完整清华大学自主招生暨领军计划数学试题精校版带解析历年自主招生考试数学试题大全文档格式.docx
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311
的圆与直线x1一定相切，进而与直线x一定相离；
对于选项B,C,设A（4a2,4a），则B（2，），
24aa
21
于是|AB|4a222,最小值为4.也可将|AB|转化为AB中点到准线的距离的2倍去得到最小值；
4a
1
对于选项D,显然BD中点的横坐标与-|BM|不一定相等，因此命题错误.
22
5.已知F1,F2是椭圆C
:
2y21（ab0）的左、右焦点，P是椭圆C上一点.下列说法中正确的有ab
（
）
A.
a2b时，满足
F1PF2900的点P有两个
B.
a,2b时，满足
F1PF2900的点P有四个
C.
PF1F2的周长小于
D.
PF1F2的面积小于等于
【答案】ABCD
【解析】对于选项A,B,椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；
对于选项C,F1PF2的周
长为2a2c4a；
选项D,RPF2的面积为-|PF1||PF21sinF1PF2-旦巴討-a2.
2222
6•甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖.比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：
甲：
两名获奖者在乙、丙、丁中；
乙：
我没有获奖，丙获奖了；
丙：
甲、丁中有且只有一个获奖；
丁：
乙说得对.
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（）
A.甲B.乙C.丙D.丁
【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：
BD.
7.已知AB为圆O的一条弦（非直径），OCAB于C,P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相
交于点M，直线PB与直线OC相交于点N.以下说法正确的有（
【答案】AC
【答案】B
【解析】必要性：
由于
sinB
sin
CsinB
性
B）sinBcosB1，
类似地，有sinC
sinA1,sinB
sinA1
，于是
sinAsinBsinCcosAcosB
不充分性：
当A
-,BC
一时，不等式成立，但
ABC不是锐角三角形.
4
9.已知x,y,z为正整数
，且：
xy
z，那么方程—
111
的解的组数为（）
x
yz2
A.8
B.10
C.11
D.12
【解析】由于—
11
3
5
，故3x
6.
yz
若x3，则（y
6）（z
6）
36,
可得（y,z）
（7,42）,（8,24）,（9,18）,（10,15）,（12,12）;
若x4，则（y
4）（z
4）
16,
（5,20）,（6,12）,（8,8）；
若x5，则一
12
y
y5,6，进而解得（x,y,z）（5,5,10）；
10
y
zy
若x6，则（y
3）（z
3）
9，可得（y,z）
（6,6））
.
答案：
10.集合A{6
a2,
an}
，任取1ij
kn,aiajA,ajak代akaiA
少有一个成立，则n的最大值为（
cosC.
这三个式子中至
不妨假设珂:
＞包》-。
叭，若集合M中的正数的个数大于等于4,由于①十码和辺十印均大于
丐,于是有殆十码十心二斫，从而码三e矛盾！
所次集合A中至备有3个正数.同理可知集合川
中最梦有工个员数-取/“—3厂2厂1卩丄23打満足题意」所臥打的最大值为「答案氏
11.已知
10,
610,
1210，
则下列各式中成立的有（
A.tan
tan
tan3
B.tan
c.____tan
tantantan
d.__tan__tan
【答案】
BD
【解析】
令x
tan,ytan,ztan
，则
z
yxz
.3，所以
xy
yz1zx
.3（1
xy）,zy
yz）,xz
3（1
zx）,
以上二式相加，即有xyyzzx3.
类似地，
有-
1一3（丄
1）,
3（-
、3（丄
1），以上三式相加，即有
yxy
yz
zx
zx
xyz
3.
答案BD.
xyyzzx
xyz
12.已知实数
a,b,c满足a
b
c1,
则.4a
4b
1、4c
1的最大值也最小值乘积属于区间
I解析】由x+>
+z=++=1可得yz+zx-0・igxyz=c?
则x,y\2是关于F的方程
一岂£
"
耳注0,等号显然可以収到-刼选顷A,B都对.
因7*5（x+v>
2=｛1-z）2<
2（^+>
3）=2（1-/）,所以-严注1,尊号显瞪可次取到，隸选项c错误.
【答案】ACD
【解析】因为
1an）,故选项C、D正确.计算前几个数可判断选项B错误.
-
说明：
若数列｛an｝满足an2pan1an，则an1an2an为定值.
15.若复数z满足
1z
1，则；
乙可以取到的值有（）
<
51
A.—
B.-
-C.
【答案】CD
取得.答案CD.
