数理逻辑考试题及答案之欧阳法创编Word格式.docx

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（3）E：

p®

（pÚ

qÚ

（4）F：

r）Ù

用真值表判断，A为重言式，B为矛盾式，C为可满足式，E为重言式，F为矛盾式。

3、判断推理是否正确（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

（0）设y=2|x|，x为实数。

推理如下：

如y在x=0处可导，则y在x=0处连续。

发现y在x=0处连续，所以，y在x=0处可导。

设y=2|x|，x为实数。

令P：

y在x=0处可导，q：

y在x=0处连续。

由此，p为假，q为真。

本题推理符号化为：

（p®

q）Ù

q®

p。

由p、q的真值，计算推理公式真值为假，由此，本题推理不正确。

（1）若2和3都是素数，则6是奇数。

2是素数，3也是素数。

所以，5或6是奇数。

令p:

2是素数，q:

3是素数，r:

5是奇数，s:

6是奇数。

由此，p=1，q=1，r=1，s=0。

（（pÙ

q）→s）Ù

pÙ

q）→（rÚ

s）。

计算推理公式真值为真，由此，本题推理正确。

二、命题逻辑等值演算（5分）

1、用等值演算法求下列公式的主析取范式或主合取范式（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。

（0）求公式p→（（q∧r）∧（p∨（Ø

q∧Ø

r）））的主析取范式。

p→（（q∧r）∧（p∨（Ø

r）））Û

p∨（q∧r∧p）∨（q∧r∧Ø

Û

p∨（q∧r∧p）∨0Û

（p∧q∧r）∨Û

（Ø

p∧1∧1）∨（q∧r∧p）

p∧（q∨Ø

q）∧（r∨Ø

r））∨（q∧r∧p）Û

r））∨m7

p∧Ø

r）∨（Ø

q∧r）∨（Ø

p∧q∧Ø

p∧q∧r）∨m7

m0∨m1∨m2∨m3∨m7.

（1）求公式Ø

（p→q））∨（Ø

p）的主合取范式。

（p→q））Ú

p）Û

（p→q）Ú

（p→q）Û

（p→q）

pÚ

qÛ

M2.

（2）求公式（p→（p∨q））∨r的主析取范式。

（p→（pÚ

q））Ú

rÛ

q）Ú

rÛ

r）Û

1

m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7.

2、应用分析（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

共3分）

（0）某村选村委，已知赵炼玉、钱谷王、孙竹湾被选进了村委，三村民甲、乙、丙预言：

甲预言：

赵炼玉为村长，钱谷王为村支书。

乙预言：

孙竹湾为村长，赵炼玉为村支书。

丙预言：

钱谷王为村长，赵炼玉为村妇女主任。

村委分工公布后发现，甲乙丙三人各预测正确一半。

赵炼玉、钱谷王、孙竹湾各担任什么职务？

设P1：

赵炼玉为村长，p2：

钱谷王为村长，p3：

孙竹湾为村长，

q1：

赵炼玉为村支书，q2:

钱谷王为村支书，r1：

赵炼玉为村妇女主任。

判断公式FÛ

（（p1Ù

q2）Ú

p1Ù

q2））Ù

（（p3Ù

q1）Ú

p3Ù

q1））Ù

（（p2Ù

r1）Ú

p2Ù

r1））

q2Ù

q1Ù

r1Û

1Û

Ù

r1，

由此，钱谷王为村支书，孙竹湾为村长，赵炼玉为村妇女主任。

说明：

p1、p2、p3有且仅有一个为真，q1、q2有且仅有一个为真。

一个人不能担任两职，一个职务不可由两人同时担任。

（1）某公司派赵、钱、孙、李、周五人出国学习。

选派条件是：

①若赵去，钱也去。

②李、周两人必有一人去。

③钱、孙两人去且仅去一人。

④孙、李两人同去或同不去。

⑤如周去，则赵、钱也同去。

如何选派他们出国？

①设p：

派赵去，q：

派钱去，r：

派孙去，s：

派李去，u：

派周去。

②

（1）（p®

q）

（2）（sÚ

u）（3）（（qÙ

r）Ú

qÙ

r））

（4）（（rÙ

s）Ú

rÙ

s））（5）（u®

q））

③

（1）~（5）构成的合取式为：

A=（p®

（sÚ

u）Ù

（（qÙ

r））Ù

（（rÙ

s））Ù

（u®

q））

sÙ

u）Ú

u）

由此可知，A的成真赋值为00110与11001，

因而派孙、李去（赵、钱、周不去），或派赵、钱、周去（孙、李不去）。

三、命题逻辑推理（5分）

在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。

共5分）

（0）如果张老师出国，则若李老师出国，王老师出国。

现在的情况是张老师与李老师都要出国。

所以，王老师不出国，则孙老师出国。

形式化：

p：

张老师出国；

李老师出国；

王老师出国；

s：

孙老师出国。

前提：

r），pÙ

q

结论：

r®

s

证明：

①p®

r）【前提引入】

②Ø

r）Û

pÙ

r【①置换】

③pÙ

q【前提引入】

④r【②③假言推理】

⑤rÚ

s【④附加规则】

⑥Ø

r∨s【⑤置换】

⑦Ø

s【⑥置换】证毕。

（1）若张同学与李同学是乐山人，则王同学是雅安人，若王同学是雅安人，则他喜欢吃雅鱼，然而，王同学不喜欢吃雅鱼，张同学是乐山人。

所以，李同学不是乐山人。

张同学是乐山人；

李同学是乐山人；

王同学是雅安人；

王同学喜欢吃雅鱼。

r，r®

s，Ø

s，p

①（pÙ

r【前提引入】

②r®

s【前提引入】

③（pÙ

s【①②假言三段论】

④Ø

s【前提引入】

⑤Ø

【③④拒取式】

q【⑤置换】

⑦p【前提引入】

⑧Ø

q【⑥⑦析取三段论】

证毕。

（2）若n是偶数并且大于5，则m是奇数。

只有n是偶数，m才大于6。

现有n大于5。

所以，若m大于6，则m是奇数。

n是偶数；

n大于5；

m是奇数；

m大于6。

r，s®

p，q

s®

r

①q【前提引入】

sÚ

q【①附加规则】

（这是证明的关键）

③s®

q【②置换】

④s®

p【前提引入】

⑤（s®

q）Ù

q（s®

p）

【③④合取】

⑥s®

【⑤置换】

⑦（pÙ

r【前提引入】

⑧s®

r【⑥⑦假言三段论】

四、一阶逻辑的基本概念（5分）

1、一阶逻辑命题形式化（总共6题，完成的题号为学号尾数取6的余，完成1题。

（0）人人都生活在地球上。

"

x（F（x）→G（x）），其中，F（x）：

x是人，G（x）：

x生活在地球上。

（1）有的人长着金色的头发。

$x（F（x）Ù

G（x）），其中，F（x）：

x长着金色的头发。

（2）没有能表示成分数的无理数。

x是无理数，G（x）：

x能表示成分数。

（3）说所有的男人比所有的女人力气大是不正确的。

x"

y（F（x）Ù

G（y）→S（x,y）），其中，F（x）：

x是男人，G（x）：

x是女人，S（x,y）：

x比y力气大。

（4）有的学生不住在校内。

x是学生，G（x）：

x住在校内。

（5）说有的男人比所有的女人力气大是正确的。

。

$x（F（x）Ù

y（G（x）→S（x,y））），

其中，F（x）：

2、给出下列公式的一个成真解释和一个成假解释（总共3题，完成的题号为学号尾数取3的余，完成1题。

（0）"

x（F（x）Ú

G（x））

取解释I1：

个体域为人的集合，F（x）：

x是女人。

则在I1解释下，"

G（x））为真命题。

取解释I2：

x是中国人，G（x）：

x是美国人。

则在I2解释下，"

