六年级奥数圆与扇形完整版.doc
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圆与扇形
考点、热点回顾
五年级已经学习过三角形、矩形、平行四边形、梯形以及由它们形成的组合图形的相关问题,这一讲学习与圆有关的周长、面积等问题。
圆的周长、面积计算公式:
或
半圆的周长、面积计算公式:
扇形的周长、面积:
如无特殊说明,圆周率都取π=3.14。
典型例题:
例1、如下图所示,200米赛跑的起点和终点都在直跑道上,中间的弯道是一个半圆。
已知每条跑道宽1.22米,那么外道的起点在内道起点前面多少米?
(精确到0.01米)
分析与解:
半径越大,周长越长,所以外道的弯道比内道的弯道长,要保证内、外道的人跑的距离相等,外道的起点就要向前移,移的距离等于外道弯道与内道弯道的长度差。
虽然弯道的各个半径都不知道,然而两条弯道的中心线的半径之差等于一条跑道之宽。
设外弯道中心线的半径为R,内弯道中心线的半径为r,则两个弯道的长度之差为
πR-πr=π(R-r)=3.14×1.22≈3.83(米)。
即外道的起点在内道起点前面3.83米。
例2、有七根直径5厘米的塑料管,用一根橡皮筋把它们勒紧成一捆(如左下图),此时橡皮筋的长度是多少厘米?
分析与解:
由右上图知,绳长等于6个线段AB与6个BC弧长之和。
将图中与BC弧类似的6个弧所对的圆心角平移拼补,得到6个角的和是360°,所以BC弧所对的圆心角是60°,6个BC弧等于直径5厘米的圆的周长。
而线段AB等于塑料管的直径,由此知绳长=5×6+5×3.14=45.7(厘米)。
例3、左下图中四个圆的半径都是5厘米,求阴影部分的面积。
分析与解:
直接套用公式,正方形中间的阴影部分的面积不太好计算。
容易看出,正方形中的空白部分是4个四分之一圆,利用五年级学过的割补法,可以得到右上图。
右上图的阴影部分的面积与原图相同,等于一个正方形与4个半圆(即2个圆)的面积之和,为(2r)2+πr2×2=102+3.14×50≈257(厘米2)。
例4、草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈,在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊(见左下图)。
问:
这只羊能够活动的范围有多大?
分析与解:
如右上图所示,羊活动的范围可以分为A,B,C三部分,
所以羊活动的范围是
例5、右图中阴影部分的面积是2.28厘米2,求扇形的半径。
分析与解:
阴影部分是扇形与等腰直角三角形相差的部分。
所以,扇形的半径是4厘米。
例6、右图中的圆是以O为圆心、径是10厘米的圆,求阴影部分的面积。
分析与解:
解此题的基本思路是:
从这个基本思路可以看出:
要想得到阴影部分S1的面积,就必须想办法求出S2和S3的面积。
S3的面积又要用下图的基本思路求:
现在就可以求出S3的面积,进而求出阴影部分的面积了。
S3=S4-S5=50π-100(厘米2),
S1=S2-S3=50π-(50π-100)=100(厘米2)。
习题练习
1、如下图,在大圆中截取一个面积最大的正方形,然后在正方形中截取一个面积最大的圆。
已知正方形的面积为20cm2,求大圆和小圆的面积各是多少平方厘米?
3、左下图中,阴影部分的面积是5.7cm2,△ABC的面积是多少平方厘米?
4、右图中以O为圆心的圆,半径是10cm。
以C为圆心,AC为半径画一圆弧,求阴部部分的面积。
5、如图,在直角三角形ABC中,∠A=60°,以A为圆心,以AC为半径画弧与AB相交于D,如果图中阴影部分的面积为6πcm2,那么AB的长是多少厘米?
6、如图,大圆的直径为4cm,求阴影部分的面积。
7、下图中的圆半径OA=9cm,∠1=∠2=15°,求阴影部分的面积。
8、如图所示,正方形ABCD的边长是12cm,已知DE与EC长度的比是1∶2,求阴影部分的面积。
9、图中,阴影部分的面积是50cm2,求环形的面积。
10、如图,OA、OB分别是小圆的直径,并且OA=OB=6cm,∠BOA=90°阴影部分的面积是多少平方厘米?
(2001年全国奥赛预赛题)
11、下图中,平行四边形ABCD的面积是40cm2,△COB(阴影部分)的面积是多少平方厘米?
AB
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