最新成都七年级下期末数学B卷三角全等几何压轴题汇编一含答案培优.docx

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最新成都七年级下期末数学B卷三角全等几何压轴题汇编一含答案培优

最新成都七年级下期末数学B卷（三角全等）几何压轴题汇编一培优

一．解答题（共30小题）

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．

（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE＝EB；

（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；

（3）如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3．求CG的长．

2．探究等边三角形“手拉手”问题．

（1）如图1，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；

（3）如图3，已知点E在等边△ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．

3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═

∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连接CF．

（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：

EF＝BE+CF．

（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：

CF＝BF+2BE．

4．如图1，AB∥CD，G为AB、CD之间一点．

（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：

EG⊥FG；

（2）如图2，若∠AEP＝

∠AEF，∠CFP＝

∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并且证明你的结论；

（3）如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．

5．现给出一个结论：

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．该结论是正确的，用图形语言可表示为：

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若点D为AB中点，则CD＝

AB．

请结合上述结论解决如下问题：

已知，点P是射线BA上一动点（不与A，B合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，其中Q为AB边的中点．

（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　　，QE与QF的数量关系是　　．

（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．

（3）如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时

（2）中的结论是否成立？

请画出图形并写出主要证明思路．

6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，AE是过点A的一条直线，且B、C在AE的两侧，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E．

（1）求证：

△ABD≌△CAE；

（2）若DE＝3，CE＝2，求BD．

7．如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，点D为AC边上一点，连接BD，点E为BD上一点，连接CE，使得∠CED＝∠ABD，过点A作AG⊥CE，垂足为G，AG交ED于点F．

（1）判断AF与AD的数量关系，并说明理由；

（2）如图2，若AC＝CE，点D为AC的中点，AB与AC相等吗？

为什么？

（3）在

（2）的条件下，如图3，若DF＝5，求△DEC的面积．

8．在△ABC中，∠B＝60°，D是BC上一点，且AD＝AC．

（1）如图1，延长BC至E，使CE＝BD，连接AE．求证：

AB＝AE；

（2）如图2，在AB边上取一点F，使DF＝DB，求证：

AF＝BC；

（3）如图3，在

（2）的条件下，P为BC延长线上一点，连接PA，PF，若PA＝PF，猜想PC与BD的数量关系并证明．

9．

（1）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：

BE＝AD．

（2）如图2，在△BCD中，若∠BCD＜120°，分别以BC，CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC，等边△CDE，等边△BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．

①求证：

AD＝BE＝CF；

②如图2，在

（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．

10．如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝∠C＝50°，点D在线段BC上运动（点D不与点B，C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于点E．

（1）当∠BDA＝110°时，∠EDC＝　　°，∠AED＝　　°，∠DAE＝　　°；

（2）当DC等于多少时？

△ABD≌△DCE，请说明理由．

（3）在点D的运动过程中，请直接写出当△ADE是等腰三角形时∠BDA的度数．

11．已知：

△ABC为等边三角形．

（1）如图1，点D、E分别为边BC、AC上的点，且BD＝CE．

i）求证：

△ABD≌△BCE；

ii）求∠AFE的度数；

（2）如图2，点D为△ABC外一点，BA、CD的延长线交于点E，连接AD，已知∠BDC＝60°，且AD＝2，CD＝5，求BD的长；

（3）如图3，线段DB的长为3，线段DC的长为2，连接BC，以BC为边作等边△ABC，连接AD，直接写出当线段AD取最大值与最小值时∠BDC的度数．

12．如图，△ABC和△DEF是两个等腰直角三角形，∠BAC＝∠DFE＝90°，AB＝AC，FD＝FE，△DEF的顶点E在边BC上移动，在移动过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与线段CA相交于点Q．