16.从正2016边形的顶点中任取若干个，顺次相连构成多边形，若正多边形的个数为（）
A.6552B.4536C.3528D.2016
【解析】从2016的约数中去掉1,2，其余的约数均可作为正多边形的边数.设从2016个顶点中选出k个
构成正多边形，这样的正多边形有2016个，因此所求的正多边形的个数就是2016的所有约数之和减去2016
k
52
和1008.考虑到2016237，因此所求正多边形的个数为
g1（ab0）与直线l1：
y1x,l2：
b2
分别交|1,|2于M,N两点.若|MN|为定值，则［:
（1）若将两条直线的方程改为y
丄；
（2）两条相交直线上各取一点M,N，使得|MN|
为定值，则线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆.
18.关于x,y的不定方程x21652y的正整数解的组数为（）
A.0B.1C.2D.3
【解析】方程两边同时模X可得丘三QP&
iKxnn因N不能被3整除，故X1不能鞭3整除，所以
故2*1血也力，所以”为偶数，可设］=2砍涣则有
实数a,b,c相乘的时候，可以有（ab）c,（ba）c,c（ab）,b（ca）,等等不同的次序.记n个实数相乘时不同的次
序有In种，则（）
A.丨22B.I312C.I496D.I5120
【解析】根据卡特兰数的定义，可得lnCn1An1c21n12n!
（n1）!
C2n11.答案：
AB
n
关于卡特兰数的相关知识见《卡特兰数一一计数映射方法的伟大胜利》
20.甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军.4个
人相互比赛的胜率如表所示:
■T
乙
J'
甲
—
0.3
a”
0.7
二
Dd
IN
0.4
T
Q3
Q.G
【解析】根据概率的乘法公式，所示概率为0.3（0.50.30.50.8）0.165.
离为y.则limy
【解析】当x
时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为
ABC中AB边上的高，为空
22•如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1,中心为O,BF
1bc,A1e
-A1A，则四面体OEBF
的体积为
6
A
96
如图，VOEBF
VoEBFEBF
Ci
BCCiBi
丄
23.
（X
）2n1（1
sin2nx）dx
根据题意，有
0（x
24.实数
x,y满足（x2
因此所求最大值为1.
GBF
a
2討
I
2n12n2n12n
）（1sinx）dxx（1sinx）dx
4xy，则
的最大值为
/22、3’22
（xy）4xy
（x2
2、2
y），于是
y1，等号当xy2时取得,
25.x,y,z均为非负实数，满足（x—）
（t1）
（3、2
（z2）
27
，则xyz的最大值与最小值分别
【答案】—3
【解析】由柯西不等式可知，当且仅当（x,y,z）
（1，畀）时,
yz取到最大值.根据题意，有
x2
y2z2x2y3z
13
是13（xyz）23（xyz）y,解得xy
223
yz的最小值当（x,yz）
（0,0,亠）时取得，为亠
若O为ABC内
满足SAOB
：
SBOC：
SCOA4:
3:
2,设AO
AC,则
【解析】根据奔驰定理，有
27.已知复数
zcos-
sin2
z3
z2
【解析】根据题意，有z3
z2z2
28.已知z为非零复数,
zcos—
..5
Isin-
1.3.
i
z40
—,的实部与虚部均为不小于
10z
1的正数，则在复平面中,
z所对应的向量OP的
端点P运动所形成的图形的面积为
I答案】警1003300
设zxyi（x,y
R），由于40
40z
于是
上1上1
10‘10'
如图，弓形面积为
40x140y1
221>
221
xyxy
1202（sin—）
266
100
100，四边形ABCD的面积为2丄（10.310）10100、3100.
于是所示求面积为2（10^100）（1003100）1003300.
33
【答案】3
（tan8xtan4x）（tan4xtan2x）（tan2xtanx）tanxtan8x,3.
30.将16个数：
4个1,4个2,4个3,4个4填入一个44的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶
数，共有种填法.
【答案】441000
【解析】首先确定偶数的位墨有多少种选择・第一行两个偶数有①种选择.
下面考虑这两个偶数所在的列，每列还霜要再填空一个偶叛设为臼
情形一：
若日上位于同一行它们的位置有孑种选择，此时剩下的四个偶数所填的位蛊唯一确定』
情刑二：
若吃上位干不同的行，它们的位HW6种选拓此时剩下的四个偶数所埴的位置有2种选也所叹偶数的不是位B数为C；
e+6-习二90-因此，总的90（^ac^=441000.
31.设A是集合｛1,2,3,,14｝的子集，从A中任取3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，则A
中元素个数的最大值为.
【答案】8
【解析】-
-方面，设A{a1,a2,
aj，其中k
N,1
14.不妨假设a1a2ak.
若k9,
由题意，a3a13,a5
a37，且a5
a3
a1，故a5q7.同理a9a§
7.又因
为a9a5
a5a1，所以a9a1
15,矛盾！
故
k8.
另一方面，取A｛1,2,4,5,10,11,13,14｝，满足题意
综上所述，A中元素个数的最大值为8.
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