G（x））为假命题。

（1）$x（F（x）Ù

G（x）Ù

H（x））

x是教师，G（x）：

x是党员，H（x）：

x是班主任。

则在I1解释下，$x（F（x）Ù

H（x））为真命题。

x是女人，H（x）：

则在I2解释下，$x（F（x）Ù

H（x））为假命题。

（2）$x（F（x）Ù

y（G（y）Ù

H（x,y）））

个体域为整数集合，F（x）：

x是正整数，G（x）：

x是负整数，H（x,y）：

x比y大。

H（x,y）））为真命题。

个体域为自然数集合，F（x）：

x是奇数，G（x）：

x是偶数，H（x,y）：

H（x,y）））为假命题。

五、一阶逻辑等值演算（5分）

1、证明等值式（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

（0）证明等值式：

x（A（x）®

B）Û

$xA（x）®

B。

B）Û

x（Ø

A（x）Ú

xØ

B

$xA（x）Ú

BÛ

$xA（x）→B。

（1）证明等值式：

$x（A（x）®

xA（x）®

$x（Ø

$xØ

xA（x）Ú

xA（x）→B

2、给出下列公式的前束范式（总共4题，完成的题号为学号尾数取4的余，完成1题。

（0）Ø

x（F（x）→G（x））

x（F（x）→G（x））Û

F（x）Ú

G（x））Û

G（x））

（1）Ø

G（x））Û

（F（x）Ù

x（F（x）→Ø

（2）$yF（x,y）Ù

xG（x,y,z）

$yF（x,y）Ù

xG（x,y,z）Û

$yF（u,y）Ù

xG（x,v,z）Û

$y"

x（F（u,y）Ù

G（x,v,z））

（3）"

xF（x）→$y（G（x,y）Ù

H（x,y））

H（x,y））Û

zF（z）→$y（G（x,y）Ù

z（F（z）→$y（G（x,y）Ù

H（x,y）））Û

z$y（F（z）→（G（x,y）Ù

H（x,y）））

3、例证（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

（0）举例说明“"

对Ú

无分配律”。

无分配律指：

不存在等价关系"

x（A（x）Ú

B（x））Û

xA（x）Ú

xB（x）。

例如，取解释I：

B（x））的真值为真，而"

xB（x）的真值为假。

（1）举例说明“$对Ù

$对Ù

不存在等价关系$x（A（x）Ù

$xA（x）Ù

$xB（x）。

$x（A（x）Ù

B（x））的真值为假，而$xA（x）Ù

$xB（x））的真值为真。

六、一阶逻辑推理（5分）

在自然推理系统中，构造下列推理过程（总共2题，完成的题号为学号尾数取2的余，完成1题。

（0）每个喜欢步行的人都不喜欢骑自行车，每个人或者喜欢骑自行车或者喜欢乘汽车，有的人不喜欢乘汽车。

所以，有的人不喜欢步行。

（个体域为人类集合）

F（x）：

x喜欢步行；

G（x）：

x喜欢骑自行车；

H（x）：

x喜欢乘汽车。

G（x）），"

x（G（x）Ú

H（x）），$xØ

H（x）

F（x）

①"

G（x））【前提引入】

②F（y）→Ø

G（y）【"

-】

③"

H（x））

【前提引入】

④G（y）Ú

H（y）

【"

G（y）→H（y）

【④置换】

⑥F（y）→H（y）【②⑤假言三段论】

H（y）→Ø

F（y）【⑥置换】

H（y）→$xØ

F（x）【⑦$+】

⑨$xØ

H（x）→$xØ

F（x）

【⑧$+】

⑩$xØ

H（x）【前提引入】

⑾$xØ

F（x）【⑨⑩假言推理】

（1）每个科学工作者都是刻苦钻研的，每个刻苦钻研而又聪明的人在他的事业中都将获得成功。

王大海是科学工作者，并且聪明。

所以，王大海在他的事业中将获得成功。

x是科学工作者；

x刻苦钻研；

x聪明；

I（x）：

x事业成功；

a:

王大海。

x（F（x）→G（x）），"

x（G（x）Ù

H（x）→I（x）），F（a），H（a）。

I（a）

①F（a）【前提引入】

②"

x（F（x）→G（x））【前提引入】

③F（a）→G（a）

【②"

-】

④G（a）【①③假言推理】

⑤H（a）【前提引入】

⑥"

H（x）→I（x））

⑦G（a）Ù

H（a）→I（a）

【⑥"

⑧G（a）Ù

H（a）【④⑤合取】

⑨I（a）

【⑦⑧假言推理】