【解】设
表每次掷的点数，则
从而
又X1,X2,X3,X4独立同分布.
从而
所以
2.假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？
【解】令
供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）,
查表知
m=151.
所以供电能151×15=2265（单位）.
4.一加法器同时收到20个噪声电压Vk（k=1，2，…，20），设它们是相互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记V=
，求P{V＞105}的近似值.
【解】易知:
E（Vk）=5,D（Vk）=
k=1,2,…,20
由中心极限定理知，随机变量
于是
即有P{V>105}≈0.348
5.有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m的概率是多少？
【解】设100根中有X根短于3m，则X~B（100，0.2）
从而
6.某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为0.8.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.
（1）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.8，问接受这一断言的概率是多少？
（2）若实际上此药品对这种疾病的治愈率是0.7，问接受这一断言的概率是多少？
【解】
令
（1）X~B（100,0.8），
（2）X~B（100,0.7），
7.用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为0.05的产品中，任取1000件，其中有20件废品的概率.
【解】令1000件中废品数X，则
p=0.05,n=1000,X~B（1000,0.05），
E（X）=50，D（X）=47.5.
故
8.设有30个电子器件.它们的使用寿命T1，…，T30服从参数λ=0.1[单位：
]的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使用，以此类推.令T为30个器件使用的总计时间，求T超过350小时的概率.
【解】
故
9.上题中的电子器件若每件为a元，那么在年计划中一年至少需多少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每个工作日为8小时）.
【解】设至少需n件才够用.则E（Ti）=10，D（Ti）=100，
E（T）=10n，D（T）=100n.
从而
即
故
所以需272a元.
10.对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别为0.05,0.8,0.15.若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相与独立，且服从同一分布.
（1）求参加会议的家长数X超过450的概率？
（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.
【解】
（1）以Xi（i=1,2,…,400）记第i个学生来参加会议的家长数.则Xi的分布律为
Xi
0
1
2
P
0.05
0.8
0.15
易知E（Xi=1.1）,D（Xi）=0.19,i=1,2,…,400.
而
由中心极限定理得
于是
（2）以Y记有一名家长来参加会议的学生数.则Y~B（400,0.8）由拉普拉斯中心极限定理得
11.设男孩出生率为0.515，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？
【解】用X表10000个婴儿中男孩的个数，则X~B（10000，0.515）要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求
P{X≤5000}.由中心极限定理有
12.设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为0.9.以95%概率估计，在一次行动中：
（1）至少有多少个人能够进入？
（2）至多有多少人能够进入？
【解】用Xi表第i个人能够按时进入掩蔽体（i=1,2,…,1000）.
令Sn=X1+X2+…+X1000.
（1）设至少有m人能够进入掩蔽体，要求P{m≤Sn≤1000}≥0.95，事件
由中心极限定理知：
从而
故
所以m=900-15.65=884.35≈884人
（2）设至多有M人能进入掩蔽体，要求P{0≤Sn≤M}≥0.95.
查表知
=1.65,M=900+15.65=915.65≈916人.
13.在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求：
（1）保险公司没有利润的概率为多大；
（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？
【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.
（1）公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”.
于是所求概率为
（2）因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X≤60”于是所求概率为
14.设随机变量X和Y的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相关系数为0.5试根据契比雪夫不等式给出P{|X-Y|≥6}的估计.（2001研考）
【解】令Z=X-Y，有
所以
15.某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，以X表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔的户数.
（1）写出X的概率分布；
（2）利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.
（1988研考）
【解】
（1）X可看作100次重复独立试验中，被盗户数出现的次数，而在每次试验中被盗户出现的概率是0.2，因此，X~B（100,0.2），故X的概率分布是
（2）被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率即为事件{14≤X≤30}的概率.由中心极限定理，得
16.一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于0.977.
【解】设Xi（i=1,2,…,n）是装运i箱的重量（单位：
千克），n为所求的箱数，由条件知，可把X1，X2，…，Xn视为独立同分布的随机变量，而n箱的总重量Tn=X1+X2+…+Xn是独立同分布随机变量之和，由条件知：
依中心极限定理，当n较大时，
故箱数n取决于条件
因此可从
解出n<98.0199,
即最多可装98箱.
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