Gauss列主元素消去法实验参考.docx
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Gauss列主元素消去法实验参考
Lab.Gauss列主元素消去法实验
【实验目的和要求】
1．使学生深入理解并掌握Gauss消去法和Gauss列主元素消去法步骤；
2．通过对Gauss消去法和Gauss列主元素消去法的程序设计，以提高学生程序设计的能力；
3．对具体问题，分别用Gauss消去法和Gauss列主元素消去法求解。
通过对结果的分析比较，使学生感受Gauss列主元素消去法优点。
【实验内容】
1．根据Matlab语言特点，描述Gauss消去法和Gauss列主元素消去法步骤。
2．编写用不选主元的直接三角分解法解线性方程组Ax=b的M文件。
要求输出Ax=b中矩阵A及向量b，A=LU分解的L与U，detA及解向量x。
3．编写用Gauss列主元素消去法解线性方程组Ax=b的M文件。
要求输出Ax=b中矩阵A及向量b、PA=LU分解的L与U、detA及解向量x，交换顺序。
4．给定方程组
（1）
（2）
先用编写的程序计算，再将
（1）中的系数3.01改为3.00，0.987改为0.990；将
（2）中的系数2.099999改为2.1，5.900001改为9.5,再用Gauss列主元素消去法解，并将两次计算的结果进行比较。
【实验仪器与软件】
1．CPU主频在1GHz以上，内存在128Mb以上的PC；
2．Matlab6.0及以上版本。
实验讲评：
实验成绩：
评阅教师：
年月日
Gauss列主元素消去法实验报告
一、算法描述
1、编写用不选主元的直接三角分解法解线性方程组Ax=b的M文件程序如下
function[x,l,u]=malu（A,b）
formatshort
n=length（b）;
u=zeros（n,n）;l=eye（n,n）;
u（1,:
）=A（1,:
）;l（2:
n,1）=A（2:
n,1）/u（1,1）;
fork=2:
n
u（k,k:
n）=A（k,k:
n）-l（k,1:
k-1）*u（1:
k-1,k:
n）;
l（k+1:
n,k）=（A（k+1:
n,k）-l（k+1:
n,1:
k-1）*u（1:
k-1,k））/u（k,k）;
end
y=zeros（n,1）;
y
（1）=b
（1）;
fork=2:
n
y（k）=b（k）-l（k,1:
k-1）*y（1:
k-1）;
end
x=zeros（n,1）;
x（n）=y（n）/u（n,n）;
fork=n-1:
-1:
1
x（k）=（y（k）-u（k,k+1:
n）*x（k+1:
n））/u（k,k）;
end
二、Gauss列主元消去法解线性方程组程序如下
function[Determ,x]=magauss2（A,b,flag）
%Gauss列主元素消去法解线性方程组Ax=b，A为系数矩阵，b为右端项
%若flag=0，不显示中间消去过程，否则显示中间消去过程，默认为0
%输出项Determ为矩阵A的行列式值，x为解向量
ifnargin<3,flag=0;end
Determ=1;
n=length（b）;
fork=1:
（n-1）
[ap,p]=max（abs（A（k:
n,k）））;
p=p+k-1;
ifap==0
printf（'dividebyzero!
'）;
Determ=0;
end
%换行
ifp>k
t=A（k,:
）;A（k,:
）=A（p,:
）;A（p,:
）=t;
t=b（k）;b（k）=b（p）;b（p）=t;
Determ=-Determ;
end
%消元计算
m=A（k+1:
n,k）./A（k,k）;
A（k+1:
n,k+1:
n）=A（k+1:
n,k+1:
n）-m*A（k,k+1:
n）;
b（k+1:
n）=b（k+1:
n）-m*b（k）;
A（k+1:
n,k）=zeros（n-k,1）;
ifflag~=0,Ab=[A,b],end%展示消元过程
Determ=A（k,k）.*Determ;
end
ifA（n,n）==0
printf（'dividebyzero!