（1）如图1，当E为BC中点，且BP＝CQ时，求证：

△BPE≌△CQE；

（2）如图2，当ED经过点A，且BE＝CQ时，求∠EAQ的度数；

（3）如图3，当E为BC中点，连接AE、PQ，若AP＝3，AQ＝4，PQ＝5，求AC的长．

13．

（1）如图1，在等腰△ABC中，AC＝BC，在底边上任取一点D，连接CD，将△ACD沿CD翻折得到△A′CD，A′C与AB相交于点O．求证：

∠A′DB＝∠A′CB；

（2）如图2，Rt△ABC中，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB，在点C的右侧取一点E，作∠BEF＝90°，射线EF交边AC于点F，请证明BE＝EF；

（3）如图3，△ABC中，AC＝BC，过点C作直线l平行于AB，在点C的左侧任取一点E，作∠BEF＝∠ACB，射线EF交射线CA于点F，请证明BE＝EF．

14．

（1）如图

（1），在△ABC中，∠A＜45°，点D在AB边上，且CD＝CB，∠ABC＝2∠A，求证：

AD＝CD．

（2）如图

（2），在△ABC中，∠A＝45°，点D在AB边上，且CD＝CB，过点B作BE⊥CD，垂足为E，延长BE交AC于点F．

①求证：

BC＝BF；

②作FH⊥AB，垂足为H，若△BDE的面积为m，四边形DEFH的面积为n，求△BCE的面积（用含m，n的代数式表示）．

15．如图1，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，l是过点B的一条直线，过点A作AD⊥l于D，过点C作CG⊥l于G．

（1）求证：

BD＝CG；

（2）如图

（2）延长CG至E，连接BE，以BE为直角边作等腰直角三角形EBF，∠EBF＝90°，连接AF交l于M．试探究CE与BM的数量关系，并说明理由．

（3）在

（2）的条件下，若S△BFM＝45，BG＝12．直接写出CE的长．

16．已知，△ABC和△DEC都是等腰直角三角形，且∠BAC＝∠DEC＝90°，将△DEC绕点C在平面内进行旋转，连接AE，点M为线段AE的中点．

（1）如图1，当点D在BC边上时．连接DM并延长交AC于G，求证：

AG＝CE；

（2）如图2，若点D在△ABC的内部，过点A作AG∥DE，交DM的延长线于点G，连接BG，求证：

BG＝AE，且BG⊥AE；

（3）如图3，点D在△ABC的外部，仍过点A作AG∥DE，交DM的延长线于点G，

（2）中的两个结论是否仍然成立．若成立；请证明，若不成立，请说明理由．

17．

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点且∠EAF＝60°，直接写出图中线段BE、EF、FD之间的数量关系，不必证明．

（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝

∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

（3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以45海里/小时的速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50°的方向以60海里/小时的速度前进，2小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到站E、F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间的距离．

18．已知：

如图，△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，过点A作射线AD，使AD∥BC，点E在AC上，连接BE，过点E作BE的垂线交AD于点F．

（1）求证：

∠DFE＝∠ABE；

（2）求证：

EF＝BE；

（3）延长FE到G，使EG＝EF，连接CG，求证：

CG∥AB．

19．已知：

在四边形ABCD中，AC，BD相交于点E，且点E是AC的中点，AC⊥BD，过点B作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点G．

（1）如图1，求证：

∠BGE＝∠ADE；

（2）如图2，若∠ABC＝90°；

①求证：

DE＝EG；

②若AC＝8，△BCG的面积为4，求四边形ABCD的面积．

20．

（1）如图1，在△ABC中，AB＝4，AC＝6，AD是BC边上的中线，延长AD到点E使DE＝AD，连接CE，把AB，AC，2AD集中在△ACE中，利用三角形三边关系可得AD的取值范围是　　；

（2）如图2，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E，F分别在AB，AC上，且DE⊥DF，求证：

BE+CF＞EF；

（3）如图3，在四边形ABCD中，∠A为钝角，∠C为锐角，∠B+∠ADC＝180°，DA＝DC，点E，F分别在BC，AB上，且∠EDF＝

∠ADC，连接EF，试探索线段AF，EF，CE之间的数量关系，并加以证明．

21．

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝100°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝50°．探究图中线段EF，BE，FD之间的数量关系．

