成都七中外地生自主招生考试数学试题和答案.docx

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成都七中外地生自主招生考试数学试题和答案

成都七中2022年外地生自主招生考试数学试题

考试时间：

120分钟总分值150分

注意：

请将答案涂写在答题卡上，本试卷作答无效！

一、选择题〔本大题共10小题，每题6分，共60分，每题只有一个正确选项〕

1,x2是方程x2-3x+仁0的两根，贝Ux1+x2=（）

A.3B..5

1

2.—次函数y=kx+k-1的图象与反比例函数

y=-的图象交点个数为〔

X

，周长为12cm，其内切圆半径为〔

4.20222022202220221-20222=（

将半径1cm的硬币掷在平面上，硬币与平行线

相交的概率为〔

〕

1

1

2

3

A.-

B.-

C._

D.-

4

3

3

4

5.平面上有无限条彼此相距3cm的平行线,

6.某三棱锥的主视图和左视图如右，其俯视图不可能是〔〕

7.从-2,0,1,2,3五个数中选出两个数a,b（a^0）,那么y=a2x+b表示不同一次函数的种数为〔〕

n为正整数，记n!

=1X2x3X4x

xn（n

2）,1!

=1，那么-

23

++—+

3!

4!

1

10!

11

B.1+

10!

9

d.1+9!

9.右图中O为矩形ABCD〔ABvBC丨的中心，过O且互相垂直的两条直线被矩形四边所截，设截得的线段EF和GH长度分别为X和y，四边形EGFH面积为S,当这两条直线保持垂直且围绕O点不停旋转时，以下说法正确的选项是〔〕

1某一阶段，y随x的增大而增大，y是x的正比例函数

2某一阶段，y随x的增大而减小，y是x的反比例函数

3仅当四边形EGFH与矩形一条对角线重合时，S最大

4仅当四边形EGFH的两条对角线长度相等时，S最小

A.①②B.①③C.①②④D.①③④

10.2022年6月6日发生了天文奇观“金星凌日〞，当地球、金星、太阳在一条直线上，从地球上可以看到金星就像一个小黑点一样沿直线在太阳外表缓慢移动〔金星的视直径仅约为太阳视直径的3%〕,

如右图示意，圆O为太阳，小圆为金星，弦AB所

在直线为小圆圆心的轨迹，其中位置I称为入凌外

切，位置II称为入凌内切，设金星视直径为d,

AOB=2,那么金星从位置I到位置II的视位移

△S可以估计为〔〕

dd

A.B.-

d

C.-

1cos

D.——

2（1

d

cos）

sin2sin

二、填空题〔本大题共8小题，每题6分，共48分〕

32

+3x-4=0的解为。

2

12.关于x的不等式a（x+1）+4a+x与3x-12同解，贝Ua的取值为

15•梯形ABCD中，AD//BC,AD=a,BC=b,M,N分别在线段

AB和CD上，有MN//AD,

且MN将梯形ABCD分成面积相等的两局部，那么MN=

1+4j-

的解Y代-‘为。

-X.

17.如右图，点P〔2,3〕在圆O上，点E,F为y轴上的两点，△PEF是以点P为顶点的等腰三角形，直线PE,PF交圆于D,C两点，直线CD交y轴于点A，那么sinDAO的值为。