'）;
Determ=0;
end
%回代求解
x=zeros（n,1）;
x（n）=b（n）/A（n,n）;
fori=（n-1）:
-1:
1
x（i）=（b（i）-A（i,i+1:
n）*x（i+1:
n））/A（i,i）;
end
Determ=A（n,n）.*Determ;
三、计算过程
直接三角分解法
（1）:
A=[3.016.031.99;1.274.16-1.23;0.987-4.819.34]
b=[1;1;1]
[x1,l1,u1]=malu（A,b）;
x1
l1
u1
A=
3.01006.03001.9900
1.27004.1600-1.2300
0.9870-4.81009.3400
b=
1
1
1
x1=
1.0e+003*
1.5926
-0.6319
-0.4936
l1=
1.000000
0.42191.00000
0.3279-4.20061.0000
u1=
3.01006.03001.9900
01.6158-2.0696
00-0.0063
A=[3.006.031.99;1.274.16-1.23;0.990-4.819.34]
b=[1;1;1]
[x1,l1,u1]=malu（A,b）;
x1
l1
u1
A=
3.00006.03001.9900
1.27004.1600-1.2300
0.9900-4.81009.3400
b=
1
1
1
x1=
119.5273
-47.1426
-36.8403
l1=
1.000000
0.42331.00000
0.3300-4.23061.0000
u1=
3.00006.03001.9900
01.6073-2.0724
00-0.0844
（2）
A=[10,-7,0,1;-3,2.09999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]
b=[8;5.900001;5;1]
[x1,l1,u1]=malu（A,b）;
x1
l1
u1
A=
10.0000-7.000001.0000
-3.00002.10006.00002.0000
5.0000-1.00005.0000-1.0000
2.00001.000002.0000
b=
8.0000
5.9000
5.0000
1.0000
x1=
0.0000
-1.0000
1.0000
1.0000
l1=
1.0e+005*
0.0000000
-0.00000.000000
0.0000-2.50000.00000
0.0000-2.40000.00000.0000
u1=
1.0e+006*
0.0000-0.000000.0000
0-0.00000.00000.0000
001.50000.5750
0000.0000
A=[10,-7,0,1;-3,2.1,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]
b=[8;5.9;5;1]
[x1,l1,u1]=malu（A,b）;
x1
l1
u1
A=
10.0000-7.000001.0000
-3.00002.10006.00002.0000
5.0000-1.00005.0000-1.0000
2.00001.000002.0000
b=
8.0000
5.9000
5.0000
1.0000
x1=
NaN
NaN
NaN
NaN
l1=
1.0000000
-0.30001.000000
0.5000Inf1.00000
0.2000InfNaN1.0000
u1=
10.0000-7.000001.0000
006.00002.3000
00-Inf-Inf
000NaN
高斯列主元消去法：
（1）
A1=[3.016.031.99;1.274.16-1.23;0.987-4.819.34]
b=[1;1;1]
condA1=cond（A1）%
（1）中A的条件数
[Determ1,x1]=magauss2（A1,b,1）
A2=[3.006.031.99;1.274.16-1.23;0.990-4.819.34]
b=[1;1;1]
condA2=cond（A2）
[Determ2,x2]=magauss2（A2,b,1）
运行结果如下
A1=
3.01006.03001.9900
1.27004.1600-1.2300
0.9870-4.81009.3400
b=
1
1
1
condA1=
3.0697e+004
Ab=
3.01006.03001.99001.0000
01.6158-2.06960.5781
0-6.78738.68750.6721
Ab=
3.01006.03001.99001.0000
0-6.78738.68750.6721
00-0.00150.7381
Determ1=
-0.0305
x1=
1.0e+003*
1.5926
-0.6319
-0.4936
A2=
3.00006.03001.9900
1.27004.1600-1.2300
0.9900-4.81009.3400
b=
1
1
1
condA2=
2.3028e+003
Ab=
3.00006.03001.99001.0000
01.6073-2.07240.5767
0-6.79998.68330.6700
Ab=
3.00006.03001.99001.0000
0-6.79998.68330.6700
00-0.02000.7350
Determ2=
-0.4070
x2=
119.5273
-47.1426
-36.8403
（2）
A1=[10,-7,0,1;-3,2.09999,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]
b=[8;5.900001;5;1]
condA1=cond（A1）%
（1）中A的条件数
[Determ1,x1]=magauss2（A1,b,1）
A2=[10,-7,0,1;-3,2.1,6,2;5,-1,5,-1;2,1,0,2]
b=[8;5.9;5;1]
condA2=cond（A2）
[Determ2,x2]=magauss2（A2,b,1）
A1=
10.0000-7.000001.0000
-3.00002.10006.00002.0000
5.0000-1.00005.0000-1.0000
2.00001.000002.0000
b=
8.0000
5.9000
5.0000
1.0000
condA1=
5.8745
Ab=
10.0000-7.000001.00008.0000
0-0.00006.00002.30008.3000
02.50005.0000-1.50001.0000
02.400001.8000-0.6000
Ab=
10.0000-7.000001.00008.0000
02.50005.0000-1.50001.0000
006.00002.30008.3000
00-4.80003.2400-1.5600
Ab=
10.0000-7.000001.00008.0000
02.50005.0000-1.50001.0000
006.00002.30008.3000
0005.08005.0800
Determ1=
-762.0009
x1=
0.0000
-1.0000
1.0000
1.0000
A2=
10.0000-7.000001.0000
-3.00002.10006.00002.0000
5.0000-1.00005.0000-1.0000
2.00001.000002.0000
b=
8.0000
5.9000
5.0000
1.0000
condA2=
5.8746
Ab=
10.0000-7.000001.00008.0000
006.00002.30008.3000
02.50005.0000-1.50001.0000
02.400001.8000-0.6000
Ab=
10.0000-7.000001.00008.0000
02.50005.0000-1.50001.0000
006.00002.30008.3000
00-4.80003.2400-1.5600
Ab=
10.0000-7.000001.00008.0000
02.50005.0000-1.50001.0000
006.00002.30008.3000
0005.08005.0800
Determ2=
-762
x2=
0.0000
-1.0000
1.0000
1.0000
四、算法分析
在
（1）中：
直接三角解法
与高斯列主元消去解法的结果是一样的，而经过改变某些值后，其结果还是一样，看不出来那个方法好在
（2）中直接三角解法出现
结果：
三角解法结果出现一个不确定的值NaN说明该算法求解该问题存在很大的误差，二高斯列主元消去则很小，所以高斯列主元消去法的与实际结果很接近.
五、总结
通过实验，深入并基本掌握高斯消去法和高斯列主元消去法的步骤，经过实际问题的求解，感受到高斯列主元消去法的优点，以及算法的不同产生的误差很大，对我们的问题求解有很大的影响
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