小明同学探究的方法是：

延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论是　　（直接写结论，不需证明）；

（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且2∠EAF＝∠BAD，上述结论是否仍然成立，若成立，请证明，若不成立，请说明理由；

（3）如图3，四边形ABCD是边长为7的正方形，∠EBF＝45°，直接写出△DEF的周长．

22．如图1，∠FBD＝90°，EB＝EF，CB＝CD．

（1）求证：

EF∥CD；

（2）如图2所示，若将△EBF沿射线BF平移，即EG∥BC，∠FBD＝90°，EG＝EF，CB＝CD，请问

（1）中的结论是否仍成立？

请证明．

23．如图，AC平分∠BAD，CB⊥AB于点B，CD⊥AD于点D．

（1）如图1，求证：

CB＝CD；

（2）如图2，点E，F分别是线段AD，AB上的动点，连接EF，交AC于点G，且满足DE+BF＝EF．

（ⅰ）试探究∠AFE与∠ACE之间满足的数量关系，并说明理由；

（ⅱ）若DE＝1，BF＝n，且S△AEF＝S△CED，请直接写出

的值（用含n的代数式表示），不必写出求解过程．

24．如图，在正方形ABCD中，点F是直线BC上一动点，连接AF，将线段AF绕点F顺时针旋转90°，得到线段FH，连接AH交直线DC于点E，连接EF和CH，设正方形ABCD的边长为x．

（1）如图1，当点F在线段BC上移动时，求△CEF的周长（用含x的代数式表示）；

（2）如图1，当点F在线段BC上移动时，猜想∠EFC和∠EHC的关系，并证明你的结论；

（3）如图2，当点F在边BC的延长线上移动时，请直接写出∠EFC和∠EHC的关系（不需要证明）．

25．已知：

△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，过点A作AD⊥AE，且AE＝AD．

（1）如图1，当点D在线段BC上时，过点E作EH⊥AC于H，连接DE．求证：

EH＝AC；

（2）如图2，当点D在CB延长线上时，连接BE交AC的延长线于点M．求证：

BM＝EM；

（3）在

（2）的条件下，若AC＝7CM，请直接写出

的值（不需要计算过程）．

26．如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，∠BDC＝90°，BD＝CD，DM是BC边上的中线．过点C作CE⊥AB，垂足为E，CE交线段BD于点F，交DM于点N，连接AF．

（1）求证：

△ABD≌△NCD；

（2）试探索线段AF，AB和CF之间数量关系，并证明你的结论；

（3）当∠BAD等于多少度时，点E恰好为AB的中点？

27．已知在四边形ABCD中，∠BAD+∠BCD＝180°，AB＝BC．

（1）如图1，连接BD，若∠ABD＝∠CBD，则AB与AD有什么位置关系，请说明理由？

（2）如图2，若P，Q两点分别在线段AD，DC上，且满足PQ＝AP+CQ，请猜想∠PBQ与∠ABP+∠QBC是否相等，并说明理由．

（3）如图3，若点Q在DC的延长线上，点P在DA的延长线上，且仍然满足PQ＝AP+CQ，请写出∠PBQ与∠ADC的数量关系，并加以说明．

28．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．

（1）如图1，连接EC，求证：

△EBC是等边三角形；

（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；

（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．

29．如图，∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AE＝AC，AF⊥CB，垂足为F．

（1）求证：

△ABC≌△ADE；

（2）求∠FAE的度数；

（3）求证：

CD＝2BF+DE．

30．如图1，在正方形ABCD中，∠GAH＝45°，∠GAH的两边分别与线段BC，CD相交于E，F（点E不与B，C重合；点F不与C，D重合）．

（1）填空：

线段BE，EF，DF的数量关系是　　；

（2）如图2，点P是EF的中点，连接AP，作点E关于直线AB的对称点E'，作点F关于直线AD的对称点F′，连接E′F′，求证：

E′F′＝2AP；

（3）如图3，若E，F是BC，CD上的定点，利用

（1），

（2）的结论探究：

当AP＝m，BE+DF＝n时，在线段AB，AD上是否分别存在M，N，使四边形MEFN的周长有最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由．（用m，n的代数式表示）