“满200赠100〞的优惠活动，措施如下：

凡现金消费每满200元可获

赠100元的消费券，例如：

现金消费390元可获赠100元消费券，现金消费400元可获赠

200元消费券，而用消费券购置商品那么不再获赠消费券。

现一客户购置两件商品，欲用购置

第一件商品所得消费券抵现金购置第二件商品〔缺乏局部再用现金补足〕，两件商品总

的价格为1095元，为使客户在本次购置中所付现金最少，营业员可以重新设定两件商品各

自的价格，设第一件商品的价格为x元，那么x的取值范围为。

三、解答题〔本大题共2题，第19题18分，第20题24分，共42分〕

12一

19.如图，直线L平行于x轴，与y轴交点为C〔0,-1〕，A为抛物线y=-x上动点，以A

4

为圆心的圆A始终与L相切。

〔1〕假设点A的横坐标xA=-22,圆A于y轴交于D,E两

点，求△ADE外接圆的半径；

〔2〕证明y轴上仅存在一定点F恒在动圆A上，并确定F

的坐标；

〔3〕承接〔2〕问，直线AF与抛物线交于另外一点B，证

11

明——+——为定值，并求出该值。

AFBF

20.在平面直角坐标系中，O为坐标原点，现定义点与点的运算AB，规那么如下：

设A〔x1,y1],B（x2,y2）,假设AB=C，那么有C〔X1x2+y1目2，x1x2-y1y20

（1）假设B〔4,-1〕，C〔3,-22〕，且AB=C，求A点坐标；

（2）一般地，假设AB=C，判断OAOB与OC的大小关系，并予以证明；

（3）按以下方式构建点列An〔n为正整数〕：

A1A2=A3,A2A3=A4,

①假设

A3A4=A5，

OA1,OA2为大于1的整数，OAm=864，其中m为整数且大于3,试确定m及对

应的

OA1,OA2的值;

②假设

a13「31】

人1〔2'牙〕，A2〔牙，2〕，求S△a,oa2+S△a3oa4+S△a5a6+.+S△An1OAn

成都七中2022年外地生自主招生考试数学答案

一、选择题

2

1.B解析：

•••X「X2是方程x-3x+仁0的根

XiX23

x1x21

ykxk1

2

2.D解析：

联立1kx+（k-1）x-1=0

y-

x

22

•/△=〔k-1〕+4k=（k+1）0

•••方程有两个相等的根或两个不等的根，从而交点的个数为1或2

3.B解析：

设三边长分别为a,b,c.内切圆半径为R

abc12

那么1

1

1

aR

bR

cR6

2

2

2

R=1

4.A解析：

令m=2022

原式=（m

1）m（m

1）（m2）1-m2

=,m（m

1）（m2

m

2）1-m2

=（m2

m）（m2

m

2）1-m2

=（m2

m）22（m2

2

m）1-m

A

T）

B

=（m2m1）2-m2

22=m+m-1-m

=m-1

=2022-1

=2022

5.C解析：

硬币圆心落在O1O2之间的时候不会与平行线相交。

0^2为AB的三等分点

2

•••相交的概率为。

3

6.D解析：

假设俯视图在如下列图的正方形框内，那么由主视图和左视图知，C点所处的位置不

能是空的，由此可知答案为D

7.A解析：

a取2或-2时有5种方法。

a不取2且不取-2时，a只能从1或3中选，有2

个选法。

8.A解析：

T

n1

n

1

1

1

n!

n!

n!

n!

（n

1）!

1

2

3

8

9

—+

—+

—

+…

…+

—+

2!

3!

4!

9!

10!

1

1

1

1

1

1

1

11

1

—

—+

——

-—

+—

-—

+

•+—■

-—+—■

1!

2!

2!

3!

3!

4!

8!

9!

9!

10!

b有5个选法，所以有2X5=10种方法。

综上，共5+2X5=15〔种〕

1

=1--

10!

9.B解析：

该题可分为两种情况〔可判断出GFHE为菱形〕

y

GO2y2

tan==—=Smin=a〔当=45°时〕

OExx

2

Smax=—〔a2+b2〕〔与一条对角线重合时〕

2b

a

b

Sin

2a.==,sin

=2

b

ab

xx

y

y

xy

2

2

Smin:

=1ab（EF//AB,GH//AD

时〕

2

b

y=_x①正确

a

Smax=—〔a'+b?

〕〔与一条对角线重合时〕

2b

从而③正确④不一定正确当2avb时正确

当2a>b时不正确②不正确

10.A解析：

设P,Q为圆OI与圆0“的切点，连接PQ交AB于S,那么S近似有OS丄PQ。

d

,2d_d

QSOii=从而有sin=sinQSOn==△S=

△S△Ssin

2

二、填空题

32322

11.-2,1解析：

O=x+3x-4=x-1+3x-3=〔x-1〕〔x+x+1〕+3（x-1）（x+1）

=〔x-1〕

2

x+x+1+3x+3〕=〔x-1〕

（x+2）

2

12.a=-1解析：

3x-12x1•••不等式a（x+1）+4a+x的解为x1

2

化简a（x+1）+4a+x（a-1）x

a-1v0

a-a-4a2a4

a=-1

1

5解析：

由两点之间线段最短知从

8242=4.5

14.9解析：

函数y=-2x

8

+3x+1在0

由图知

1V2

17

y2最小，y1

最大时

y2

179

-1=

88

2

a

15.-

2

b2

解析：

令AE=h1

AG=h.

