC的内角平分，CE是△ABC的外角平分，其它条件不变。

DE与BC还平行吗？

它与△ABC三边又有怎样的数量关系？

请写出你的猜想，并对其中一种情况进行证明。

2．问题一：

如图①，在四边形ACBD中，AB与CD相交于点O，AB=CD，E、F分别是BC、AD的中点，连接EF分别交DC、AB于点M、N，判断△OMN的形状，请直接写出结论；

问题二：

如图②，在△ABC中，AC>AB，点D在AC上，AB=CD，E、F分别是BC、

AD的中点，连接EF并延长，与BA的延长线交于点G，若∠EFC=60°，

连接GD，判断△AGD的形状并证明。

模型4已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线

模型分析

在直角三角形中，当遇见斜边中点时，经常会作斜边上的中线，利用直

角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即

，来证明线段间的数量关系，而且可以得到两个等腰三角形：

△ACD和△BCD，该模型经常会与中位线定理一起综合应用。

模型实例

例1．如图，在△ABC中，BE、CF分别为AC、AB上的高，D为BC的中点，

DM⊥EF于点M。

求证：

FM=EM。

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1．如图，在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于点D，M为BC的中点，AB=10。

求DM的长度。

2．已知，△ABD和△ACE都是直角三角形，且∠ABD=∠ACE=90°，连接DE，

M为DE的中点，连接MB、MC。

求证：

MB=MC。

3．问题1：

如图①，△ABC中，点D是AB边的中点，AE⊥BC，BF⊥AC，垂足

分别为点E、F，AE、BF交于点M，连接DE、DF。

若

，则

的值为；

问题2：

如图②，△ABC中，CB=CA，点D是AB边的中点，点M在△ABC内部，且∠MAC=∠MBC。

过点M分别作ME⊥BC，MF⊥AC，垂足分别为点E、F，连接DE、DF。

若DE=DF；

问题3：

如图③，若将上面问题②中的条件“CB=CA”变为“CB≠CA”，其它条件不变，试探究DE与DF之间的数量关系，并证明你的结论。

倍长中线

1.如图，在△ABC中，AB=4，AC=2，点D为BC边的中点，且AD是整数，则AD=________．

2.如图，BD平分∠ABC交AC于D，点E为CD上一点，且AD=DE，EF∥BC交BD于F．求证：

AB=EF．

3.如图，在△ABC中，AB>AC，E为BC边的中点，AD为∠BAC的平分线，过E作AD的平行线，交AB于F，交CA的延长线于G．求证：

BF=CG．

4.如图，△ABC中，D是边BC的中点，E，F分别在AB，AC上，DE⊥DF，试比较BE+CF与EF的大小．

5.如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E在BC上，点F是CD的中点，连接AF，EF，AE，若∠DAF=∠EAF，求证：

AF⊥EF．

截长补短

1.如图，在△ABC中，∠1=∠2，AC=AB+BD．求证：

∠ABC=2∠C．

2.如图，在△ABC中，∠C=2∠B，D是BC边上一点，且AD⊥BC．求证：

AC+CD=BD．

3.如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，∠B+∠D=180°．求证：

AE=AD+BE．

4.如图，在△ABC中，AB>AC，∠1=∠2，P为AD上任意一点．求证：

AB-AC>PB-PC．