参考答案

一．解答题（共30小题）

1．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点D在边AB上．

（1）如图1，当点E在边BC上时，求证DE＝EB；

（2）如图2，当点E在△ABC内部时，猜想ED和EB数量关系，并加以证明；

（3）如图3，当点E在△ABC外部时，EH⊥AB于点H，过点E作GE∥AB，交线段AC的延长线于点G，AG＝5CG，BH＝3．求CG的长．

【解答】

（1）证明：

∵△CDE是等边三角形，

∴∠CED＝60°，

∴∠EDB＝60°﹣∠B＝30°，

∴∠EDB＝∠B，

∴DE＝EB；

（2）解：

ED＝EB，

理由如下：

取AB的中点O，连接CO、EO，

∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，

∴∠A＝60°，OC＝OA，

∴△ACO为等边三角形，

∴CA＝CO，

∵△CDE是等边三角形，

∴∠ACD＝∠OCE，

在△ACD和△OCE中，

，

∴△ACD≌△OCE，

∴∠COE＝∠A＝60°，

∴∠BOE＝60°，

在△COE和△BOE中，

，

∴△COE≌△BOE，

∴EC＝EB，

∴ED＝EB；

（3）取AB的中点O，连接CO、EO、EB，

由

（2）得△ACD≌△OCE，

∴∠COE＝∠A＝60°，

∴∠BOE＝60°，

△COE≌△BOE，

∴EC＝EB，

∴ED＝EB，

∵EH⊥AB，

∴DH＝BH＝3，

∵GE∥AB，

∴∠G＝180°﹣∠A＝120°，

∵∠GCD＝∠GCE+60°＝∠CDA+60°，

∴∠GCE＝∠CDA，

在△CEG和△DCO中，

，

∴△CEG≌△DCO，

∴CG＝OD，

设CG＝a，则AG＝5a，OD＝a，

∴AC＝OC＝4a，

∵OC＝OB，

∴4a＝a+3+3，

解得，a＝2，

即CG＝2．

2．探究等边三角形“手拉手”问题．

（1）如图1，已知△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；

（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；

（3）如图3，已知点E在等边△ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．

【解答】

（1）解：

结论：

CE∥AB．

理由：

如图1中，

∵△ABC，△ADE都是等边三角形，

∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，

∴∠BAD＝∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠B＝∠ACE＝60°，

∴∠BAC＝∠ACE＝60°，

∴AB∥CE．

（2）证明：

如图2中，

由

（1）可知，△ABD≌△ACE，

∴∠ADB＝∠AEC，

∵△ADE是等边三角形，

∴∠AED＝∠ADE＝60°，

∵∠BEC＝60°，

∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°，

∴∠ADB＝∠AEC＝120°，

∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°，

∴B，D，E共线．

（3）解：

结论：

BE＝AE+EC．

理由：

在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC，∠BAC＝60°，

∵∠BEC＝60°，

∴∠BAO＝∠OEC＝60°，

∵∠AOB＝∠EOC，

∴∠ABH＝∠ACE，

∵BA＝CA，BH＝CE，

∴△ABH≌△ACE（SAS），

∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，

∴∠HAE＝∠BAC＝60°，

∴△AEH是等边三角形，

∴AE＝EH，

∴BE＝BH+EH＝EC+AE，

即BE＝AE+EC．

3．如图，△ABC中，AB＝AC，∠EAF═

∠BAC，BF⊥AE于E交AF于点F，连接CF．

（1）如图1所示，当∠EAF在∠BAC内部时，求证：

EF＝BE+CF．

（2）如图2所示，当∠EAF的边AE、AF分别在∠BAC外部、内部时，求证：

CF＝BF+2BE．