h

1

SAMND：

-

-2

a

x（b

a）

a

•h1

Smbcn=

1

-

2

x（b

a）

a

b

•〔h-h1〕

由题知

1

2a

x（b

a）

—

11

x（ba）ab〔-1〕

2

2x

FN=HC•X

•MN=ME+EF+FN=x（BG+HC）+a=x（b-a）+a

2

2〔b-a〕x+4ax-（a+b）=0

解得x=

4a

d6a24x2（ba）（ab）

22（b-a）

，又x>0

i22

-4a、8a8b

x=—

4（ba）

MN=_a+

x

x0

16.y0或y

z0

z

1

2

2

1

2

解析：

1°x=0

y=

4x2

14x2

=0

E=0

-y=

4x2

14x2

4x2

24x2

同理可得Ey

xE

x=y=E

4x2

田2=y=x

14x

2

4x-4x+仁0

（2x-1）2=0

1x=

2

1x=y=E=—

2

17.26965解析：

点e、F为y轴上的两个点，且PE=PF

965

•可令E为〔0,4〕，那么F为〔0,2丨从而C,D,A分别为如下列图CDM

*

---L.

rv

••yx

•sinDAO=sinCAO=sin

CDM•只需要知道D的坐标即可，由P在图

上

•圆的方程为X2+Y2=13

X即Y=4--

直线PE所在直线方程为

Y

4=X

0

3

42

0

2

x

y4—

•联立y2

22

xy13

D的坐标为〔6〕

55

而

sinAED

6

4

CDM=

5

_26

（6

（6

4〕

（17）2

5

965

sin

18.[600,795]

解析：

当0

当200WX<399时，获得100元消费卷，需付995元。

当400WX<599时，获得200元消费卷，需付895元。

当600WX<799时，获得300元消费卷，又…1095-300=795

所以，当600WX<795时，该消费者需总付795元。

而当795795

综上所述，要使客户所付现金最少，X的取值范围应为[600,795]

19.〔1〕解:

—121

•XA=-22•YA=XA=X8=2•••©A的半径为3，

44

AD

设厶ADE外接圆的半径为R，贝U2R=

sinAED

sinAED=aG=2^•2R=3=律

AE32^24

〔2〕设A〔XA，

12

—xA〕，那么圆

4

A的方程为〔X-XA〕2+（Y-!

xA）2=（-xA+1）2

44

令X=0，解得Y=1

121

或Y=—X；-1.因为一X

22

12

2：

A-1随XA的不同而不同。

所以Y轴上仅存在

个定点F恒在动圆

A上，F的坐标〔0,1〕

（3〕证明：

F（0，1）•设A〔XA，IxA丨那么圆A的方程为:

4

直线AF所在直线的方程可由一次函数的定义求出为:

丫=〔-X

4

A_

Xa

1

—〕X+1联立

I4

X+1

解得

或

Y°

4

X=——

X

■■0的坐标为

从而AB=（XA

Xa）2

（4XA

Xi）2

…（；X21）2

■16

2

A

BF=

X

xA

11

+

AFQEFA〞a

AB

xl+Qxi-i

=1

即二—为定值1

20

（1）解：

设A的坐标为〔兀Y）那么

〔3，-22〕=C=-J---—

4X-Y=3

4X+Y=-22

解设二元一次方程组得

1925

•:

点側坐标为〔―石，—丁〕

〔2〕证：

*；

=〔x；+掳艇+芻〕-际T〞+〔x1ia-Y^y

当A、B至少有一个在直线

Y=X上时

（oa-ob）2-oc^

=0，即卩OA•OB=OC

当A、B分别在Y=X的两边时

厂「0，即OA

OB>OC

当A、B分别在Y=X的同一边时

」-<0,即卩OA•OBvOC

〔3【①m=6,a=2,b=3