【解答】证明：

（1）如图，在EF上截取EH＝BE，连接AH，

∵EB＝EH，AE⊥BF，

∴AB＝AH，

∵AB＝AH，AE⊥BH，

∴∠BAE＝∠EAH，

∵AB＝AC，

∴AC＝AH，

∵∠EAF═

∠BAC

∴∠BAE+∠CAF＝∠EAF，

∴∠BAE+∠CAF＝∠EAH+∠FAH，

∴∠CAF＝∠HAF，

在△ACF和△AHF中，

，

∴△ACF≌△AHF（SAS），

∴CF＝HF，

∴EF＝EH+HF＝BE+CF；

（2）如图，在BE的延长线上截取EN＝BE，连接AN，

∵AE⊥BF，BE＝EN，AB＝AC，

∴AN＝AB＝AC，

∵AN＝AB，AE⊥BN，

∴∠BAE＝∠NAE，

∵∠EAF═

∠BAC

∴∠EAF+∠NAE＝

（∠BAC+2∠NAE）

∴∠FAN＝

∠CAN，

∴∠FAN＝∠CAF，

在△ACF和△ANF中，

，

∴△ACF≌△ANF（SAS），

∴CF＝NF，

∴CF＝BF+2BE．

4．如图1，AB∥CD，G为AB、CD之间一点．

（1）若GE平分∠AEF，GF平分∠EFC．求证：

EG⊥FG；

（2）如图2，若∠AEP＝

∠AEF，∠CFP＝

∠EFC，且FP的延长线交∠AEP的角平分线于点M，EP的延长线交∠CFP的角平分线于点N，猜想∠M+∠N的结果并且证明你的结论；

（3）如图3，若点H是射线EB之间一动点，FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，过点G作GQ⊥FM于点Q，请猜想∠EHF与∠FGQ的关系，并证明你的结论．

【解答】解：

（1）∵AB∥CD，

∴∠AEF+∠CFE＝180°，

∵GE平分∠AEF，GF平分∠EFC，

∴∠AEG＝∠FEG＝

∠AEF，∠CFG＝∠GFE＝

∠CFE，

∴∠FEG+∠GFE＝90°，

即EG⊥FG；

（2）∵分别过M，N作MG∥AB，NH∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥MG∥NH∥CD，

∴∠AEM＝∠EMG，∠GMF＝∠MFC，∠AEN＝∠ENH，∠HNF＝∠NFC，

∴∠EMF＝∠AEM+∠MFC，∠ENF＝∠AEN+∠NFC，

同理：

∠EPF＝∠AEP+∠PFC，

∴∠EMF+∠ENF＝∠AEM+∠MFC+∠AEN+∠NFC，

∵EM平分∠AEN，FN平分∠MFC，

∴∠AEM＝

∠AEN，∠NFC＝

∠MFC，

∴∠EMF+∠ENF＝

∠AEN+

∠MFC+∠MFC+∠AEN＝

（∠MFC+∠AEN），

∵∠AEP＝

∠AEF，∠CFP＝

∠EFC，

∴∠MFC+∠AEN＝

（∠AEF+∠EFC）＝

×180°＝72°，

∴∠EMF+∠ENF＝

（∠MFC+∠AEN）＝

×72°＝108°；

（3）∠FGQ＝

∠EHF．

证明：

∵AB∥CD，

∴∠EHF+∠CFH＝180°，

∵GQ⊥MF，

∴∠FGQ＝90°﹣∠GFQ，

∵FG平分∠EFH，MF平分∠EFC，

∴∠GFE＝

∠EFH，∠QFE＝

∠CFE，

∴∠GFQ＝

∠CFH＝

（180°﹣∠EHF）＝90°﹣

∠EHF，

∴∠FGQ＝90°﹣（90°﹣

∠EHF）＝

∠EHF．

5．现给出一个结论：

“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”．该结论是正确的，用图形语言可表示为：

如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若点D为AB中点，则CD＝

AB．

请结合上述结论解决如下问题：

已知，点P是射线BA上一动点（不与A，B合）分别过点A，B向直线CP作垂线，垂足分别为E，F，其中Q为AB边的中点．

（1）如图2，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是　AE∥BF　，QE与QF的数量关系是　QE＝QF　．

（2）如图3，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明．

（3）如图4，当点P在线段BA的延长线上时，此时

（2）中的结论是否成立？

请画出图形并写出主要证明思路．

【解答】解：

（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是AE